GÉNÉRALITÉS
1. E S t'il possible de faire représenter un point du plan des axes par une solution
x= a-H Pv^ — 1, j^=a'-i-pV — ' d* une équation
sous la condition que le point représentatif de cette solution^ dont les coordonnées x^ et j^ seraient des fonctions deoL, p, ol\ p', conserve une position invariable dans le plan, quelque transformation que Von fasse subir aux axes et, par suite, à la solution considérée?
Et d'abord, si Xs doit être fourni par la formule
il faudra que y s le soit par
n=cp(a',P',a,p);
sans quoi rechange des deux axes des x et des y ne laisserait pas le point (^r^, j^i ) à la même place. Supposons donc que les formules
:r,= <p(a, p,a',p') et j^, = cp(a', p', a, P)
remplissent la condition exigée.
Si Ton transporte l'origine sur Taxe des x à une distance a de l'ancienne^ les formules de transformation seront
de sorte que la solution
deviendra
37'= a— a-h Pv^^, / = «'+ p'/HT; le point {x\ , /', ) deviendrait donc
x\ = ?(a-a, p, a', p'), y\ = cp(a', p', a-a, P);
pour qu'il ait conservé la même situation, il faudra que ses coordonnées x\^y\ soient liées k x^, y^ par les formules de transformation, c'est-à-dire que Ton ait
?(«-«, p,a',p')=cp(a,p,a',p')-a et
cp(a'^p',a-a,P)=cp(a',p',«,p),
quels que soient a, j3, a', p' et a.
Ces conditions exigent évidemment, d'abord, que a n'entre pas dans la fonction ç relative à yt ni, par conséquent, a' dans la fonction ç relative h Xt] en second lieu, que la fonction cp relative à x^ ne contienne a qu'au premier degré, sans coefficient, et de même, que la fonction (f relative kyt ne contienne a' qu'au premier degré, sans coefficient.
Ainsi la transformation considérée conduit à conclure
que Xi Giyt doivent respectivement affecter les formes
Considérons maintenant la transformation dans laquelle l'axe des y aurait simplement tourné autour dp l'origine, de manière à faire avec l'axe des x^ resté fixe, l'angle supplémentaire de celui qu'il faisait auparavant.
Les formules de transformation seront
y = y et x' = X -h 2.cos^y;
la solution x = a H- p ^ — i , j^ = a'-+- P' y/ — i deviendra donc
Le point représentatif de la solution transformée serait donc
x\ =0L ■+■ 2a'cosO-i-iKP-4-2p'cose, p')
mais, pour que le point représenté soit resté le même, il faudra que ses coordonnées x\^y\ et Xi^yt soient liées par les formules de transformation, c'est-à-dire que
y^ = y^ et x\ = xi-\- 2^1 cosÔ ou que
et
a -h 2a' cosO + tK p -h 2 P' cosO, p')
La première condition montre que la fonction '^ relative à j^i ne doit pas contenir p et, par suite, que la fonction A relative à x^ ne doit pas non plus contenir p'.
En conséquence, il faudra réduire x^ etji à
Mais alors la condition
se réduit à
x\ = j™! -4- 'lyi cosO
a -h 2a' cos6 -+- ^{^ -H 2p' cos6) = a-f-4;(p)-h'2COsO[a'H-4^(P')]
ce qui exige que ^ soit du premier degré et sans constante.
En résumé, on est amené à faire obligatoirement
^1= a -h /-fi, jKi = a'-4- A:^'.
Il est, du reste, facile de vérifier que, dans ces conditions, le point représentatif d'une solution
restera toujours le même, quelque transformation des coordonnées qui intervienne.
En effet, si les formules de transformation sont
x' = a-{- mx -h ny,
la solution transformée de
sera
x' = a-Jr ma -h /ia'-+-(mp ■+- n^') \J — i ,
les points représentatifs de ces deux solutions seront
donc
27, = a -4- /p, y^ = a'-f- X:P' et
x\ = a-h ma-^- na'-h /:(/?? p -H np')= a -+- mxi-+- nyij y\ = b-\-pa -f- qa'-\-k{p^ -f-^p')= h-\-px^ -^ qy\\
( 5) les coordonnées anciennes et nouvelles de ces deux points seront donc liées entre elles par les formules de transformation : les deux points coïncideront donc.
Il n'y aurait aucun avantage à donner h k une valeur différente die i^ nous ferons donc toujours
