Les ordonnées des deux lieux superficiels

f{Xjy) = o et j' = la série

se confondront donc aussi dans un intervalle plus ou moins étendu, c'est-à-dire que la série fournira, dans un intervalle plus ou moins étendu, la valeur de la fonction y définie par l'équation f(jr^j)=^ o.

7. Mais ridentité des deux fonctions ne sera jamais complète, d*abord parce que la série ne restera pas toujours convergente et que, devenue divergente, elle ne déûnirait plus aucune fonction; en second lieu parce que la fonction j'^, délinie par l'équation J{Xjj) = o^ aurait toujours m valeurs, pour toute valeur de x, si l'équation f(^x^y) = o était de degré m par rapport à j^, tandis que la fonction définie par la série, supposée convergente, n'en aura jamais qu'une.

8. La série ne définira donc jamais qu'un segment de la fonctionj^, définie par l'équation fi^x^j) =o, et l'identité des deux fonctions ne s'étendrait en tous cas que jusqu'aux valeurs de x telles que le module de {x — Xq) restât assez jietit pour que la série elle-même restât convergente.

9. Les solutions del'équatîon j/'= la série formeront plaque sur le tableau, comme celles de l'équation f{x^y) = o, mais la première plaque ne sera jamais qu'une portion de la seconde. Cette première plaque s'appellera la région de convergence qI le lieu des points situés sur son contour s'appellera le périmètre de la région de convergence.

10. La valeur que ne devrait pas dépasser le module de {x — Xq), pour que la série restât convergente, dépend, par rapport au lieu f{j^-,j) = o, du système des deux valeurs initiales Xq et yo de x et de y. Si k est la valeur qui convient, en raison de la position du point origine [^oO'o]? '^ périmètre de la région de convergence sera défini, quant aux abscisses de ses points, par la condition

( '54 ) cl quant à ses ordonnées, par les deux équations contenues dans

auxquelles on joindrait les équations

xl = a-h^ et ^1 = a'-+- P'.

11. L'équation du périmètre de la région de convergence sera toujours algébrique, si Ton suppose algébrique Téquation f(x^y)= o^ mais la courbe représentée par cette équation fournirait beaucoup de branches parasites. Il faudrait en effet éliminer toutes celles de ces branches, en nombre m — i , dont les ordonnées ne satisferaient pas à Téquation y = la série.

12. Lorsqu'une fonction atteint une valeur infinie pour une valeur finie de sa variable, toutes ses dérivées deviennent aussi infinies^ lorsqu'une des dérivées d'une fonction devient infinie, toutes les suivantes le deviennent aussi.

13. Un point d'un lien où, soit l'ordonnée et ses dérivées, soit une des dérivées de l'ordonnée et toutes les suivantes, deviennent infinies, ne peut jamais se trouver dans l'intérieur de la région de convergence, puisque, dans riiypotiièse contraire, ou bien la série pourrait prendre une valeur infinie et rester convergente, ou bien ce serait une des dérivées de la série qui pourrait prendre une valeur infinie et rester convergente.

Mais il se trouvera toujours au moins un de ces points sur le périmètre de la région de convergence, parce que celles des dérivées de la fonction qui deviendraient infinies au delà de la région de convergence

acquerront déjà, eu deçà, des valeurs très grandes fournies encore par. les dérivées correspondantes de la série primitive; et que la divergence ne pourra se produire, pour ces séries dérivées, qu'à Tinstant où elles devraient acquérir des valeurs infinies.

Les séries dérivées, d'ordres moins élevés, tomberont alors dans le cas douteux et seront sur le point de devenir divergentes, comme on Ta dit plus haut, en ce sens seulement que le terme général n'y tendra plus vers zéro, ce qui ne veut pas dire que la somme d'un assez grand nombre des premiers termes croîtrait indéfiniment.

14. Les points parliculîers dont il vient d*être question prennent le nom de points critiques du lieu en question. Les uns, comme les points de contact des tangentes parallèles à Taxe des j^ varient dans le lieu avec la direction de Taxe des 7 •, les autres, au contraire, comme la plupart des points de rebroussement, resteni fixes dans le lieu.

15. La première chose à faire pour préparer la discussion de la série suivant laquelle se développe Fordonnée d'un lieu est de déterminer exactement tous les points critiques de ce lieu.

A cet égard, ou remarquera d'abord que les dérivées d'une fonction ne peuvent devenir infinies, à partir d'un certain ordre, qu'aux points où cette fonction a acquis plusieurs valeurs égales.

On commencera donc par relever tous les points du lieu où plusieurs valeurs de l'ordonnée se confondraient.

Soient X ei y les coordonnées de l'un d'eux et p son degré de multiplicité. Si les dérivées premières de ces p valeurs An y sont toutes finies et dilïérentes, leurs déri-

( «36) vées d'ordres plus élevés resteront toutes finies et le point en question ne sera pas eri tique.

Si p — q de ces dérivées se séparent des autres, sans devenir infinies, et ont des valeurs distinctes, le point considéré ne sera pas critique relativement aux formes correspondantes de la fonction j^.

Si, sur les q dérivées restantes, q — r se séparent des autres en devenant infinies, le point en question sera critique par rapport aux q — r formes correspondantes de la fonction y.

On ne pourra encore rien dire relativement aux /• dernières formes de la fonction, mais on les dérivera de nouveau jusqu'à ce que les dérivées ultérieures se séparent ou deviennent infinies, ce qui arrivera tôt ou tard, parce que, si les dérivées des ordonnées de quelques branches du lieu restaient indéfiniment confondues, ces deux branches auraient entre elles un contact d'ordre infini, ou se confondraient elles-mêmes, ce qui ne saurait arriver dans un lieu algébrique irréductible, comme on doit toujours supposer que soit le lieu en discussion.

16. Tous les points critiques du lieu étant ainsi déterminés, la question de la convergence de la série suivant laquelle Tordounée j du lieu aurait été développée, k partir d'un point origine [xq^ JKo]^ ^^^^ critique, se réduira à savoir lequel de tous les points critiques se trouvera sur le périmètre de la région de cc^ivergence et déterminera ce périmètre, ainsi que la région enveloppée.

La méthode à suivre pour résoudre cette question consistera à écarter successivement tous ceux des points critiques où ne pourrait pas se rendre un point mobile [x,^], parti du point [j^oîJTo]? sans que le module de [x — JTo] GÛt dû dépasser momentanément celui de la

( «57) dîflei:ence entre Xq et rabscîsse d*uii autre point critique [Xi^ yi] où aurait pu se rendre d'abord Je point [xj j], pour parvenir au point essayé.

Le tableau dressé d'avance des deux enveloppes et de toutes les conjuguées, surtout de celles qui passeraient par les points critiques du lieu, facilitera singulièrement la solution de la question précédente, parce que, si, pour se rendre du point [^o? J"o] à un point critique [j^/i, j'"/i], le point [^î jr] devait forcément traverser la conjuguée qui passerait en un autre point critique [^nJKi] et si, pouvant se rendre sur celte dernière conjuguée ou sur celle des enveloppes qui l'y toucherait, il pouvait s'approcher indéfiniment du point [^i, JK<] sans que le module de (^ — Xq) dépassât celui de {Xi — ^0)5 '^ point critique [Xn^ yn] devrait évidemment être écarté en présence du point [^1, y<], puisque la série serait déjà devenue divergente pour x = Xi.

On arrivera ainsi à déterminer sûrement le point d'arrêt de la. convergence, sans autre difficulté que celle que présentera la complication de l'équation du lieu.

17. On s'aidera puissamment dans cette discussion en s'appuyant sur cette observation presque intuitive que, si le point [^,jv] peut, sans sortir de la région de convergence, se rendre sur une conjuguée tangente à l'enveloppe réelle, en un point critique, il ne pourra pas passer sur cette enveloppe et réciproquement. En eifet, si [j^mJKi] est ce point critique, le module de [xq — Xt^ sera toujours compris entre les modules des différences entre Xq et les abscisses de deux points pris l'un sur l'enveloppe et l'autre sur la conjuguée, à des distances infiniment petites du point [^i,J^i].