Les solutions imaginaires x = a + p ^/ — i

7^=a'+[3'y/ — I d'une équation à deux variables f(^3C,y)'=.o piésentent une double indétermination, c'est-à-dire que les quatre variables a, p, a', ^' ne sont liées entre elles que par deux conditions, celles dans lesquelles se décompose

Il en résulte que les points (.r^^j^^) représentatifs de toutes les solutions imaginaires d'une équationy"(x,j)=o formeront plaque sur le tableau.

Sur la surface recouverte par ces points {x^^y^)^ on pourra tracer une infinité de courbes : l'une d'elles sera définie par une équation complémentaire

'cp(a,p,a',p')=o.

La théorie donnera les moyens de les étudier toutes^ mais la classe de celles dont les points correspondraient à des solutions qui pussent être rendues réelles, en même temps, par rapport à l'une des variables, a: par exemple, par une transformation convenable des coordonnées, présentera un intérêt tout particulier, parce que ces courbes auront des rapports beaucoup plus intimes que toutes les autres avec la courbe réelle représentée par la même équationy*(x,j^^)= o; en effet, dans un système convenable de coordonnées, les ordonnées de Tune de ces courbes et de la courbe réelle seront

respectivement représentées par deux fonctions conjointes de Tabscisse commune

analogie algébrique d'où résulteront une infinité d'analogies géométriques, qui permettront d'instituer une Qéomètrie comparée.

Les lieux courbes contenus dans le lieu plan/^(j:, j-)=r o qui sont définis par la condition précédente sont désignés sous le nom de conjuguées du lieu réel f(x^y)r=o.

Cherchons la condition complémentaire qu'il faudra joindre à l'équation y^a:,j^) = o pour définir une des conjuguées de ce lieu, c'est-à-dire cherchons le caractère commun de toutes les solutions imaginaires de l'équation d'un lieu, qui pourraient devenir en même temps réelles par rapport à l'abscisse, h la suite d'une transformation convenable de coordonnées.

Soient

x' sin(0 — 0L)-{-y sin(ô — a')

x' sina -h y' sina'

sinô

les formules d'une transformation; on en tire

[x sina' — y sin(6 — a')] sin6

= x'[s\n(x' sin(0 — a) — sina sin(0 ~ a')].

Si donc on veut que les a/ soient réels, il faudra queji et y soient tels que

X sin a' — y sin (0 — a' )

soit réel , c'est-à-dire, si jr=a-f-[î v — * et}^ =:a'-i-pV — * »

que

Psina'— p'sin(0 — a')=o OU que

l sina'

p ~ sin(e — a')'

condition indépendante, comme on le voit, de l'équation du lieu considéré.

Ainsi, l'on pourra rendre en même temps réelles, par rapport à Tabscisse nouvelle, les solutions de toutes les

» équations à deux variables où ~ aurait une même valeur C.

La constante C= s- qui définit une conjuguée d'un

ïieuJ(x^j)=o est ce que nous nommerons la crt/*actéristique de cette conjuguée.

On voit que cette caractéristique

^ sina'

sin(6 — a')

est le^coefBcient angulaire de la direction qu'il faudrait donner au nouvel axe des y pour rendre en même temps réelles les abscisses nouvelles de tous les points de la conjuguée.

Ainsi l'équation de la conjuguée C d'un lieu

résulterait de l'élimination de a, p, cl' et [3' entre les équations

mais on ne se servira jamais de cette équation d'une con-

(8) juguée en coordonnées réelles. Cette équation serait de degré m {ni — i) ou de degré m'^ suivant que l'équation f{x^y) = o^ de degré m, aurait tous ses coefficients réels ou en aurait d'imaginaires; mais la conjuguée elle-même sera bien plus facile à étudier dans V é(]xxaX\o\\f{x y y) = o, qui la représente en coordonnées imaginaires, que dans celle qui la représenterait en coordonnées réelles.

Les conjuguées d'un lieu de degré m présentent, en ellet, comme on le verra, tant au point de vue algébrique qu'au point de vue géométrique, tous les caractères des courbes de degré m.

Nous démontrerons d'ailleurs, et c'est, en définitive, le but que nous nous proposons, que toute question quelconque, résolue déjà pour le lieu réel y (x, j) = o, Test par cela même, au moyen des mêmes formules, pour une quelconque de ses conjuguées, moyennant une interprétation toujours très simple.

Cordes réelles d'une conjuguée, — Une équation y =:QiX -^ d^ dans laquelle d peut prendre toutes les valeurs réelles, n'est capable que de solutions du système C; en efl'et, si l'on y fait x = a -H [3 y/ — i et

j^ =-^ a'-f- j3'y/ — 1, il vient

a'=Ga-H6? et p' = G?.

On voit donc qu'on pourrait directement construire la conjuguée G d'un lieu y(x, jk) = o, en recherchant toutes les solutions communes à Téquation f(x^y) = o et à l'équation j}'^ = Cx -j- /7, dans laquelle on ferait varier df de — 00 à H-co; au reste le point a:| c^ a h- [3, j^^ = a' H- P\ qui représenterait une de ces solutions, appartiendrait à la sécante considéréej^=r Cx -H f/, car les deux équations précédent(^s donnent

(9) 3. Conjuguées des coniques, — Soit C {fig* i) une ellipse quelconque, cherchons la conjuguée de cette

Fig. I.

ellipse dont les cordes réelles sont parallèles à la droite NN': pour cela rapportons la courbe au diamètre parallèle à NN', pris pour axe des j , et à son conjugué, pris pour axe des x; Téquation de l'ellipse prendra la forme

si Ton donne à x des valeurs non comprises entre — a et 4- (t! t Tordonnée du lieu sera imaginaire et représentée par

les coordonnées réalisées du point correspondant seront

xi=x et ri = ^Aî — «^;

elles seront donc liées entre elles parla relation

iPî

la conjuguée Heu de ces points sera donc l'hyperbole SAS'TA'T' ayant pour diamètre non transverse le diamètre de l'ellipse parallèle aux cordes réelles de cette même conjuguée, et pour diamètre transverse le diamètre conjugué du premier.

Ainsi les conjuguées d'une ellipse sont toutes les hyperboles qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun^ elles recouvrent tout le plan, sauf l'intérieur de l'ellipse, et cette ellipse est l'enveloppe de ses conjuguées. jNous savions déjà qu'il en est de même de toutes les courbes : une courbe quelconque est l'enveloppe de ses conjuguées, ou d'une partie de ses conjuguées.

Considérons maintenant une hyperbole {fig- 2) : les

Fis:. 2.

parallèles à un rayon compris dans les angles des deux asymptotes qui comprennent eux-mêmes la courbe réelle rencontreraient toutes cette courbe en deux points réels ; ainsi les cordes réelles des conjuguées d'une hyperbole sont parallèles aux diamètres non transverses de cette courbe; en d'autres termes, quels que soient les axes auxquels une hyperbole soit rapportée, la caractéris-

tique C = 4^ d'une conjuguée ne peut varier qu'entre

les valeurs extrêmes des coefficients angulaires des diamètres non transverses de la courbe. C'est un fait général en ce sens que, si une courbe de degré m est toujours coupée en m points réels par toutes les droites parallèles aux rayons d'un secteur, la courbe n'a pas de conjuguée dont la caractéristique soit comprise entre les coefficients angulaires des rayons extrêmes de ce secteur, et ces rayons extrêmes ont généralement des directions asymptotiques, parce que, généralement, on peut mener à la courbe plus de tangentes inclinées à une asymptote, dans un sens, qu'on n'en peut mener qui soient inclinées dans le sens contraire. Au reste, cela ne veut pas dire qu'une courbe n'ait jamais de conjuguées dont les cordes réelles aient des directions parallèlement auxquelles on ne pourrait pas lui mener de tangentes.

Supposons que nous voulions connaître la conjuguée de l'hyperbole SAS'TA'T', dont les cordes réelles seraient parallèles à une droite NN' parallèle à un diamètre BB' non trans verse de cette hyperbole ; prenons pour axe des y ce diamètre BB' et son conjugué AA' pour axe des jc, l'équation de l'hyperbole prendra la forme

et si l'on donne h x des valeurs comprises entre — a' et a'^j sera imaginaire et représenté par

les coordonnées réalisées du point correspondant seront

Xi = X et Yi = —, i/a"^ — t? ;

elles seroiil done liées entre elles par la relation

la conjuguée lieu de ces points sera donc Tellipse B A B' A', ayant pour diamètres les deux diamètres de l'iiyperbole considérée, qui seraient parallèles, l'un aux cordes réelles de la conjuguée, et l'autre au diamètre conjugué du premier.

Ainsi, les conjuguées d'une hyperbole sont Iputes les ellipses qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun. Elles ont deux enveloppes, l'une réelle, c'est Tliyperbole proposée, Tautre imaginaire, qui est l'hyperbole de mêmes axes, mais changés de réel en imaginaire, et réciproquement. Cette seconde enveloppe est ordinairement désignée sous le nom iVli^perbole conjuguée de la première; mais nous l'appellerons 'piulol supplémentaire de la proposée, parce que, lorsque les conjuguées d'une courbe ont deux enveloppes, l'enveloppe imaginaire présente toujours tous les caractères d'une véritable supplémentaire de la courbe elle-même ou de l'enveloppe réelle.

Les deux enveloppes ont ici les mêmes asymptotes, c'est un fait qui sera généralisé.

Les conjuguées d'une hyperbole recouvrent toute la portion du plan comprise entre cette hyperbole et sa supplémentaire, et aucune ne peut pénétrer dans l'intérieur de la concavité de l'une ou de l'autre des deux hyperboles.

Les points de l'enveloppe imaginaire, ou de l'hyperbole supplémentaire, seraient fournis par les solutions imaginaires sans parties réelles de l'équation de l'hyperbole proposée, rapportée à deux de ses diamètres conjugués quelconques a ai b.

( '3 ) En effet, si dans l'équation

on fait il vient

les coordonnées réalisées du point correspondant sont

et elles sont liées par Téquation

qui représente bien l'hyperbole supplémentaire.

Le coefficient angulaire ~- du lieu — — ^ — i =0,

en un point de l'enveloppe imaginaire, se réduit ici à

-j^ et est, j)ar conséquent, réel. Nous verrons bientôt

que c'est le caractère général de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu quelconque.

Lorsque la caractéristique d'une conjuguée d'une hyperbole tend vers le coefficient angulaire d'une des asymptotes, la conjuguée correspondante s'aplatit indéfiniment et, à la limite, se confond avec l'asymptote ellemême, qu'elle recouvre deux fois. Nous verrons plus tard que le fait est général et même que les conjuguées d'une courbe de degré quelconque tendent, dans une de leurs parties, à devenir des ellipses, lorsque leur caractéristique tend vers le coefficient angulaire d'une asymptote réelle.

On verrait, comme précédemment, que les conjuguées d'une parabole sont des paraboles égales à la proposée

et opposées h elle par un diamètre commun et une tangente commune.

Les conjuguées d'une ellipse imaginaire

sont toutes les hyperboles qui ont avec Tellipse réelle correspondante

un système de diamètres conjugués commun. Seulement,

c'est alors le diamètre iransverse de la conjuguée qui

est parallèle à ses cordes réelles.

L'enveloppe imaginaire de ces conjuguées est Tel-

lipse

Elle est fournie par les solutions imaginaires, sans parties réelles, de Téquation du lieu lui-même,

c'est-à-dire par les solutions de la l'orme

réalisées par

En un quelconque des points de cette enveloppe imaginaire, le coefficient angulaire -j- du lieu est réel. Les conjuguées de l'ellipse évanouissante

sont naturellement réduites à leurs asymptotes, c'està-dire sont des droites. Les conjuguées dont les cordes

( '5 ) réelles sont parallèles à une droite donnée sont les diagonales du parallélogramme construit sur les deux diamètres conjugués d'une ellipse homothétique à Tellipse évanouissante, dont l'un serait parallèle aux cordes réelles de cette conjuguée.

4. Des éléments d'un lieu en un de ses points et de V eny^eloppe imaginaire des conjuguées du lieu, —

Le coefficient différentiel -^ en un point x^ y d'un lieu

/(X, Y) = o est

ce rapport n'a qu'une valeur, quel que soit dx^ c'està-dire que si l'on donne à x l'accroissement

dx = d%-\- dp \J — I , l'accroissement correspondant de y^

dy = doi' -^ d^' s/^^\ ,

sera toujours lié à l'accroissement de x par la même relation

quels que soient da et d^ l'un par rapport à l'autre. Soit m -i- n y/ — i la valeur du coefficient difïerentiel

-^ au point x,jy les accroissements correspondants de

x et de j^ seront donc liés l'un à l'autre par la relation

qui se décompose en deux

û?a' ^= m di — n d^^ et

d^' = m d^-\- n dcn.

Soient, suivant notre notation liabituelle, x^ ^^y\ '^îs coordonnées du point représentatif de la solution, x, j^, Vi -^dx^ eiyi-\- dy^ celles d'un point iniininient voisin, de sorte que

dxx = d7.-\- d^j et dyi = ^a'-t- rf^';

les deux équations précédentes donnent

dyi dn! H- û??' __ {m -\- n) dn. -\- {m — n^d^ dxi ~~ doL-ir d^ ~ d%-^ d"^

dxx ~ 14-^

dcL

~-^ pourra donc prendre habituellement une inGnité de

valeurs, qui dépendront de -p-; c'est-à-dire qu'autour

du point a:,, j^i, qui correspond à la solution x^ j de réquationy(X, Y) = o, le lieu en présentera généralement une infinité d'autres, placés dans toutes les directions, ce qui est tout naturel, puisque ce lieu constitue une surface, f.es lignes droites qui joindraient le point \x^^ jC\ aux points [xi -j- dx^^ y^ -h c/) i] constituent les éléments du lieu au point [j^mJ) *]•

Pour que tous ces éléments se confondissent géométriquement, il faudrait que -~ fut indépendant de ~-y ce (jui exigerait que

ni H- 72 __ ni — n I ~ I ou que 72 = o.

Ainsi, aux points d'un lieu où -^ est réel, tous les

éléments de ce lieu se confondent, c'est-à-dire que toutes les courbes, lieux de points [x^ , ^4 ], qui y passent, s'y touchent.

C'est là la propriété caractéristique de la limite, réelle ou imaginaire, de la portion du plan recouverte par tous les points imaginaires réalisés d'un lieu quelconque ] les deux enveloppes réelle et imaginaire des conjuguées d'un lieu quelconque seront donc fournies simultanément par la condition commune :

^ = réel.

Nous allons donner deux exemples d'une telle rfecherche. Soit d'abord le lieu

\ ^ • dx 3y^ — a2 '

pour que -^ soit réel, il faut que j soit de la forme

P' y/ — I ; alors x sera de la forme [3 y^ — i. D'ailleurs, ces valeurs de x ety devant satisfaire à l'équation du lieu, on aura

^ P'3 a2p'-ha2p==o;

l'équation de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du

lieu est donc

La courbe réelle, ou l'enveloppe réelle des conjuguées du lieu, est S AO A'S'(/?g^. 3), et l'enveloppe imaginaire est Si OSj . Ces deux enveloppes se touchent à l'origine, qui est pour elles deux un point d'inflexion, et elles sont réciproques.

Nous verrons plus tard qu'il en est toujours ainsi : M. 2

( i8) les deux enveloppes sont toujours réciproques Tune de Tautre, c'esl-à-dire que chacune d'elles est l'enveloppe

imaginaire des con juguées de l'autre, et les deux courbes ont les mêmes points d'inflexion, où d'ailleurs elles se tournent leurs convexités.

Considérons, comme second exemple, le lieu représenté par l'équation

{x-a-bs/~iy-^{y-a'-b's/~xy={r^r's/^i)\

qui se présentera de lui-même dans la théorie des courbures et auquel nous donnons le nom de cercle imaginaire.

Soient x = a-H \^^— i etj = a'-h ^V — * ^^^ coordonnées imaginaires d'un point du lieu, a, [3, a et P' satisferont aux deux conditions

(2) (et - a) ( p - 6)+ (a'- a') (?'- b') = rr' ;

le coefficient difTérentiel ^ aura pour valeur en ce point

dy x — a — b^^i g — a -4- (^ — 6) y/^ ^

y a'— b'sf^ a'— a'-t- (p'— 6') s/— i

( '9) et, pour qu'il soil réel, il faudra que

L'équation (3) donne

en substituant dans les deux autres, il vient

(ibis) n ^ (a'-a')2'^^ ^

r r>, »/ ^^ (ût g )

éliminant maintenant P' — è', il vient

c'est-à-dire

(4 ow) s

équation qui donne

i^ter) { r2— r'2 ± v/(r2— r' 2)2 + 4 r2 r'^

» — '^ ^ i 2 = r2 ou — r'2

mais (a — a)*-h(a' — aiy ne saurait être négatif; par conséquent, en définitive, la solution est

(4 quater) (a — a)«4- (a'— «')»= r«,

c'est-à-dire que a et a' sont les coordonnées d'un point de la circonférence

(5) (ar — a)ï-h(^ — a')«r^r«.

L'équation (i) donne, par suite,

et, par conséquent, p et P' sont les coordonnées d'un point du cercle

mais Téquation (3)

montre que les rayons des deux circonférences (5) et (6), qui contiendront respectivement les points (a, a') et (P, P') seront parallèles.

11 en résulte que Tenveloppe iaiaginaire du lieu proposé est Ja circonférence du cercle

En effet, soient, par rapport aux axes Ox et Oj {fig- 4)> C et G les points dont les coordonnées sont a et a' pour le premier, b et V pour le second; CA et CB, deux rayons parallèles dès deux circonférences décrites de C et de C comme centres, avec r et r' pour rayons; les projections de CA et de C'B sur Ox seront respectivement

a — a et p — 6,

et leurs projections sur Oj seront

af—a' et ^'—b';

en conséquence, si Ton construit le point €<, dont les coordonnées soient a H- J et a^-h b\ et qu'autour du

Fig. 4.

point Cl on décrive une circonférence de rayon r -\- r\ celte circonférence sera le lieu cherché.

En effet, les coordonnées d'un point M de cette circonférence seront

5. Z)e /a /ig-/ie droite, — Les conjuguées d'une ellipse étant toutes les hyperboles qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun, les conjuguées d'une ellipse évanouissante, telle que le lieu représenté par l'équation

{y — mx — p)^-^ {nx -\- qY=zo,

seront des hyperboles réduites à leurs asymptotes-, cha* cune de ces conjuguées sera composée des diagonales

de l'un des parallélogrammes construits sur deux diamètres conjugués d'une ellipse liomothétique à la proposée, par rapport à leur centre commun, telle que

Ainsi, les conjuguées du lieu

{y — mx — /?)*-+- (nx -H gr)* = o

constituent deux faisceaux de droites, émergeant Tun et Tautre du point réel

7137-1-^=0, y — mx — p = o,

où se réduit Tellipse évanouissante.

L'un de ces faisceaux constitue le système des conjuguées du lieu

y = (m-^ n s/ — i) x-hp-{- q / — i ,

et l'autre, le système des conjuguées du lieu

y = (/7i — n \J — \) X -hp — q sj — i.

Considérons l'un de ces lieux en particulier.

On pourra toujours déterminer m-\-n\l — i et p -\- q y/ — I , de façon que Téquation

admette deux solutions imaginaires données ( j:', y') et {x\j")\ Téquation

répondrait, en effet, à la question.

Si les deux points (x, jk'), {xf' t y^) ont été pris sur une même conjuguée G d'un \\Guf{x^j) = o, la droittî

( 23 ) de caractéristique C du lieu

sera une sécante effective, quoique représentée en coordonnées imaginaires, de la conjuguée C du lieu

Si les deux points (^'?.7')i {^^^j") tendent à se confondre sur la conjuguée C du lieuy(a:,j^) = o, la même droite deviendra tangente à la même conjuguée. Enfin, si les deux points (a/, j^'), (j^"»/") s'éloignent a l'infini sur la même conjuguée G du même \ieuf(x^y) = o, la même droite deviendra asymptote à cette conjuguée.

On voit par là que la forme imaginaire sous laquelle sont représentées les droites d'un faisceau

y = {m-^ n \/ — \)x -\- p -+- q yj — i

ne s'opposera aucunement à la solution des questions relatives aux tangentes et aux asymptotes , aux courbes représentées elles-mêmes en coordonnées imaginaires.

Au contraire, il est clair qu'il fallait bien qu'une droite fût îmagînairement représentée pour pouvoir entrer analytiquement en concurrence avec une courbe représentée elle-même imaginairement.

L'important était de constater que l'équation

contient juste le, nombre de constantes arbitraires suffisant, sans superfétation, pour permettre d'établir tel concours que l'on voudrait entre une droite du faisceau

y = (m H- n >J — \)x -k- p + q / — i et une conjuguée désignée d'un lieu donné.

II en sera toujours de même dans toutes les recherches possibles. C'est ainsi, par exemple, que Tétude préalable des conjuguées du lieu

se trouvera tout naturellement désignée pour présider aux recherches relatives aux courbures des conjuguées d'un lieu quelconque.

L'équation en coordonnées réelles de la conjuguée C du lieu

jr = {m-h n sj— \)x -^p -+- q sj — i

résulterait de Téliminalion de a, ^, a' et ^' entre les équations

ari = a -h p et 7, = a'-h P' :

c'est

/ in> \ iqn ri = ( /n H- /i-i- ^ ) ^Ci H- z? -\-q -\ ^ 7s ;

mais on ne s'en sert jamais sous cette forme compliquée, par la raison que, dans les recherches théoriques sur une conjuguée désignée d'un lieu donné, on suppose toujours qu'on ait d'abord rendu réelles les abscisses des points de cette conjuguée, par un choix convenable d'axes, et que les droites imaginaires, utiles à considérer, doivent alors, nécessairement, avoir aussi leurs abscisses réelles.

Or, si l'on suppose les ^ nuls, C = ^ est alors infini,

et Téquation précédente se réduit à

yi = (m H- n)Xi-hp -+- q.

Lorsque le coefficient angulaire m-h n \/ — 1 d'un

( 25 ) faiçceau de droites imaginaires devient réel, c'est-à-dire lorsque Téquation du faisceau se réduit à

y = mx -hp H- q / — i,

toutes les conjuguées du faisceau se replient sur la

même droite

yi = mxi-hp-hq;

on le vérifie aisément.

6. Des tangentes aux courbes imaginaires, — Si deux équations

/(X,Y) = o et /i(X,Y) = o

ont une solution commune (^,jk)j ^^ <1^^> d'ailleurs,

ces deux équations fournissent pour -^t en ce point, la

même valeur ni-\-n y/ — i , les deux lieux admettront les mêmes éléments autour du point (x^^ji)^ qui représenterait la solution commune; ils auront autour de ce point un disque élémentaire commun dont le contour sera défini par les équations

dy = d(x!-\-d^'sJ—\ = (m -4- n Z^) {d%-^ d^ /--î)

dd' ^=z mdy. — nd^

d^' = ndoL-h md^;

d'où

doL'-\- d^' = (m -\- n) doL -^ {m — ri) d^,

c'est-à-dire

dyi ^ da

dxi ~~ d^

dcL

Si Ton considère, en particulier, les deux courbes,

détintes séparément par les deux équations proposées /{oc^j) = o, fx (x, j^) = o et par une relation coinplcmentaire commune, d'ailleurs arbitraire,

cp(a,p,a',p') = o,

•— aura la même valeur de part et d'autre, et les deux

courbes seront tangentes.

Les deux équations

/(X, Y) = o et

remplissent les deux conditions supposées, quelle que soit la solution {x^j) de ^(X, Y) = o, et si, au lieu d'une condition quelconque (f(a, P, a', jî') = o, on introduit la condition

C désignant la caractéristique du point (x, j)^ d'une part, la courbe tracée sur le lieuy(X, Y) =rr o sera la conjuguée C de ce lieu ; d'autre part, la courbe tracée sur le lieu

sera la droite de caractéristique C du faisceau correspondant, et la droite sera tangente à la courbe.

Donc la tangente à la conjuguée d'un lieuy(X, Y) = o, au point {oc^^y^) de cette conjuguée qui correspond à la solution (x, /), est la conjuguée C du faisceau

Des tangentes menées par un point extérieur réel

à un lieu représenté par une équation algébrique, et application aux courbes du second degré, — Soient y(X, Y) r=z o réqualion du lieu proposé, et Xo, Jq les coordonnées du point donné, les coordonnées a: et j^ du point de contact inconnu seront fournies par les deux équations

Zq représentant i.

Les solutions de ces deux équations seront en nombre m(m — i), si m est le degré de J^{x,y), Aux solutions réelles correspondront des tangentes réelles menées du point (j^O)JKo) au lieu réel.

Si les deux équations admettent les solutions imaginaires conjuguées

iT = a dz p / — I ,

le faisceau de droites que représenterait Téquation

contiendra les deux points (x^y) et (j^o^J^o)? parce que les deux égalités

seront satisfaites, comme étant les deux équations mêmes du problème. D'un autre côté, le point réel (xo'ij'o) sera le centre du faisceau

par conséquent, toutes les droites du faisceau y passeront. La droite du faisceau qui aurait pour caractéris-

( 28) lîque celle t- de la solution obtenue joindra donc effectivement le point (j^'oO'o) ^^ point (x^y)\ mais les deux lieux

/(X,Y) = o et X/i + Y/;+/i = o

contiendront les mêmes éléments autour du point représentatif de la solution (X = x,Y =j)* Donc, en-

fin, la droite de caractéristique C = ^ du faisceau

Xy^-f- Y f -\- f^=z o sera bien Tune des tangentes menées du point (j^Oî JTo) à la conjuguée C du lieu y(X, Y) = o. Comme on aura obtenu deux solutions conjuguées , on connaîtra deux tangentes menées du même point {xq^Yq) à la même conjuguée du lieu proposé. La caractéristique C de cette conjuguée dépendra de la situation du point {xq^Jq), Si les deux équations

avaient d'autres solutions imaginaires, il y correspondrait généralement des tangentes à d'autres conjuguées.

Si, en particulier, — ^ était réel en Tun des points

imaginaires de contact et en son conjugué, ces deux points appartiendraient à Tenveloppe imaginaire des conjuguées du lieuy(X, Y) = o, et l'on se trouverait avoir mené du point (^ojJKo) deux tangentes à cette enveloppe.

Supposons qu'il s'agisse d'une ellipse réelle ABA'B' ^fiS' ^)' ^^ soit M le point donné (^o^JT©)? on sait que la polaire de ce point est parallèle au diamètre conjugué de OM et qu'elle est réelle; elle ne peut donc couper le lieu qu'en deux points de la conjuguée dont les cordes réelles lui sont parallèles, c'est-à-dire de la conjuguée

( ^9) qui touche l'ellipse aux extrémités A et A' du diamètre OM. Soit NN' cette polaire; les points de contact cherchés seront N et N', et les tangentes cherchées seront MN et MJN'.

Fig. 5.

Supposons en particulier que le point donné soit

l'un des foyers réels de l'ellipse et que cette courbe

soitrapportéeàses axes : la polaire du point^= o, j: = c

a^ Il V 11- ^* y^

sera x ^= —j elle coupera 1 ellipse — -f- ^ = i aux

points

les tangentes menées au lieu en ces deux points sont les conjuguées à abscisses réelles des deux faisceaux