IO

si aucun des seconds membres du système S ne contient de quantité. qui soit irrégulière vis-à-vis du premier membre correspondant, le système S rentre, comme cas particulier, dans une catégorie de systèmes différentiels que j'ai examinée récemment ('); on peut alors savoir, par la simple connaissance des premiers membres de S, quelles fonctions ou constantes arbitraires il convient de se donner d'avance pour pouvoir construire a priori les développements d'intégrales hypothétiques du système, et l'on prouve que ces développements, dans la construction desquels on ne rencontre aucune incompatibilité, sont nécessairement convergents, ce qui assure l'existence effective des intégrales.

» II. Le groupe des équations (A) étant supposé exister, si l'on impose à des intégrales hypothétiques du système S un ensemble de conditions initiales présentant la même économie que dans le cas précédent, et arbitrairement choisies sous la seule restriction que les équations (A) se trouvent numériquement vérifiées par les valeurs initiales des quantités qui y figurent, les développements de ces intégrales par la formule de Taylor, à partir des valeurs initiales choisies pour les variables, peuvent encore être construits a priori sans incompatibilité, et sont encore nécessairement convergents.

» En supposant, dans ce dernier énoncé, le nombre des fonctions inconnues égal à i, celui des variables indépendantes égal à 2, et attribuant ù celles-ci des cotes secondes distinctes, on retrouve un résultat récemment exposé par M. Goursat(-). »

GÉOMÉTRIE. — Sur les systèmes de surfaces triplement orthogonales oîi les surfaces d'une même famille admettent la même représentation sphérique de leurs lignes de couibure. Note de M. Maurice Fouché, présentée par M. Darboux.

« Le système sera défini si l'on met l'élément linéaire de l'espace sous la forme

ds- = A- du- + B- dv'' -+- C- dw\

» Désignons par p, q, r, p,, q,, r,, p^, q.,, r^ les rotations du Irièdre des trois normales autour de chacune de ses trois arêtes, relativement à chaque

(') ^'oir les Comptes rendus du 27 décembre 1897. Dans le résultat que j'ai formulé à cette date, j'ai supposé égales à i les cotes premières de toutes les variables indépendantes; mais le résultat dont il s'agit ne cesse pas d'être exact quand on les suppose toutes égales à un même entier positif.

(^) Voir les Comptes rendus du 2 novembre 1897.

( 2ri ) variable. On reconnaît d'abord, par le théorème de Diipin, que les trois rotations p, y,, r, sont nulles. Les six autres sont les quantités désignées par ,3 dans les notations de M. Darboux ('). Si l'on veut que la position du trièdre ne dépende que de deux paramètres au lieu de trois, on reconnaîtra, par des considérations analogues à celles que j'ai expliquées dans une Note du 20 novembre 1890, que la condition est que le déterminant des neuf rotations soit nul, condition qui se réduit ici à

(1) P>qir-^p,qr,-^o.

» Si l'une des rotations est nulle, on trouve des surfaces parallèles avec leurs norraalies développables, ou les surfaces engendrées par un réseau rectangulaire plan, lorsque le plan roule sur une développable (surfaces moulures généralisées).

» Si aucune des rotations n'est nulle, l'analyse de la question, faite au moyen des équations bien connues qui relient les rotations, conduit à ce que les six rotations sont des fonctions des différences u — c, u — u- des variables?/, r, w. De là résulte que toutes les surfaces obtenues en donnant à ir, par exemple, diverses valeurs particulières, ont toutes la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure, et le théorème :

» Dans un système de surfaces triplement orthogonales, si les surfaces d'une même famille ont la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure, il en sera de même de celles des deux autres familles.

» Si je désigne par f„, p[., ..., les rayons des courbures des sections normales faites dans les surfaces tangentiellement aux courbes obtenues en faisant varier h, r ou (r seule, on aura :

0 , = — , Pi

» On remarquera, du reste, que les centres de courbure correspondant à ces ravons sont aussi les centres de courbure géodésique des lignes correspondantes considérées comme tracées respectivement sur la surface dont le plan tangent contient à la fois la tangente à la courbe correspondante et le rayon de courbure correspondant.

C) Darbol'x, Leçons sur les systèmes orthogonauj: et les coordonnées curvilignes, p. 188.

)i L'équation (i) exprime alors une relation remarquable entre les six rayons de courbure, savoir :

« Sur les arêtes du trièdre des trois normales au point M se trouvent répartis les six centres de courbure principaux que nous désignerons par X^, X„,; X',,, X[,; X^, X",, les indices et les accents correspondant à ceux des valeurs de p.

» Tja droite X^,X^^ située dans le plan tangent à la surface // = const. est l'axe de courbure de la courbe obtenue en faisant varier u seule, c'està-dire l'axe de courbure de la trajectoire orthogonale des surfaces u = const.

)) La droite X,',,X,,, située dans le même plan tangent est celle qui joint les centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure de la surface a = const.

» Supposons qu'on laisse X", et X,'^, fixes, et qu'on déplace les points X', et Xr. de manière que le produit MX;,.MX^ reste invariable; menons du point X"„ une perpendiculaire à X;,X", jusqu'à sa rencontre Y avec la droite X[^Xl. On reconnaîtra que le point Y, intersection des rayons conjugués de deux faisceaux honiographiqnes, décrit une conique qui passe par M et dont X'^X^ est un diamètre. Donc les directions des droites X",Yet X,'„Y sont conjuguées. Les axes de cette conique sont parallèles aux deuK droites rectangulaires MX",, MX'„,, et on aura leur rapport en écrivant que le produit des coefficients angulaires des deux droites conjuguées X;;X", et X",Y est

eeal a ;•

» On trouve ainsi, en tenant compte de l'équation (2), que cette conique est l'indicatrice de la surface, d'où ce théorème :

» Dans tout système de surfaces triplement orthogonales où les surfaces d'une même famille admettent la même représentation sphèrique des lignes de courbure, l'axe de courbure de la trajectoire orthogonale des surfaces de l'une des familles correspondant au point M et la perpendiculaire à la droite qui joint les centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure de la surface de cette famille qui passe au point M sont deux directions conjuguées par rapport à cette surface.

» On déduit de là une démonstration fort simple du théorème établi par M. Petot (Comptes rendus, 22 juin 1891) au sujet des systèmes où l'une des familles est composée de surfaces homothétiques, svstèmes qui sont un cas parliculier des précédents.

» Sdil, en effe!, M un point de la «iirFace (S), M' le point iiifiiiimcnt voisin (le la trajectoire orlhnsonnle (T), O le centre d'homothétie et M" le j.oiiit (!e(S) homologue de M'. Le plan langent en M" est par hypothèse parallèle au j)lan langent <n M' à la surlace voii-ine de (S), c'est-à-dire au j)lan normal à la trajertoire orthogonale. Donc i'axe de courhure de (T) est |)ar;d!è!c à l'interseclioM des deux plans tangents en M et M", et sa d:i-eclion e.st conjugive de hi ligne RDI". Donc, d'après le théorème précédt-nt, MM" est perpendiculaire à la droile qui joint les centres de courbiu^e géodési jue des deux lignes de courbure de S. Donc, enfin, le plan OMM' qui contient la normale est perjjendiculaire à la droile (T), ce qui est le théorôujc de M. Petoi.

>< L'aïKiiyse précède nie y ajoute cependant quelque chose. Si ronapj)elle proj'eciion d'une trajectoire orthogonale sur la surface (S) l'inlersecliou de cette SI!', face avec le cùne passant par la trajectoire orthogonale et ayant son somnu t au centre lihoniothétie, on reconnaît que :

» f.a projection d'une irajectoire orthogonale des surfaces (S) sur l'une de ces surfaces est, en chaque point, conjuguée par rapport à la su/face {S) de la direction de i'axe de courbure de cette trajectoire correspondant au poiiii projeté, et elle est en chaque point perpendiculaire à la droite qui joint les centres de courbure géodésique des deux lignes de cou; bure au point considéré.

» Un théorème analogue s'applique évidemment au cas où les surfaces d'iuie même famille sonlengendrées par la translation de l'une d'entreelies.

» Je me propose de développer ces considérations dans un travail détaillé, iiclLielieraent en préparation. »

GÉOMETRili. — Sur le J'undement de la Géométrie projectile. Note de M. H -G. Zeuthe.v, piéseulée parM. Darbous.

« Après mes Ccnunuiiicalions des 2 et 29 novembre 1^97, j'ai achevé un fonilement de la Géométrie projective complet et différent de celui de von Staudt. Cependant je n'v parviens qu'en empruntant à l'intuition un postulat qui a Lgartl, de nièuH^ que celui que deiisande i'ac'nèvement de la démonslralion de von Staudt, à la continuité géométrique, mais qui en diffère pourtant essentiellement. Tandis que celui de Aon Staudt fait la base de i'uitroducliop. des mesures j)rojcclives, le mien a un caractère plus graphique.

» Ce que jj dcmaude, c'est ïexlstence des surfaces gnuckss, et je regarde

comme éAidente l;i propriété suivante de ces surfaces : la courbe d'intersection avec un plan y |)assant par une génératrice C non singulière se compose de G et d'une courbe résidue rencontrant C en un point c qui se mouvra sur cette génératrice fixe en même temps que le plan y tourne autour d'elle. La courbe résidue étant le lieu des traces des autres génératrices de la surface, la tangente en c à cette courbe sera la position limite de la droite du plan y qui rencontre à la fois C et deux autres génératrices tendant à coïncider avec elle. Par un choix convenable de la surlace gauche on peut obtenir que cette tangente passe par un point donné du plan y.

)) Cela admis, pour parvenir à la génération double du lieu des droites rencontrant trois directrices fixes, on n'aura besoin que des deux lemmes suivants :

)) Dans l'énoncé du premier, je regarde comme convsnondants les sommets d'un quadrigone complet et les triangles formés par les côtés d' un quadrilatère complet, ce qui amène la correspondance analogue des triangles formés par les sommets du quadrigone avec les côtés du quadrilatère. Alors, le côté qui joint entre eux deux sommets du quadrigone sera homologue au sommet commun aux deux triangles qui y correspondent dans le quadrilatère.

)) I, Si cinq sommets d'un quadrilatère complet se trouvent sur les côtés homologues d'un quadrigone complet, le sixième sommet du quadrdatère se trouvera aussi sur le sixième côté du quadrigone.

» On le voit en regardant le quadrigone comme projection d'un tétraèdre; alors le quadrilatère sera la projection d'une section plane.

» Dans ce qui suit, je désignerai par a, b, c trois sommets du quadrilatère qui forment un triangle, par d, e, /les trois sommets opposés.

» II. Si les cinq sommets a, b, c, d, e d'un quadrilatère complet se trouvent respectivement sur cinq droites données A, B, C, D, E qui ne se rencontrent pas, le lieu du sixième sommet J" sera une droite F.

1) Si l'on projette (comme dans ma Communication du 2 novembre) la figure du point d'intersection d'une droite rencontrant A, B, C avec une droite rencontrant C, D, E, ce lemme sera une conséquence du précédent.

» Prenons maintenant pour droites G, D, E trois génératrices consécutives d'une surface gauche. Alors le plan y du quadrilatère passera par la droite fixe C; ses sommets c, cl, e se confondront en un point de cette droite, et la droite de/ sera tangente à la courbe résidue du plan y. La droite aft/ rencontrera les trois droites données. A, B, C, et encore son pointyparcourra une droite F. Or, on peut obtenir, par un choix couve-

nable de la surface gauche, qiieydevienne un point quelconque d'une position donnée de ah. On peut donc faire passer par tous ses points des droites rencontrant toutes les droites qui rencontrent A, B, C. La double génération du lieu de ces dernières droites est donc démontrée.

» On obtiendrait la même chose en prenant pour droites B, C, D trois génératrices consécutives d'une surface gauche. »

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de refroidissement d'une barre hétérogène. Note de M. W. Steki.off, présentée par M. Poincaré.

« 1. Ce problème peut être ramené à l'intégration de l'équation

(i) ^,+[kp{x)~q{xy\y = o, a<^<è (6>«>o\

jointe aux conditions

jS"^^'

pour

p et q sont des fonctions positives, k, h et H sont des constantes positives. On sait qu'il existe une infinité des nombres positifs k^Çs = i, 2, . . .) el des fonctions correspondantes Uj(.<' = 1,2, ...), satisfaisant aux conditions (i) et (2). La solution du problème se représentera sous la forme

où o(.r I est une fonclion donnée.

» En considérant ce |)roblème dans son Cours d'Analyse, M. Jordan dit : « Si celte série est convergente (pour i = o) et a bien j)our somme » <^{x'j. . , le problème sera résolu; mais jiour s'en assurer, il serait né- » cessaire de sommer directement la série. Ce résultat n'a encore été » atteint que dans quelques cas particuliers. » Dans cette Note, nous allons indiquer la solution rigoureuse de ce problème sous certaines conditions, assez générales, par rapporta la fonction ?(-^)-

» 2. Ensuivant une voie ouverle par M. l'oincaré, on peut démontrer que, si /est une fonction yï/z/e el continue, la fonction Y, satisfaisant aux

rondilions

f — ,- — n\ -- o pour X — a, -j — ' HV ^ o pour .r — h,

ost une fonction méroniorphe de ^" f[ni n'iulmet que des pôles simples k = ks{s =1,2,...)- On peut démontrer ensuite \i? lemme suiv;int : » Si f satisfait à la condition

f/[J,da;=o,

le point k = Jc^ est un f.oinl simple de la fonction V. Cela posé, reprenons la fonction <^{x^, et posons

» Il est presque évident qne

I p(œ)R„,lj^djc^=o r*=r,2,.. ,m), et que

S„,= p( V )^',„dx

est une fonction décroissante de m.

» Supposons qne/est cg'il à p(r^) ?<>,„. D'après le lîmme précédent, la

série ^J^s^s^ présentant l'intégrale de l'équation i '3). converge, pourvu

nt les intégrales de

L étant un nombre positif

' Si la série \AjU^ converge uniformément, la limite de R,„ (pour m -- oo) .< = 1 est une fonction finie et continue, et l'inégalité (a) nous donne

limV, rrro, d'où limR„, r=:o.

Par conséquent la série V A,U, représentera, la fonction <p '.r"'i toutes les fois

(jn'ellc convergera uniformément.

que |^|<.^'m. En employant les intégrales de M. Schwarz, on peut démontrer que

•■< 3, Cb'^rclions les cnnHitions de convergence de cette série. :> On jîeiit (lémonlrer les inégalités suivantes :

(5) iU,|<il',Q. .

M et Q étant des nombres p isitifs.

M Je remarquerai seulement que la démonstration de l'inégalité (4) est fondée sur le îemme suivant :

» Si la/onclion u(-r) satisfait à la condition

I u{ x) dx^^ o, la limite inférieure précise du rapport

est és:ale à rir-- — ^ [comparer le Iemme fondamental de .AT. Poincnré " (o — a)- ^ I

(^Conti-rend. del cire, di Palermo, 1894)]. On peut démontrer ce Iemme en

partant d'une identitéde M. Picard {Traité d'Analyse, t. III, VI, §9, p. 1 16),

Je profite aussi de l'occasion pour remarquer que cette identité peut être

très utile pour déterminer la limite inférieure /»re.:?«e du rapport (6) sous

diverses conditions, imposées sur la fonction u{x^:.

'> Supposons que <p(r~ satisfait aux conditions

;) ^ o pour X = b

da(x' dx

— ho>

0 pour

da( jr""' da;

-Hç^

et que

d'-ii-r) dx'-

ent.

'^V.dx

= qx)

» Pi

ir conséq

uent

*" 2 kl

d-o{x) dx-

» On peut démontrer que la série y^^'^Bj convrrgi-. La série /fj7

converge d'après l'inégalité (4V II résulte de là que la série ^A^U^ converge absolument et iiniformémenf .

» Donc la série ^AsU s repicsenlcra la fonc'ion ç(a;) loutes les fois que

cette fonction sera finie et continue avec ses dérivées des trois premiers ordres et satisfera aux conditions (7).

» On peut appliquer la même méthode pour démontrer la possibilité du développement d'une fonction donnée suivant les fonctions V^, satisfaisant aux conditions

^-^ -+- — -' -H ^ -i-k,Y,=^o à linténeurd un domaine (D), rfx' ôy' oz-

-T — I- A V = o à la frontière,

où h est une constante positive. Il importe de remarquer que la méthode proposée est aussi applicable dans les cas de A = o, A = :o. »

PHYSIQUE. — Sur le mélange des gaz. Note de M. A. Leduc ( ' ) présentée par M. Lippmann.

« On assimile trop souvent les gaz réels aux gaz parfaits. C'est ainsi qu'on donne toujours de la loi du mélange des gaz l'énoncé suivant, en contradiction avec l'expérience de BerthoUel (° ) qu'il est supposé traduire :

)' La pression d'un mélange de gaz est égale à la somme des pressions que prendrait chacun d'eux s'il occupait seul le récipient à la même température.

» A priori, cette loi est peu vraisemblable. Supposons, en effet, que l'on répète l'expérience de Berthollet en mettant dans les deux ballons du gaz carbonique; il est clair que la diffusion ne peut amener aucun changement de pression.

» Remplaçons dans l'un CO^ par Az^O, qui a sensiblement les mêmes

(') Laboratoire de Physique (Enseigneraenl) à la Sorljonne.

(*) Il résulte des expériences de Regnault et des miennes que, si cet énoncé était exact, Berthollet aurait dû constater une augmentation de pression de i™™,i. J'admeiUais volontiers que cette augmentation eût pu échapper à Berthollet; mais il conviendrait alors de donner cet énoncé malgré et non à cause de cette expérience.

constantes critiques et même masse moléculaire, et d'ailleurs la même atomicité.

» Ou ne prévoit pas que la diffusion mutuelle de ces molécules, qui paraissent physiquement identiques, puisse donner lieu à une variation de pression, tandis que la loi énoncée plus haut fait prévoir une augmentation de jjression de 2""°, 6. L'exiiérience nous montrera tout à l'heure que cette augmentation n'existe pas.

» Je propose donc de remplacer cette loi, qui est toujours en défaut, par la suivante, qui est rigoureuse dans certains cas et très approchée en général :

» Le volume occupé par un mélange de gaz est égal à la somnie des volumes qu'occuperaient les gaz qui le composent sous la pression et à la température du mélang.'.

» J'étais arrivé, il y a longtemps déjà, par l'étude de la composition de l'air, à un énoncé équivalent :

» Dans un mélange, chaque gaz doit être considéré comme subissant la pression totale, et non celle qu'il prendrait s'il occupait seul le récipient.

» 1. Air atmosphérique. — C'est ainsi que, si l'on recherche la proporlion (x en vol.) de l'oxygène contenu dans Fair privé de vapeur d'eau, de gaz carbonique, etc., en s'appuyant sur les densités de l'oxygène et de l'azote atmosphérique, on doit écrire

qui donne x = o,2i sensiblement, et la proporlion en poids 0,2821 que j'ai trouvée directement.

» Si, au contraire, on appelle j' la fraction de la pression totale due à l'oxygène, on devrait écrire, d'après la loi classicjuc :

d'où )• ^ 0,21 12 et la proportion en poids : o, 2333.

» Ces derniers résultats présentent avec mes expériences, ainsi que d'ailleurs avec celles de M. Schlœsirig fils, des écarts inadmissibles.

» Bien que cetle seule raison suffise à faire rejeter la loi dont ils dérivent, j'ai tenu à soumettre à l'expérience plusieurs autres cas particuliers.

» 2. Protoxyde d'azote et gaz carbonique. — Dans mon ballon à densités j'introduis d'abord du protoxyde d'azote à 0°, à la pression P, voisine de 33="°, et je le tare. Puis j'aciiève de le remplir avec du gaz carbonique pur, à la pression Pj voisine de 60""', et je détermine l'augmentation de poids/;.

» Soit \ le volume du ballon. Connaissant la compressibilité des deux gaz et la

densité normale du deuxième, je calcule le volume V auquel se réduirait Âz-O sous la pression Pj, puis le poids /?' de CO- qui remplirait (V — V) à la pression P,.

» La différence trouvée {p — p' -- i"'e'-,3) est imputable aux diverses erreurs accumulées; elle correspondrait à une diminulion de pression de o"^'",-2, l;indis que la loi classique exigerait une a ii, s; me n ta lion de 2°"', 3.

» Aiiliydi-idcs carbonique et. siilfureit.x. — Mêmes opérations et mêmes calculs. J'ai trouvé dans une expérience

p —: 'i°'',o!\i i et />'== 3s'',o520.

1; Si la loi que je propose n'était pas troublée par des phénomènes secondaires, il sérail donc entré dans mon ballon io"S'', 9 de gaz sulfureux en plus.

» Je traduis ce fait en disant que le mélange a été accompagné d'une augmentation de pression de i""'%25. La loi classique exigerait une augmentation quatre fois plus fortf».

!> On peut attribue.- cette augmentation de pression à ce que les gaz mélangés ont des poids moléculaires très différents et sont loin de se trouver dans des étals correspondants. Quoi qu'il en soit, elle ne peut faire aucun doute (' ;.

» Applicalior:. — J'ai c;iicii!c antérieurement (-) la densité de l'arj^an en atiniettanl ma loi des voliîmes, préalableinenL itislifice dans le cas de l'air, et en admettant mes densités de l'azote chimique et de l'azote atmosphérique, ainsi que la proportion de l'argon dans ce dernier, d'après M. Sch'œ-iing. J'ai trouvé i9;8oaii lieu de 19,94, obsci vé par Lf.ri! Rayleigh et Til. i'.amsay.

') L'écart tient, selon Lonte prohabililé, à Ci' (pie le mélange de l'azote el «le l'argon a lien a\ ec aiigmentalion de pression (ou île volume) comme celui de SO- el CO- : 10000 volumes d'azote atmosphérique seraient constitués par 9880 volumes d'azote et 1 19 d'argon. Les molécules lie fargon diffèrent en eO'et de celles de l'azote non seulenient par lenr masse, mais aussi par leur atouâcilé. ;>

CHIMIE APPLIQUE!':. — D.tenniiiaLion de la densité des gaz sur de tnl< petits volumes. Note de M. T». Schlœsixg fds, présentée par M. Duclaux.

« Dans des expériences sur la végétation et sur diverses fermentations, j'ai en ii ^éri^ler la natiu'e de gaz dont je ne possédais ou d( nt il importait

(') M. Saccrdole, qui m'a très obligeamii;enl aidé à réaliser ces expériences, a bien c.du se charger de répéter avec beaucoup de soin l'expérience de Berlliollet, (|ui a ivantage d'être directe. Ses résultats feront l'objet dune procliaine Communicalion.

(/) Comptes rendus, t. CXXtii, p. 8oj ; 1S9G.

de ne consommer que de très faibles quantités. J'ai cherché, pour m'échiirer, à en mesurer la densité. Je n'attendais, delà méthode que j'ai étudiée à cette occasion, qu'une approximation assez grossière; il se trouve, au contraire, qu'elle peut conduire à des résultats d'une précision à utiliser en plus d'un cas.

» Qu'on suppose, au fond d'un système de deux tubes verticaux communiquant par leur partie inférieure, un certain liquide et, au-dessus, un liquide A d'un côté, un liquide B de l'autre, les liquides A et B étant plus légers que le premier et ne se mêlant pas avec lui. Tout le monde voit que si l'on mesure verticalement, à partir d'un même plan horizontal, les colonnes liquides qui se font équilibre dans les deux tubes, on sera en état, connaissant les densités de deux, des liquides, de calculer celle du troisième.

» On peut fonder sur un principe analogue la détermination des densités des gaz. Seulement, il faut parvenir d'abord à disposer trois gaz comme il convient dans le S3"stème des deux tubes et à les mettre en équilibre et ensuite à mesurer des colonnes superposées de ces gaz. La suite de cette Note montrera, d'une façon sommaire il est vrai, comment, avec un appareil et des manipulations simples, on résout la première question. Quant à la mesure de colonnes gazeuses, la difficulté est qu'on ne les voit pas. Mais, deux gaz étant placés l'un au-dessus de l'autre dans un tube sans se mêler sensiblement, on peut déterminer la position de leur surface de contact en faisant disparaître l'un des deux par un réactif absorbant. Au moyen de mercure qui arrive par la partie inférieure du tube, on envoie les deux gaz dans un absorbeur, puis on ramène l'unique gaz re?tant dans le même tube, aux mêmes pression et température qu'avant l'absorption. Si le gaz absorbé est celui qui occupait primitivement le bas du tube, le mercure prendra exactement sa place; le niveau de ce dernier, bien visible, indiquera le niveau, précédemment invisible, jusqu'où s'élevait le gaz absorbé.

» Pour que les choses puissent se passer comme nous le supposons, pour que des gaz restent quelque temps superposés sans qu'il s'en mêle des proportions importantes, il est manifeste que la longueur des colonnes gazeuses doit être extrêmement considérable par rapport à leur diamètre, c'est-à-dire que pratiquement il faut opérer dans des tubes très étroits. Et c'est ici que s'impose comme nécessaire une condition qui, loin d'être une gène, entraîne le principal avantage de la méthode : les tubes devant être très étroits, les volumes gazeux employés seront très petits. En fait, j'ai obtenu d'excellentes déterminations de densité sur 6" ou lo"^ de gaz.

» Le dessin ci-contre représente les parties principales de l'appareil dont je me sers. Cet appareil comprend essentiellement deux tubes, A et B, de 2™™ à 2""", 5 de diamètre intérieur, de i^jio à i™,^o de long, suivant les cas. Les extrémités inférieures de ces tubes aboutissent à un même robinet à trois voies F, permettant, soit de faire communiquer entre elles les deux branches A et B, soit d'isoler chacune d'elles, soit de la mettre en relation avec un réservoir à mercure R, qu'on déplace verticalement selon les besoins. A leur extrémité supérieure, les deux tubes se recourbent à angle droit. Sur presque toute leur longueur, ils sont noyés dans un courant d'eau qui les maintient à température constante.

« Lne expérience s'exécute de la façon suivante. Supposons, pour préciser, que le G. R., 189S, i" Semestre. (T. CXWI, N» 3.) 2y

gaz G, dont on clierche la densité, soit plus léger que lacide carbonique, snr lequel il n'exerce d'ailleurs point d'action chimique, et qu'il ne se dissolve pas sensiblement dans la potasse concentrée. On remplira entièrement la branche B du gaz G et la

branche A de gaz carbonique ('), sans laisser de communication entre les deux branches. Puis on établira cette communication, en laissant ouverts à l'air les orifices a et b, et l'on attendra un certain temps. La colonne de gaz carbonique étant plus lourde que la colonne de gaz G, il se produira un mouvement du premier gaz, de la branche A vers la branche B, à travers le robinet F. De l'air entrera par a à la suite du gaz carbonique descendant dans A; une partie du gaz G sortira, au contraire, par b et sera rejetée dans l'atmosphère. A un moment, un certain équilibre sera atteint et le mouvement cessera. Soient alors a et p les surfaces idéales suivant lesquelles les trois gaz, air, acide carbonique et gaz G, se toucheraient deux à deux, s'ils ne se mêlaient aucunement; soient respectivement h et h' les distances verticales de a et p au centre de l'orifice è; soient d, cl' et 5 les densités, à l'état sec, de l'air, du gaz G et du gaz carbonique, à la température et à la pression de l'expérience. Le poids de gaz compris dans les branches A et B entre deux plans horizontaux passant, l'un par

(') A cet effet, on remplit d'abord chaque branche de mercure en élevant R; on la relie, sans qu'il s'introduise une trace d'air, avec la source du gaz voulu, et l'on abaisse R jusqu'au niveau de F.

le cenire de b et l'aulre par 3, est le même de pari el daulre, pour runilé de surface, quand l'équilibre est réalisé ; on a donc : h' d' = hd -i- { h' — /') °> car si l'on a liuinecté d"eau, avant l'expérience, la paroi intérieure de A de R, les trois gaz sont saturés, et l'on peut néglijier la vapeur d'eau, qui pèse également de chaque côté. Or, d, d' et 0 ne différent que par un même facteur des densités d^, d'„ el S,, à l'état sec, sous la pression de 760""° et à la température de 0°. Dès lors, on a :

h'd[, = /id,-i-{/i'~/i)i„

relation où l'on connaît f/o et 2,, (dans notre hypothèse, dQ = i et 00 = 1,529, si l'on veut les densités par ra]iport à l'air) et qui donnera ila densité cherchée d'^ , si l'on parvient à déterminer h et /('.

» Pour avoir k et h', dès que l'équilibre dont il a été parlé est établi, on isole les deux branches l'une de l'autre par le robinet F et, le gaz qui occupe le bas de l'appareil étant ici de l'acide carbonique, on adapte à chacun des orifices a et b, avec un raccord particulier, un absorbeur, L ou L', renfermant de la potasse concentrée; on fait passer successivement le contenu de chaque branche dans l'obsorbeur correspondant et, après l'absorption de l'acide carbonique, on ramène dans cette branche le gaz restant, de manière qu'il s'y trouve rigoureusement à la pression almospliérique (les absorbeurs remplissent la fonction de manomètres très précis). Les points où s'arrête alors le niveau du mercure dans A et B représentent les points cherchés a et 3, lesquels déterminent /; et /;'.

» Si l'on opérait sur des liquides, il suffirait d'un instant pour que l'équilibre s'établît dans les deux branches. Mais, avec les gaz, plusieurs minutes (de quatre à huit suivant les appareils) sont nécessaires. Par suite, la diffusion entre en jeu sensiblement. Elle mélange les gaz, sur une certaine longueur, au voisinage de a el de ?; ce qui est sans inconvénient dans un tube suffisamment cylindrique. Elle permet, de plus, la pénétration de l'air extérieur par b, air qui, se mêlant au gaz étudié, en modifierait la densité. Mais on évite cette dernière cause d'erreur en adaptant en b un tube <, long de o™,3o à o™,5o, qui forme le prolongement de B el qui est exactement placé dans un plan horizontal. Au commencement de la période d'établissement d'équilibre, t est plein du gaz étudié; durant cette période, le peu d'air qui y entre n'arrive pas jusqu'en b et, demeurant dans une partie horizontale, est sans influence sur l'équilibre final. On voit que l'intervention de la diffusion impose une limite supérieure pour la durée de l'expérience, si l'on ne veut que l'équilibre obtenu soit troublé. Dans les conditions où j'ai opéré, il était préférable de réaliser cet équilibre en moins de dix minutes.

» Je donnerai, s'il m'est permis, dans une seconde Note, d'autres détails el des résultats numériques. J'ajouterai seulement aujourd'hui que la méthode proposée permet, en très peu de temps, de déterminer la densité d'un gaz (tous ne s'v prêtent pas également) avec une approximation qui, étant donné qu'on opère sur 6'''^ ou 10'^'', est assez remarquable, et cela sans lire le baromètre, sans une pesée et, pour ainsi dire, sans calcul. »

PHYSIQUE APPLIQUÉE. — Sur un appareil dil verseur hermélique. Note de M. R. Persoxxe de Sexxevoy, présentée par M. T.ippniann.

« Cet appareil résont le problème suivant :

» Étant donne un récipient hermétiquement clos, rempli de liquide, en extraire une portion quelconque de ce liquide sans laisser rentrer aucun fluide extérieur, notamment sans qu il y ait rentrée d'air. Le liquide sort du récipient hermétiquement clos en laissant derrière lut le vide.

)) L'appareil se compose d'un récipient clos, tel qu'un flacon de verre, et d'un tube de métal qui plonge jusqu'au fond (//g. i). Ce tube constitue un corps de pompe; dans son intérieur se meut un piston plongeur, formé par un second tube muni d'une garniture et de soupapes. ]^e corps de pompe est fermé à sa partie inférieure par une soupape d'admission S, qui est une masse sphcrique plus dense que le liquide et appuvant par son poids. Le piston est rendu étanche par deux garnitures annulaires en fibre qui emprisonnent entre elles une colonne annulaire de liquide. Enfin le piston porte deux soupapes d'émission constituées par des languettes de parchemin.

)) A chaque coup de piston il sort du liquide, que l'on peut à volonté faire monter dans un réservoir où il se comprime, ou faire simplement sortir par un ajutage. Le vide se forme, et l'on peut avoir le phénomène de l'ébuUition à froid.

)) Le verseur hermétique peut servir à conserver à l'abri de l'air des liquides altérables ou A^olatils, éther, chloroforme, chlorure de méîhyle, etc. On peut adapter la pompe, qui en forme l'organe essentiel, à un grand réservoir métallique hermétiquement clos (/ig. 2) et rendre ainsi sans danger la manipulation des liquides tels que l'essence de pétrole.

» Si le réservoir est une bouteille, je pense qu'il est fiicile d'en faire une bouteille « inviolable ». En effet, le tube-pompe est fixé sur le goulot de la bouteille par un rebord garni de caoutchouc, et il y adhère en vertu de la pression^atmosphérique. Une capsule protectrice en métal, avis, entoure cette partie de l'appareil et empêche que l'on v ait accès : il suffit donc d'apposer des timbres de garantie sur le bouchon à vis ; on ne peut dévisser celui-ci sans rompre les cachets de garantie. »

CHIMIE PHYSIQUE. — Sur le potentiel thermodynamique. Note de M. A. PoiNSOT, présentée par M. Lippmann.

(( I. Dans un vase A, une solution aqueuse, sous une pression P, émet à travers une paroi spéciale de la vapeur d'eau avec line force élastique F, et un volume spécifique v. Dans un vase B une antre solution aqueuse, sous une pression P', émet de la vapeur d'eau avec une force élastique ,f , et un volume spécifique v. L'addition de l'unité de masse d'eau à chaque solution, 5" et F restant constants, accroît son voUime de Kp et Kj".

» On peut faire parcourir à l'unité de masse d'eau un cycle isotherme fermé; les travaux des forces extérieures sont :

)) 1° Passage irréversible de A en B : PR,, — P'Kj;

» 1° Passage réversible de B en A : P'Kp — Sv — / ,f r/c -l- Fv — PK,,.

» I-a somme algébrique de ces travaux est / ir/,? : elle est toujours

positive : F > é? .

» Cette expression est simple : elle ne contient pas les pressions exercées sur les solutions, elle ne comprend que les pressions et volumes spécifiques se rapportant à l'élal sous lequel l'eau peut passer d'une manière réversible d'un Aase à l'autre (on aurait pu supposer aussi l'eau à l'état liquide); elle est indépendante des substances mélangées à l'eau dans les deux vases.

» Si les deux vases A et B contiennent un corps commun quelconque, libre de toute combinaison, ou existant dans une combinaison dissociable par la pression, on peut supposer qu'il passera d'un vase à l'autre à travers des parois spéciales et un milieu intermédiaire, où il aura une pression osmolique t. sous un volume spécifique v. Le travail dans un cycle semblable au précédent sera / <,•(!-.

» On l'appelle trmail non compensé C; à chaque température il ne dépend que de 5 et F ou de tz/^ et t:^. On peut supposer ^ ou -^^ constant = o, quelle que soit la température :

G= r tv/F = (I'(F,T),

^<i. j-i. r' ôv j