C. K., 1898, 1" Semestre. (T. CXXVI, N

( 3^^- ) fonctions entières provient de l'infinie multiplicité des types de croissance possibles : les raisonnements applicables à tous ces types sont à la fois ardus et difficiles à étendre ('). D'ailleurs, ces difficultés ne se présentent, jjas seulement lorsqu'on considère des fonctions qui croissent extrêmement vite; à cause d'un principe analop;ue à celui de V hornogénéilé du continu, il y a exactement les mêmes difficultés à faire une étude complète des fonctions qui croissent plus vite que e' et moins vite que e--^ , par exemple, qu'à faire l'étude de toutes les fonctions croissantes. Aussi, en nous bornant, dans ce qui suit, aux fonctions entières de genre fini, nous ne restreignons pas la généralité autant qu'on pourrait le croire. D'ailleurs, on verra aisément que plusieurs des remarques qui suivent s'étendent sans peine au cas général.

» On peut associer à toute fonction entière une fonction positive croissante M(r), égale au maximum du module de la fonction entière pour I - I = / . L'hypothèse que la fonction est de genre fini s'exprime par le fait qu'il existe un nombre positif p' tel que l'on ait, à partir d'une certaine valeur de /•, M(r) <; é . Il y a évidemment alors une infinité de tels nombres p'; si p désigne leur limite inférieure (qui n'est pas nécessairement atteinte), on dit que la fonction est d'ordre apparent p. Si, d'autre part, on désigne {)ar </„ le module du /<""'' zéro de la fonction, la limite inférieure p des nombres p', tels que la série la~^' soit convergente, est dite l'ordre réel de la fonction. Le théorème fondamental qui, pour les fonctions de genre fini, résume les recherches citées plus haut, est le suivant : sauf le cas d'exception unif/ue de M. Picard, l'ordre réel est égal à l'ordre apparent. D'ailleurs, ce cas d'exception ne peut se présenter que si l'ordre apparent p est un nombre entier. Nous nous proposons de préciser, dans certains cas, ce résultat, ou, plus exactement, de préciser les conséquences (|ue l'on peut en tirer relativement à la croissance dcsa,;; nous poserons «„= 9(«).

» Nous dirons qu'une fonction croissante 9(/") appartient au type exponentiel s'il existe un nombre positif p, tel que, quel que soit le nombre positif i, les inégalités e'^ <] (p(/)<; e'^^' soient vérifiées à partir d'une certaine valeur de r; de plus, s'il en est ainsi, nous conviendrons de dire aussi que logcp(/') et e*''^' appartiennent au type exponentiel.

» Avec ces définitions, la j)remièrc proposition que nous avons à énoncer est la suivante : Si la fonction A^/") appartient au type exponentiel, il en est

(') J'ai tloiiné un exemple d'un tul laisoniiemenl dans ma Note du ti mai 1896.

de même de la fonction 0( « ). et réciproquement (;i moins que Ton ne se trouve dans le cas de ^M. Picard). Ou voit que cette proposition j)ermetde préciser beaucoup les résultats obtenus sur les a„; en effet, si l'on connaît seulement Y ordre apparent p, sans rien savoir du type de croissance de ^(n), les circonstances les plus diAerses peuvent se présenter; car une série peut être convergente, tout en ayant une infinité de termes supérieurs aux termes correspondants d'une série divergente. Au contraire, si, l'ordre apparent étant c, on sait de plus que la fonction 0(n ) appartient au type ex-

ponentiel, on peut affirmer que les inégalités n' <^ci„<C'v' sont vérifiées à partir d'une certaine valeur de n.

» Pour obtenir, dans chaque cas, un résultat aussi précis que celui-là, il faudrait étudier d'autres types de croissance ; mais cette étude longue et peut-être indéfinie ne semble pas nécessaire si l'on remarque que toutes les fonctions croissantes qui s'introduisent naturellement en Analyse appartiennent au type exponentiel ou à des types s'y rattachant directement. Cette remarque me parait d'ailleurs avoir de l'importance dans bien des questions.

)) Parmi les tvpes de croissance que l'on peut fabriquer, si je puis ainsi dire, mais qui ne s'offrent pas naturellement, les types lacunaires sont parmi les plus curieux. Pour faire comprendre ce que j'entends par là, je vais donner un exemple d'un tvpe lacunaire qui se rattache indirectement à la fonction exponentielle. Dans le développement en série de e^, ne conservons que les termes dont le rang est n", n étant un entier; nous obtiendrons une fonction croissante o{x) qui, pour une infinité de valeurs de x, différera extrêmement peu de e^ '^leur rapport sera de l'ordre de grandeur de \x) mais qui, en général, sera beaucoup plus petite que e^. Si l'on suppose X imaginaire, la fonction entière o(a") offre la propriété curieuse de différer extrêmement peu de certains pohnonies dans des couronnes circulaires dont l'étendue est très considérable (' ). Cette propriété permet d'étudier avec la plus grande facilité la distribution des zéros d'une telle fonction; de plus, on voit que, dans ces couronnes, pour toutes les valeurs de X qui ont même module, la fonction a sensiblement le même module, c'est-à-dire que le module de la fonction diffère très peu de son maximum.

» Enfin, pour ces fonctions et, d'une manière générale, joowr toutes celles

(') Pour préciser, si l'on considère un cercle de centre fixe et de ra^on croissant, le rapport des aires des couronnes intérieures au cercle, à l'aire du cercle, tend vers un lorsque le rayon augmente indéfiniment.

( 324 ) qui n api artiennent pas au type exponentiel, le cas d'exception de M. Picard ne peut pas se présenter.

» Dans le cas où une fonction croissante o(r) n'appartient pas au type exponentiel, il peut arriver qu'il existe des nombres p" et p', tels que les inégalités e'' <^ç(r)<^e'" soient vérifiées à partir d'une certaine valeur de r; mais la limite supérieure p, des diverses valeurs de p" ne coïncide pas avec la limite inférieure p des diverses valeurs de p'. On peut alors, en étendant une manière de parler introduite, mais insuffisamment définie, par Paul du Bois-Reymond, dire que la fonction a des enveloppes d'indétermination exponentielles. En introduisant ces nombres p et p, , on peut obtenir, sur les zéros, des résultats assurément moins précis que dans le cas du type exponentiel, mais plus précis que dans le cas général. Observons aussi que, même dans le cas du type exponentiel, les théorèmes qui précèdent, comme je l'ai déjà remarqué ailleurs, n'épuisent pas la question.

)) Enfin, en terminant, indiquons que les observations ici présentées sur les types de croissance et en particulier sur le rôle prépondérant du type exponentiel, ne sont pas restreintes aux fonctions entières. Des observations analogues s'appliqueraient à l'étude d'une série de Taylor quelconque; la distribution des zéros d'une telle fonction à l'intérieur de son cercle de convergence suit des lois générales analogues à celles qu'on vient de rappeler, mais un peu moins simples ('). »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles analogues aux équations du premier ordre. Note de M. Jcles Beldon, présentée par M. Darboux.

« Je considère les systèmes d'équations aux dérivées partielles définissant une fonction Z de n variables x^, . . ., x„ et dont la solution générale dépend d'une fonction arbitraire ûe n — i arguments; le cas le plus simple est l'équation du premier ordre.

(') Renseigneaienls bibliographiques principaux relatifs à cette Note : E. Picaiîd^ Mémoire sur les fondions entières {Annales de l'Ecole A'orniale; 1880) ; Lagvërbe, Comptes rendus, 1 882-1 884; OEurres, t. 1; H. Poincaré, Sur les fonctions entières {Bulletin de la Société mathématique, i883); J. Hadamabd, Sur les propriétés etc. {Journal de Malhématicjues, 1898); E. Borel, Sur les zéros des fonctions entières {Acla mathematica, t. XX); Du Bois-Reymond, Théorie générale des fonctions, p. 209 et 210 de la traduction française.

( 325 ) » Si un tel système est donné d'ordre p, on peut toujours le rendre linéaire, s'il ne l'est déjà, en formant les équations d'ordre/) + i ; le de^ré de généralité n'est pas changé, à des constantes arbitraires en nombre fini près; je supposerai donc le système linéaire. J'ai démontré qn'il avait alors la forme

» Ce système possède des caractéristiques à une dimension définies par les équations suivantes :

«iZ^^,...x, + «,z^;t+....x,. + . . . + rt„z^;t.' x,,^

» Si l'on se donne une multiplicité ponctuelle ah — i dimensions, on obtient, par des équations différentielles ordinaires, l'orientation des éléments d'ordre p — i des différentes surfaces intégrales qui contiennent cette multiplicité, et l'on engendre ensuite chacune de ces surfaces par les caractéristiques, à la façon habituelle.

)) J'espère revenir prochainement sur cette question, en indiquant des systèmes analogues aux systèmes d'équations du premier ordre. »

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur la géométrie des champs magnétiques et le mouvement à deux degrés de liberté dans le plan ou sur la sphère. Note de M. Rexé de Saussure.

« Une figure plane peut prendre une triple infinité de positions différentes dans son plan. Tout déplacement à un degré de liberté de la figure contient une simple infinité de ces positions, formant une série continue; on choisit comme type du déplacement à un degré de liberté la rotation ou déplacement circulaire, parce qu'il y a toujours une rotation et une seule qui passe par deux positions données de la figure, de sorte qu'on peut considérer tout déplacement dans un plan comme une succession de rotations infiniment petites. Une double infinité de positions de la figure définit un déplacement à deux degrés de liberté, pourvu que ces positions forment une série continue; il doit donc exister aussi un déplacement à deux degrés

( 326 ) (lo liberté pouvant servir de tvpe à tous les autres; ce déplacement type devra être de telle sorte qu'il soit déterminé par trois positions de la figure; il devra, en outre, être tel que, si l'on prend deux positions quelconques delà figure faisant partie de ce mouvement, la rotation déterminée par ces deux positions fasse tout entière partie du mouvement. L'existence d'un tel mouvement n'est pas évidente, et, pour l'établir, réduisons la figure plane à sa plus simple expression, c'est-à-dire à un point M et à une droite I) passant par ce point : un mouvement plan à deux degrés de liberté est alors un mouvement dans lequel le point M peut occuper n'importe quelle position dans le plan, mais la direction de la droite D dépend à chaque instant de la position du point M. Ainsi, par exemple, une aiguille aimantée placée dans un champ magnétique plan définit un mouvement à deux degrés de liberté, parce que, si l'on déplace cette aiguille dans le champ, son axe D prend une direction déterminée à chaque instant par la position.de son centre M. Or, pour déterminer un champ magnétique, il suffit de tracer les lignes de force du champ et, en général, on peut dire que toute famille de courbes définit un mouvement plan à deux degrés de liberté ou une double infinité de positions de la figure MD, puisque, en chaque point M du plan, passe une courbe du système dont la tangente détermine la direction de la droite D en ce point.

» Nous allons démontrer que le mouvement type à deux degrés de liberté dans un plan est celui qui est défini par le système de tous les cercles tangents à une même droite Ox en un même point O; on dira que ces cercles forment un système circulaire, dont le point O sera le centre et la droite O^r \axe. Il est facile devoir d'abord que, si l'on déplace la figure MD dans un système circulaire, de telle sorte que le point M décrive un rayon OM du système, la tangente U au cercle correspondant reste parallèle à elle-même ; et lorsque le point M décrit un cercle concentrique au système, la tangente D tourne autour du point M deux fois aussi vite que le rayon OM tourne autour du centre O. Cela posé, soient MD et MD' deux positions de la figure appartenant au système circulaire ; les trois points M, M' et O déterminent un cercle; si 1 est le centre de ce cercle, l'angle MIM' est le double de l'angle inscrit MOM'; mais, d'après ce qu'on vient de voir, l'angle des tangentes D et D' est aussi le double du même angle MOM' formé par les rayons correspondants; le point I est donc le centre de la rotation déterminée par les deux positions MD et M'D' de la figure; ce centre de rotation est donc le même tant que les points M et M' restent sur le cercle OMM', c'est-à-dire que, si l'on fait tourner la figure MD rigidement

autour du point I (à partir de la position initiale .MD ou M'D'), toutes les positions que prendra cette figure pendant la rotation appartiendront aussi au système circulaire. Un système circulaire définit donc bien un moinement plan à deux degrés de liberlé tel que, si Von considère deux positions quelconques de la figure appartenant au mouvement, la rotation déterminée par ces deux positions appartient tout entière au mouvement, et l'on peut ajouter que, dans cette rotation, le point M passe toujours par le centre du système circulaire.

M Les propriétés les plus remarquables des systèmes circulaires sont les suivantes :

» 1° L'intersection de deux systèmes circulaires, c'est-à-dire le lieu des positions de la figure 3ID communes aux deux systèmes, est toujours une rotation passant par le centre de chaque système.

» 2° Toutes les rotations que la figure ]MD peut effectuer dans un système circulaire, à partir d'une position donnée, ont leur centre en ligne droite, car toutes ces rotations passent par le point fixe ^I et par le centre O du système.

» 3° Trois positions de la figure ^ID suffisent pour déterminer complètement un système circulaire, car, en construisant les centres de rotation correspondant aux trois positions données, prises dews. à deux, on obtient trois rotations qui apparliennentau système et qui, par conséquent, doivent se couper toutes les trois au centre O du système cherché; d'ailleurs, l'axe du système sera la droite Ox qui fait avec OM le même angle que OM fait avec la droite D. Les trois rotations, déterminées par trois positions quelconques de la figure, sont telles que l'une d'elles est la résultante des deux autres ; on voit donc que la résidlante de deux rotations finies est une rotation qui appartient au système circulaire déterminé par les deux rotations composantes, et comme les trois cercles décrits par M pendant ces rotations passent au même point O, on obtient une construction géométrique simple pour trouver la résultante de deux rotations.

» Étant donné un champ magnétique quelconque, trois positions infiniment voisines de l'aiguille aimantée détermineront le système circulaire tangent au champ magnétique en ce point, c'est-à-dire que dans les environs de ce point, les cercles du système circulaire tangent coïncideront avec les lignes de force du champ magnétique. De plus, en tournant le système circulaire d'un angle droit autour de son centre, on obtient un second système de cercles orthogonal au premier et qui coïncide avec les lignes équipotentielles du champ magnétique dans les environs du même point.

» On peut ainsi, au moyen de trois observations d'une aiguille aimantée, déterminer par des cercles toutes les lignes de force du champ magnétique dans la région avoisinante, et ce procédé s'applique évidemment à un système quelconque de courbes dans un plan, par exemple aux lignes de plus grande pente et aux lignes de niveau d'une surface topographique. Le système type est toujours le système circulaire, mais ce système a une signification différente suivant le phénomène que l'on étudie. Ainsi, s'il s'agit d'un champ magnétique, le système circulaire représentera le champ magnétique type; en effet, ce système représente précisément le champ magnétique que produirait un aimant infiniment court, placé au centre du système dans la direction de son axe. S'il s'agit d'une surface topographique, le système circulaire représentera la surface topographique type; s'il s'agit d'une carte donnant la direction du vent qui règne à un moment donné aux différents points d'un pays, le système circulaire représentera la distribution type du vent, c'est-à-dire un cyclone type, et le centre du système coïncidera avec le centre du cyclone, car en ce point la direction du vent est indéterminée.

» Les systèmes circulaires serviront aussi à l'étude des mouvements à un degré de liberté dans un plan, car trois positions consécutives d'une figure en mouvement détermineront un système circulaire osculaleur du mouvement, système qu'il peut être utile de considérer. La même théorie s'étend sans modification au mouvement à deux degrés de liberté sur une sphère, c'est-à-dire autour d'un point fixe. Des théories analogues s'appliqueront au mouvement dans l'espace; le mouvement type à un degré de liberté est le mouvement hélicoïdal, et il doit exister aussi des mouvements types à deux, trois, quatre et cinq degrés de liberté. Ces mouvements serviront à l'étude des autres mouvements, lorsqu'on aura établi leurs propriétés. »

MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Loi des déformations des métaux industriels. Note de M. Marcel Brillouin, présentée par M. Maurice Lévy.

« Les métaux industriels ne sont pas des substances chimiques pures, ni des mélanges homogènes; ce sont des conglomérats constitués par un très grand nombre de petits cristaux du métal, ou d'une combinaison définie de ce métal, empalés dans quelques millièmes au moins d'un ciment formé aux dépens du fondant enq:)loyé dans le traitement métallurgique. Tel est le type le plus simple que révèle l'analyse micrographique.

» Toute théorie des déformations d'un métal industriel qui fait abslraction de cette structure grossière est sans valeur; au contraire, il suffît de tenir compte de cette structure, pour retrouver tous les faits connus et en annoncer beaucoup d'autres.

» Prenons comme tvpe extrême un corps formé de petits cristaux élastiques, sans viscosité, séparés les uns des autres, et noyés dans un ciment très visqueux, sans aucune élasticité, formant un réseau continu, et faisons la théorie de ce système en admettant des lois d'élasticité et de viscosité linéaires. Les forces que subissent les cristaux élastiques leur sont entièrement transmises par le réseau visqueux ; la déformation visible est la somme des déformations élastique et visqueuse produites par les mêmes forces principales.

» Dans la traction simple, que je prendrai pour exemple, la somme des longueurs L, des cristaux augmente de SL, — kL, X, en appelant X la force par unité de section droite et X- l'inverse du module d'Young; la somme des épaisseurs L, des joints transversaux formés par la pâte visqueuse augmente aux dépens des épaisseurs, des joints longitudinaux. Comme les déformations sont très lentes, l'inertie n'intervient pas sensiblement; mais on peut admettre que, comme dans les fluides visqueux, la vitesse de déformation de la pâte varie en raison directe de la force qui la produit. On a donc

dt\n J 11.-' \ n !

en appelant n le nombre des joints sur la longueur L =: L, + Lo de la tige et / une fonction qu'on peut facilement calculer pour divers tvpes simples de réseaux. Celte dernière équation peut être intégrée, puis résolue par rapport à L2 ; elle devient

A est une constante d'intégration qui nous permet de laisser libre l'origine du temps, <I> est une fonction qui se déduit de la" fonction / pour l'intégration. La variable / X.ch est ce qu'on appelle en Mécanique l'imput-

sion; u. est le coefficient de viscosité.

» Réunissons les deux effets, élastique et visqueux; il vient