F(^)=:IX

les L„, M„ sont des polynômes en z dont les zéros sont des zéros, des pôles ou des points singuliers de F, et les R„(::), des fractions rationnelles dont les pôles sont des singularités (^non polaires^ de F. De plus, chaque zéro et chaque pôle de F ne figurent que dans un terme du produit.

» On peut, d'ailleurs, donner aux développemeuts (1) et (2) des formes différentes qui se rapprochent davantage de celles de M. Mittag-Leffler. Pour nous borner au cas le |)lus simple, représentons pur-/(i<) une série entière en u convergeant dans tout le plan et nulle pour u =^ o, par a, un des points singuliers isolés Aq F. La fonction F(^) se laisse développer sous la forme

la série convergeant dans tout le domaine D, et les fractions rationnelles R„(s) n'ayant pour pôles que des points singuliers non isolés de F. Le développement en produit comporte une forme analogue. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la com'ergence des séries représentant les intégrales des équations différentielles. Note de M. Paul Staecrel, présentée par M. E. Picard.

« Dans son Traité d' Analyse (t. II, p. 3o4, et t. III, p. 90), M. Picard a fait une intéressante comparaison des résultats fournis par les deux théorèmes suivants de Cauchy, relatifs à l'existence des intégrales des équations différentielles :

» I. Soit f(^x, y) une fonction réelle des deux variables réelles x et y, continuedans le voisinage d' un certain système de valeurs x^,ya, correspondant à

(i) |j7— j:-j<a, \y-yo\<b.

Soit A une quantité positive satisfaisant aux inégalités

A<a, AM<b,

en appelant M la valeur absolue maxima def{x,y),pour les points du domaine (i). Alors il existe une fonction continue y de x satisfaisant à l'équation différentielle

définie pour toute valeur de x telle que \x — Xa\'^A et prenant pour x = x^ la valeur y„ .

» II. Soit f(x,y) une fonction analytique de x et y, holornorphe quand x et y sont respectivement à l'intérieur et sur la circonférence des cercles décrits des points x^ et y„ comme centres avec les rayons a et b. Soit M le module maximum de la fonction f{x, y) dans ce domaine. Alors l'équation

admet une intégrale holomorphe dans le cercle de rayon

p^ad-e^^").

ayant le point Xg pour centre, intégrale qui, pour x = Xg, se réduit àyo-

» La fonction f{x, y) étant holomorphe, on peut encore appliquer la première méthode de Cauchy. et c'est en s'appuvant sur celte remarque

qne i\T. Picard démonti-e que Von pcitt certainement fixer, pour le domaine de convergence de i intégrale y, un champ plus grand que celui auquel on a été conduit par le théorème //.

1) La proposition de M. Picard est au premier abord para(1oxale, car une hypothèse particulière sur la nature de la fonction f{x, y) aurait dû élargir, au lieu de resserrer le domaine où est définie la solution y. Voici ce qui me paraît lever cette difficulté.

» La démonstration du théorème II repose essentiellement sur les inégalités connues

(A) -4-\ 1 ( T?4-i; ) I < Ma-/'^'-?.

)) Ôr je dis que ces inégalités peuvent être remplacées par d'autres tout à fait analogues, qui en laissant subsister la démonstration mot pour mot ont l'effet de produire un rayon de convergence p' sensiblement plus grand que p,

» Le seul fait de la convergence de la série de Tavlor

d"f \ [x— Xf,)p (y— 7o] ,0x1' 0)1 ) ,r.^^.^ /)! q\

pour \x — a;„ I = a, \y — Voi = ^. entraîne la conséquence qu'il existe une quantité finie positive G telle que

i , • 0"f \ \aP b'i ^^^ ,.

G (p, y — o, I. . ., co),

\\OXl' (Jp'l ' r„.,AP- '/!

OÙ l'on doit prendre le signe de l'égalité au moins pour un système des nombres p, q. En effet, o étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra, on pourra déterminer des nombres y^o, q^ tels que

et alors G est la plus grande des (/?„ + i)(^o+ 0 "•"! quantités S et

1/ d"/ \ \ai' bi [p = o,\ /;„

V OxP àvv /.

\\àxf oy I ^^.^.J p\ q\

» Donc, on a

( p.o5 ) » Au moyen des inégalités (B) on trouve le ravon de convergence

» Considérons un exemple assez instructif. Soit dy I

dx (\ — ,v)(\ — y)

et a^„=o, r„ = o. Les conditions du théorème I sont remplies poi a ^= h = i, o <^t<^i. On Iroiivo

)) La valeur maxima de A, obtenue pour s = \, est

» Les conditions du théorème II sont encore a^=h ^ i. On trouve

» Mais la différence i — s pouvant être choisie aussi petite qu'on voudra, la solution V, qui satisfait à l'équation proposée, doit convergera l'intérieur du cercle de ravon

» Dans ce cas, la modification du théorème II donne le véritable ravon de convergence de la série y. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales irrégulières des équations différentielles linéaires. Note de M. J. Horx, présentée par M. E. Picard.

« M. Fuchs (Annali di Malematica; 1870) a employé une méthode d'approximations successives pour obtenir un développement en série dune intégrale d'une équation linéaire, valable pour tout point x non singulier. (Comparez les méthodes d'approximations successives de M. Picard.) Une

G. R., 1858. i" Semestre. (T. CXX\ I. N'3.> -']

modification convenable de cette méthode fournit un développement très propre pour démontrer et approfondir les propriétés des intégrales irréguliéres que M. Poincaré {Amer. Journ., t. XII; Act. math., t. XIll) a traitées, pour les équations à coefficients rationnels, au moyen de la transformation de Laplace.

» Je me borne ici à indiquer le principe de la recherche dans un cas simple, me réservant de traiter le problème général dans un Mémoire développé.

» L'équation

dont les coefficients sont des séries convergentes pour | r| suffisamment grand, est satisfaite formellement par les séries normales de M. Thomé

qui sonl, en général, divergentes.

» Je suppose les racines a,, y.., de l'équation a^+ «^a + è„ = o réelles (ce qui ne restreint pas la généralité) et a, ^ x^-

» Les fonctions

satisfont à l'équation

" Posons

On a

D,(ç,) = eV'^^P,-/Yi) (.= ,,2).

)) Soit //„ une intégrale de D|( y) — o, par exemple «0 = 'p,. Les équations de M. Fuclis

donnent

«- = E ?'■/ ^^- ( «"'- ) Tl?) '^•^'

où l'on a posé

A = 0,0., — o.,o'; A, = Oo, A, =

» Le chemin d'intégration part de l'infini avec un argument compris

itre - et — et évite les points singuliers. Eu moc

la démonstration de M. Fuchs, on voit que la série

entre - et — et évite les points singuliers. Eu modifiant convenablement

converge pour tout point .r non singulier et représente une intégrale de D(y) = o. Pour notre but, il importe de savoir qu'elle est absolument et

uniformément convergente pour | x-l > r, — - -1- S <C arga- <; — — S, S désignant une quantité positive arbitrairement petite et r une quantité suffisamment grande.

» La remarque suivante sert à étudier les termes de cette série : En intégrant par parties, on trouve (x étant réel et positif) l'équation formelle

avec ce sens : l'intégrale 1 est représentée asymptotiquement par la série du second membre, c'est-à-dire, lorsque l'on pose

£„ tend vers zéro, x allant à l'infini avec un argument entre — - et -^- Il

suffit pour cela que la fonction à intégrer soit représentée asymptotiquement, dans le même domaine, par la série

qui peut être divergente.

» D'abord on a une expression de la forme

u, ^ e^-^?. j^'a-V, [^^) dx + e^.'xP» f%'°''-"-''-^^î'--f''-y= (^) dx

( 2o8 ) qui est représentée asymptoliquement par la série

» De la même manière on trouve l'équation asymptotique

r, r n / ^mm A,,, ,„^. A,„ ,„^,

pour m quelconque. En posant

A^ = A,^ -+- A,v + . . . + A^^, on en déduit l'équation

r, , = e".-'' Ji'f . ( I H !+... + -^ -4-

£„ tend vers zéro, a- allant à l'infini avec un argument compris entre

et—-- Avec M. Poincaré, nous dirons que l'intégrale r,, est représentée asymptoliquement par la série normale

S.^eV'^a^P./ n- :ii + ^ +.

l'argument de œ variant de — - à — •

)) D'une manière analogue, on trouve une intégrale r,^ de D(y) = o qui

qui est représentée asymptotiquement par la série So, l'argument de x va-

3r , 3r riant âe ^ à — '-■ La recherche se continuera de la même manière que

dans mon Mémoire récemment paru dans les Mal/t. Ann., t. XLIX, où j'ai traité le cas spécial de l'équation à coefficients linéaires.

)i On voit que rien ne s'oppose à l'extension de la méthode employée à une équation linéaire d'ordre n qui est satisfaite par des séries normales de rang quelconque. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'existence des intégrales d'an système partiel, déterminées par certaines conditions initiales. Note de M. Riquier, présentée par M. Appell.

« A chacune des variables indépendantes et à chacune des fonctions inconnues d'un système différentiel S, faisons correspondre p entiers

( 209 ) positifs, nuls ou négMtifs, que nous nommerons respectivement cale première, cote seconde, ..., cote p""'"^ de cette quantité, el supposons essentiellement que les cotes premières de toutes les variables indépendantes aient été choisies égales à un même entier positif. Considérons ensuite une dérivée quelconque de l'une des fonctions inconnues, et nommons cote q'^""(q = i, 2, . . ., p) de la dérivée en question l'entier obtenu en ajoutant à la cote q"""" de la fonction inconnue les cotes ^'™" de toutes les variables de différentiation, distinctes ou non. Désignons, enfin, par î5, ^' deux quantités appartenant l'une et l'autre au groupe que forment les fonctions inconnues et leurs dérivées de tous ordres, par

les cotes respectives de ces quantités, et convenons de dire que la seconde, S', est régulière ou irréguliére par rapport à la première, S, suivant que les différences

r, — c\, c, — c',, ..., Cp— c^,

satisfont ou non à la double condition : i° que ces différences ne soient pas toutes nulles; 2" que la première d'entre elles non égale à zéro soit positive.

» Supposons, d'autre part, que les circonstances suivantes se trouvent simidtanément réalisées dans le svstème S : 1° Ce système, impliquant g fonctions inconnues et composé de g équations, est résolu par rapport à g dérivées appartenant respectivement aux g fonctions inconnues, et ces g dérivées, non plus que leurs propres dérivées, ne figurent dans aucun des seconds membres; 2° toute fonction inconnue, ou dérivée de fonction inconnue figurant effectivement dans le second membre d'une équation du système, possède une cote première au plus égale à celle du premier membre correspondant.

» Finalement, dressons, pour chaque équation du système S, la liste des diverses quantités (fonctions inconnues ou dérivées de fonctions inconnues) qui, figurant effectivement dans le second membre, se trouvent être irrégulières vis-à-vis du premier; égalons à zéro les dérivées premières de chaque second membre, prises par rapport aux quantités irrégulières correspondantes, et désignons par (A) le groupe des équations ainsi obtenues.

» Cela étant :

» I. Si le groupe des équations (A) n'existe pas, ou, en d'autres termes,