Les conjuguées du lieu

sont tous les plans qui passent par la,droite représentée par les équations

Mx-^Py-hRz-hD = o et Na? -t- Qj -f- S^ + E = o.

10. Un plan réel ne peut couper quelles conjuguées dont les cordes réelles lui sont parallèles,

11. La section complète d'un lieu y(.r,j^, z)= o par un plan réel se compose de la section, par ce plan, de la surface réelle et des sections effectives, par ce même plan, de toutes les conjuguées du lieu dont les cordes réelles lui sont parallèles.

Les sections par le plan considéré des conjuguées du lieu qu'il peut couper sont, dans ce plan, les conjuguées de la section de la surface réelle, si elle est effectivement coupée; et la section de la surface réelle est l'enveloppe réelle des sections des conjuguées que le plan coupe.

Ces dernières sections ont le plus souvent une autre enveloppe, imaginaire; mais cette seconde enveloppe M. y

l .3o ) ii'esl géiiéralfiiiciil pas la section par le plan considéré de reiivuloppe imaginaire des conjuguées du lieu proposé.

Ainsi, par exnnple, l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu

JT* y* -3*

est Tellipsoïde

représenté par les solutions de la forme

de Téquation^ mais, si Ton coupe le lieu par un plan z = h^ les conjuguées de la section ont pour enveloppe imaginaire l'ellipse

qui n'appartient pas h la surface enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu.

Cela tient à ce que celles des cordes réelles de la surface enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu, qui seraient parallèles au plan sécant, ne seront généralement pas dans ce plan, ou ne s'y trouveront qu'eu nombre limité.

Ainsi, dans l'exemple, les cordes réelles de la surface enveloppe imaginaire, qui seraient parallèles au plan z = h, seraient comprises dans le plan z = o, deux points imaginaires conjugués de la surface enveloppe imaginaire étant les extrémités d'un même diamètre de la surface.

En un point x == ^y/ — i ^ j =z ^' yj — i , z =: h de

( '3« ) rcnveloppe imaginaire des conjuguées de la section

02 "^ "P —~^~~ 7i' y^ est bien réel, mais ni ^ ni ^ ne le sont : en effet,

J Y Jz Jz

f'y fsl-x e.>t bien réel, mais

p/=^ pV-

^ - ^' et ^ - ^"

fz ~ ^ /c " h

ne le sont pas.

12. Lorsqu'un plan sécant réel donne, dans la surface réelle, une section comprenant, entre autres branches, un anneau fermé, si le plan se déplace parallèlement à lui-même, cet anneau se réduit à un point au moment où le plén devient tangent à la nappe fermée de la surface réelle, et est ensuite remplacé par un anneau d'enveloppe imaginaire des conjuguées de la section.

13. Le plan tangent à une conjuguée (C,C',C") d'un lieuy(X, Y, Z) = G en un point {x^jy z) de cette conjuguée est la conjuguée (C, C, G') de Tonglet de plans-

x/;+Y/;HhZ/:H-T/; = o.

14. Si le premier membre de Téquation d'un lieu est décomposé en groupes de termes homogènes et représenté par

cp(X, Y, Z) -^ (KX, Y, Z) -+- x( X, Y, Z) -4- . . . ,

( '3^ ) l'équation générale des plans asymptotes à la surface réelle et à ses conjuguées est

a, p, Y fonuant une solution réelle ou imaginaire de l'équation

Les conjuguées des cônes asymptotes des surfaces du second degré sont les cônes asymptotes des conjuguées de ces surfaces.

15. Le contour apparent d'une surface/( X, Y, Z) = o, par rapport au plan des xy et parallèlement à Taxe des z, a pour équations

qui, par l'élimination de z, fourniraient Téquation

du contour apparent proprement dit.

Le lieu F(X, Y)=o, construit dans le plan des [X, Y], se composera en général d'une courbe réelle et de toutes ses conjuguées. La courbe réelle formera le contour apparent proprement dit de la surface réelle représentée par Téquation y(X, Y, Z) = o j mais les conjuguées de cette courbe F(X, Y) = o ne seront pas les contours apparents des conjuguées de la surface /"(X, Y, Z) = o, parce que dans les solutions correspondantes des équations

f{x,y,z)=zo et fz{^,y,z) = o,

S' le rapport ^ des parties imaginaires de x et de j^ sera

bien constant, mais non pas les rapports ^ et ^ (*).

16. Toutes celles des conjuguées d'une même surface qui la touchent en un même point (ce sont celles dont les cordes réelles sont parallèles au plan tangent en ce point) y ont pour indicatrices les conjuguées de l'indicatrice de la surface réelle au même point.

Les autres questions relatives à la courbure des surfaces imaginaires se résolvent par les mêmes méthodes que Ton emploie pour les surfaces réelles.

17. De la cubature des surfaces, et des périodes des intégrales doubles, — On trouvera, dans le second Volume de la Théorie des fonctions de variables imaginaires, tous les théorèmes préliminaires qui permettent d'établir l'équivalence des chemins qui peuvent se substituer les uns aux autres sans que la valeur de l'intégrale double soit altérée.

Ces propositions ne présentent d'autre intérêt que celui de rendre possible la démonstration a priori d'un

(*) Si l'on coupait un lieu /(X, Y, Z) = o par une série de plans réels, parallèles entre eux et à l'axe des Zy les points critiques de chaque section seraient les points d'intersection, par les plans considérés, du contour apparent de la surface /(X, Y, Z ) = o, par rapport au plan des [X,Y]; et pour instituer, relativement aux intégrales doubles, une méthode analogue à celle que Gauchy a fondée pour les intégrales simples, il faudrait faire jouer au contour apparent de la surface à cuber le môme rôle factice que Gauchy avait attribué aux contours apparents, par rapport à l'axe des a?, des courbes à quarrer.

J'ai réalisé cette idée en 1872, dans un Mémoire qui a paru, vers 1874, dans le XLIV* Cahier du Journal de l'École Polytechnique et que l'on trouvera dans le troisième Volume de ma Théorie des fonctions de variables inias inaires.

( >34 ) fait que Ton peut regarder comme évident : c'est qu'une intégrale double est déterminée, à des constantes près, par ses limites, tandis qu'elle serait complètement indéterminée si elle variait d'une manière continue avec le chemin superGciel suivi pour rejoindre les limites.

Nous omettons ici ces théorèmes et nous réduisons toute la théorie à sa plus simple expression.

La quadratrice de la section d'un lieuy(X, Y, Z) = o par un plan réel admet : i", comme périodes réelles, o>, (o', 0)", ... les aires des anneaux fermés de la section de la surface réelle, lorsqu'elle existe et qu'elle est effectivement coupée par le plan réel considéré; 2°, comme

périodes imaginaires, W| y/ — 1 , iù\ y/ — i , (o\ y/ — i les

produits par y/ — i des aires des anneaux fermés des sections faites dans les conjuguées du lieu dont les cordes réelles sont parallèles au plan sécant, mais les aires de tous ceux de ces anneaux fermés qui sont compris entre les deux mêmes branches de la section réelle sont égales ;

3°, comme périodes généralement mixtes, 0)2 -H (1)3 y/ — i,

(1)2 -H (1)3 y/ — I , , . . les valeurs de l'intégrale quadratrice, acquises dans le parcours des anneaux fermés de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la section ; 4° 6"^' fin, comme périodes cycliques, Tzd"^ — 1 , tt r/' y/ — i ,

'Kd!''\j — I , . . . les produits par y/ — i des aires des parties elliptiques évanouissantes des conjuguées dont les cordes réelles sont parallèles aux asymptotes de la section.

18. Si Ton a coupé le lieu par une série de plans parallèles entre eux et distants les uns des autres de la quantité dli et que Q soit l'une des périodes de la quadratrice de la section, Û dh sera un élément d'une des périodes de la cubatrice de la surface et, pour obtenir cette périod(î, il faudra prendre l'intégrale /ûrf/i, entre

deux valeurs de h pour lesquelles ù s'annule, c'eslà-dire entre deux plans tangents au lieuy^(X, Y, Z) = o.

19. Si la période considérée est l'aire d'un anneau fermé de la section réelle, elle engendrera un volume enveloppé par une nappe de la surface réelle, fermée dans tous les sens parallèles au plan sécant ^ et, si cette nappe se ferme encore dans un nouveau sens, non parallèle au plan sécant, la période engendrée sera le volume enfermé par une nappe sphéroïdale de la surface réelle.

20. Si la période considérée est le produit par y/ — i de l'aire d'un anneau fermé de conjuguée de la section et si cet anneau engendre une nappe fermée de conjuguée de la surface proposée, la période engendrée sera

le produit par y/ — t du volume enfermé dans la nappe fermée de la conjuguée en question.

21. Toutes les conjuguées fermées dUine même surface, inscrites dans la même nappe de la surface réelle, enveloppent des volumes égaux, — En etfet, comparons d'abord entre elles celles de ces conjuguées dont les cordes réelles sont parallèles à un même plan parallèle à l'axe des z : d'une part, les sections faites dans toutes ces conjuguées par un même plan quelconque, parallèle au plan considéré, auront toutes même aire et, d'autre part, ces sections s'évanouiront toutes dans les mêmes plans ; car les courbes de contact de toutes ces conjuguées avec la surface réelle ne seront autre chose que les courbes de contact, avec cette même surface réelle, de tous les cylindres qui lui seraient inscrits parallèlement aux cordes réelles de toutes les conjuguées considérées, c'està-dire à toutes les droites parallèles à un même plan. Or, toutes ces courbes se couperont aux nieuies points de

( «36) la surface réelle, lesquels seront les points de contact avec cette surface réelle de ses plans tangents parallèles au plan considéré; de sorte que, déjà, toutes les conjuguées en question envelopperont des volumes égaux et, en particulier, égaux au volume enveloppé par la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à l'axe des z.

Mais un plan parallèle à Taxe des z pourra être dirigé parallèlement aux cordes réelles d'une conjuguée quelconque, non comprise parmi les précédentes, et le volume enveloppé par cette nouvelle conjuguée fermée sera encore égal au volume enfermé par la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à Taxe des z,

La démonstration du théorème énoncé s'étend donc à toutes les conjuguées.

Il en résulte que le produit par y/ — i du volume enveloppé par l'une quelconque des conjuguées fermées d'une surface réelle f{oc^y^z)-=o^ inscrites dans la même nappe réelle de cette surface, est l'une des périodes de l'intégrale cubatrice de cette surface.

Ces propositions se trouvaient déjà dans mon Mémoire de i853 et Gauchy les énonce dans son Rapport de i854 sur ce Mémoire. - •

22. Si la période considérée correspond au parcours d'un anneau fermé de Tcnveloppe imaginaire des conjuguées de la section faite dans la surface par le plan réel qui se déplace parallèlement, à lui-même, cette période s'annulera lorsque le plan sécant deviendra tangent soit à la surface réelle et à l'enveloppe imaginaire des conjuguées de cette surface, si elles coexistent, soit à celle qui subsistera seule. D'ailleurs l'intégrale /Q dh^ évaluée entre deux valeurs de h pour lesquelles le plan mobile deviendrait tangent, soit à la surface réelle, soit à l'enveloppe imaginaire de ses conjuguées, fournira une pé-

( '37) ri ode, généralenieut iinaginaîre, de l'intégrale cubatrîco du lieu considéré.

Ainsi, par exemple, si l'on rapporte un hyperboloïde à deux nappes à trois de ses diamètres conjugués, dont l'un, l'axe des z, soit le diamètre transverse, l'équation de la surface sera

Si Ton coupe la surface par un plan z-=h^ compris entre les plans tangents

z = — c' et z = -\- c\

la section totale aura pour équation

et cette équation représentera une infinité d'hyperboles ayant pour enveloppe imaginaire une courbe qui, réalisée, sera l'ellipse

la période, réelle dans ce cas, de la quadratrîcc de la

section sera

fll = 7ra'6'sin(XOY),

et la période de la cubatricedu lieu, engendrée par cette période superficielle, sera

I Tz a' b' sin {xoy ) dhs'in{Zj XO\)j

c'est-à-dire le volume de l'ellipsoïde

ou

- Tzabcj

( «38 ) a^hyC désignant les axes de rhyptM-holoïde proposé ;

car tous les ellipsoïdes, tels que -t^ H- Vt^ H — ^ ^= ^ ^ ^^~

ront équivalents, en volume, comme on le sait.

De sorte que, dans ce cas particulier, le fait, analogue h celui de Téquivalence en volume des conjuguées fermées d'une même surface, inscrites dans une même nappe de celte surface, se présente de lui-même relativement aux lieux des enveloppes imaginaires des sections faites dans la surface par des plans parallèles de direction arbitraire; dans le cas particulier qui vient d'être examiné, les nappes fermées, lieux de ces enveloppes, entourent des volumes égaux.

Cette proposition pourrait être généralisée. Elle n'est pas indiquée dans ma Théone des fonctions de variables imaginaires, où la question des intégrales doubles a été prise à un tout autre point de vue.

23. Enfin, si la période considérée est une des périodes cycliques de la quadratrice de la section faite dans la surface par le plan mobile, c'est-à-dire le produit par

y/ — I de Taire d'une ellipse indéfiniment allongée dans uu sens et indéfiniment aplatie dans Tautre, elle s'annulera dans deux plans, et l'intégrale correspondante

fizd^dh

évaluée entre ces deux plans prendra une valeur numérique qui sera le produit par y/ — i du volume fini d'un ellipsoïde ayant un axe infini, un axe fini et un axe infiniment petit.

J'ai donné le nom de périodes sphériques à ce genre de périodes de l'intégrale cubatriee d'une surface.

Soit

( '39) l'équaliou de la surface la plus générale de degré //i, décomposée en groupes de termes homogènes, de sorte que ?' 4*' X' • • ' soient des polynômes homogènes de degrés /n, m — I , ni — 2 , . . . .

Soient d'ailleurs

les équations d'une direction asymptotîque, de sorte que

?(a, P, = 0, et

x—xq y—yçj z

les équations d'une parallèle à cette direction : sî Ton veut avoir les intersections de celte parallèle avec la surface, on pourra remplacer dans Téquation proposée

Xy y et z par

iFo-f-ap, 7o+Pp et p,

ce qui donnera

p'«ç(a, p, i) ^- p/«-i[(a7o9'a-HjKo?pH- 'Ka, p, i)]

-f- ixq^'^-^ 27oi^p-H 2X(a, p, I)] -H. . . = o ;

mais le terme en p"' disparaîtra de lui-même, cp(a, p, i) étant nul par hypothèse.

Si Ton veut exprimer que la droite

x — xq y—yo ^ f

est elle-même une asymptote, il faudra poser

^o?a-H7o?^-i-'Ka, P,i) = o,

ce qui donnera une relation entre les coordonnées Xo, jKo de la trace sur le plan des xj d'une asymptote parai-

lèle ii la direction - ^= ~ z= -, d'où J'on voit que les

asymptotes parallèles à une même direction asymptotique sont généralement dans un même plan.

Si l'on voulait déterminer les asymptotes, parallèles à la même direction, qui rencontrent la surface en trois points situés h l'infini, il faudrait poser la nouvelle condition

d'où l'on voit, comme cela avait été annoncé, ^^ic? parmi toutes les asymptotes parallèles à une même direction, il y en aura généralement deux, et deux seulement, qui rencontreront la surface en trois points situés à l'infini, ou, ce qui revient au même, que, si un plan quelconque se déplace parallèlement ;i lui-même, chacune des périodes cycliques de la quadratrice de la section de la surface par ce plan mobile s'annulera deux fois et deux fois seulement.

Nous allons chercher la nature et la valeur de la période engendrée dans l'intervalle compris entre deux pareils plans limites.

L'équation la plus générale d'une surface ayant des asymptotes parallèles à l'axe des z est

( a a? -+- ^ j -f- c ) 5 "»-i -h(dx^-hxy -i-fy^-h gx-\- hy -\- k)z"^-^-\-. . . = o;

si l'on voulait que l'axe des z fut lui-même une asymptote, il faudrait faire c = o-, et, si l'on voulait encore que l'axe des z fût une asymptote d'inflexion d'une section plane quelconque de la surface par un plan passant par l'axe des z, il faudrait faire A' = o.

L'équation de la surface deviendrait alors

{ax -^ by)zf>^-^

-h {dx^-\- exy ■-\- fy^-v- f^x -f- //j^-)3'"-2-f-. . . = o.

Les traces, sur le plan des xy^ des asymptotes parallèles à Taxe des z seraient alors les divers points de la droite ax -^ by = o.

Si l'on voulait que le lieu de ces traces fût Taxe des x^ c'est -a -dire que les asymptotes parallèles à Taxe des z fussent toutes contenues dans le plan des zx^ il faudrait faire a = o.

Alors Téquation de la surface, en divisant par 6, deviendrait

Si Ton coupait cette surface par un plan x = l^ l'équation de la projection, en vraie grandeur, de la section sur le plan des yz^ parallèlement aux x^ serait

la période cyclique, relative à Taxe des z de la quadratrice de cette courbe, est

dziTz / — £ sin^^ (a /* -h 8 /),

qui s'annule pour /o= o, et /j = •

Pour obtenir le volume engendré par cette période cyclique, il faudrait calculer l'intégrale

±2Tr/— i.asinYZ / l{l — li)Kdly

K désignant l'inverse du rapport d'une longueur, comptée sur l'axe des x, à sa projection sur une perpendiculaire au plan desj^z.

Cette intégrale a pour valeur

±'2 7rv/~i.aKsinYZ f^-l-^-l\

ou

zfc v/— r. «K sin YZ l TT (-Y;

on voîl que c'est le produit par y/ — i aKsinj^z du volume d'une sphère.

Mais le volume cubé est en réalité celui d'un ellipsoïde dont Tun des diamètres, parallèle à l'axe des x, serait /| , et dont les deux autres, situés dans le plan

auraient, l'un, une valeur nulle, et l'autre, une valeur infinie, de telle sorte, cependant, que le rectangle de

ces deux diamètres fût -7 •

Oa peut, au reste, très aisément, obtenir l'équation, même de cet ellipsoïde, en étendant aux surfaces algébriques le théorème qui nous a servi à fonder la théorie des périodes cycliques des quadra triées des courbes algébriques, c'est-à-dire cette proposition que, dans le voisinage de l'une de ses asymptotes, non inflexiounelle, une courbe de degré quelconque tend toujours à se confondre avec une hyperbole du second degré.

Pour les surfaces algébriques, le théorème s'énoncera ainsi :

La nappe d*une surface algébrique de degré çuel^ conque qui se rapproche indéfiniment du plan lieu d'une série d^ asymptotes parallèles et non irfflexionnelles de la surface, cette nappe tend à se confondre avec un hyperboloïde du second degré ; et celle des conjuguées de la surface, dont les cordes réelles sont parallèles aux mêmes asymptotes, comprend, outre d'autres nappes, une nappe fermée séparée des autres et qui tend à se confondre av^ec un ellipsoïde indéfiniment aplati et indéfiniment allongé le long du plan lieu des asymptotes considérées, c est-à-dire un ellipsoïde dont le diamètre, conjugué du plan considéré, tend vers

z(îro, àt dont les deux autres diamètres , contenus dans ce même plan y sont V un fini et V autre infini, ce dernier ayant d^ ailleurs la direction des asymptotes en questiçn.

En elfet, reprenons réquation de la surface sous la forme déjà employée

c'est-à-dire supposons qu'on ait fait le choix d'axes défini précédemment (la direction de Taxe des j est restée quelconque, mais c'est indifférent, puisqu'on cherche ce que devient la surface dans la direction de j^ = o). Si Ton coupe cette surface par un plan o: = /, l'équation de la projection de la section sur le plan desyi: est

dans cette équation, le produit àe y devenu nul par z devenu infini tend vers — (a/^-f-S/)- par conséquent les équations de la section considérée tendent à se réduire à

yz-{-ci.l^-\-^l = o avec a? = / ;

l'équation de la surface, dans les environs de son plan asymptote, j" = o, tend donc à se réduire à

yz -h aiP^-j- Sa; 2= o, ou

qui représ.ente un hyperboloïde à une nappe.

Parmi les ellipsoïdes conjugués de cet hyperboloïde, il y en a un qui appartient à la surface proposée, comme étant une de ses conjuguées : c'est celui dont les cordes réelles ont une direction infiniment voisine de celle des asymptotes de la surface, contenues dans le plan j' = o.

Ce serait cet ellipsoïde indéfiniment aplati dans le sens desj^ et indéfiniment allongé dans le sens de Taxe des z dont il faudrait calculer le volume, pour obtenir la période spliéricjue de la cubatrice de la surface; mais comme tous It's ellipsoïdes conjugués de riiyperboloïde

ont même volume, on choisira celui qu'on voudra d'entre eux.

24. On voit, par ce qui vient d*être dit, que la direction des plans sécants, parallèles entre eux, au moyen desquels on découpe la surface à cuber, étant choisie, et par conséquent les /72 asymptotes de la surface, parallèles à ces plans, étant définies, on trouvera, dans la cubatrice, m périodes sphériques.

Mais, si la direction des plans sécants venait à changer, les asymplotes de la surface, qu'il faudrait faire intervenir, changeraient aussi, et ce serait évidemment une question très intéressante de savoir si les périodes sphériques de la cubatrice changeraient aussi.

La question n'aurait pas lieu d'être posée au sujet de l'hyperboloïde à une nappe (ni de l'hyperboloïde à deux nappes, mais pour une autre raison), puisqu'on sait que la période unique de la cubatrice d'un hyperboloïde à

une nappe est le produit par y/ — i du volume enveloppé par l'un quelconque des ellipsoïdes, allongés ou non, de cet hyperboloïde.

Mais le fait, évident dans le cas des surfaces du second degré, ne l'est plus du tout dans le cas des surfaces de degrés supérieurs, et la preuve du fait, presque surabondante dans le premier cas, ne se trouverait pas, pour les autres, dans des considérations auss simples.

Cependant le théorème est général.

Maïs je n'eu donnerai pas la démon s Ira lion en ce moment.

25. Classification des intégrales doubles cubatrices des surfaces algébriques, — La nature de la cubatrîce d'une surface algébrique dépendra toujours essentiellement de celle de la quadratrice d'une section plane quelconque de cette surface.

Si l'on veul que la cubatrice n'ait aucune période ultrasphérique, il faudra que la quadratrice d'une quelconque de ses sections planes n'ait pas de périodes ultracycliques et, pour cela, si Ton veut que les sections planes de la surface dépendent encore du plus grand nombre possible de paramètres, sous la condition d'être quarrables par les fonctions circulaires ou logarithmiques, il faudra que ces sections présentent chacune

^^ -^ points doubles, m désignant le degré

de la surface 5 c'est-à-dire qu'il faudra que la surface

elle-même contienne une courbe double du degré

{m — i){Tn — 2)

26. Si l'on veut que la cubatrice de la surface soit algébrique, il faudra en outre que toutes les sections planes de cette surface soient quarrables algébriquement, c'est-à-dire que les m asymptotes d'une section plane quelconque coupent, chacune, cette section en trois points situés à Tintini, ou en m — 3 points seulement, à distance finie.

27. Nous allons chercher l'expression analytique des conditions renfermées dans cette dernière condition.

Reprenons pour cela les équations établies au début du n« 23 :

Pour que la période cyclique relative à l'asymptote M. }o

parallèlt* à - z^ -^ = - J*^î la nuadralricc d'une section

^ api *

plane mobile parallèle à cette direction, restât toujours idenliqueineut nulle, c'est-à-dire pour que la période spliéri(|ue correspondante restât constamment nulle, il faudrait qu'en éliminant .Tq, par exemple entre les

équations

^o^'oi-^roo'^-^ «Ka, P, i) = o

et

xlf^t-h 2^oJo?;,s-+-7J?'^,-^ •>.a7ofa-+- 2/0 fp-^- 2x(a, p, i) = o,

on tombât sur une équation identique en j'^o- Ces conditions sont

(2) fi«?p4'(a»P, — ?ap?a4'(a, P, i) - cp^^p'^ J^^M- cp;,,^^^ = o

et

(3) o;,4.2(a, p, I) - •^cp'^i^'a^Ca, p, i) + 2cp;«x(a, p, i) = o.

Si Ton veut (|ue ces trois conditions soient satisfaites, quels que soient a et [3, c'est-à-dire si Ton veut que toutes les périodes spliériques de la cubatrice disparaissent, ces trois conditions devront être considérées comme des équations simultanées, aux différentielles partielles, dont les fonctions cp, J> et ^ seraient les inconnues.

Il s*agit d'intégrer ces trois équations.

Occupons-nous d'abord de la première, qui ne contient que la fonction cp. Elle exprime que le cône lieu des parallèles aux asymptotes de la surface, menées par l'origine, est formé de ni plans.

En effet, l'équation de ce cône est ^{j^^^y-i ^) = o, de sorte que cp(x,j, 1)= o est l'équation de la section de ce cône par le plan 2 = 1. Or, pour exprimer* que le lieu ,îp(.r, ;^^, 1) = o se compose de droites, il faudrait

ex^)rimcr que -r^y tin un quelconque de ses points, est

nul et c'est précisément ce qu'exprime l'équation (i), car Téquation cp(.r,^', i) = o donne d'abord

et ensuite

ou, en r(;mplacant —- par — -h->

d*où l'on voit que la condition

revient a -r^ = o.

Ainsi la fonction cp(x,j)^,z) doit être le produit de m facteurs linéaires

(Al a^ + Bi 7-+- Cl ^), (Aa a:-H B2 j H- G2 ^),

(A,„a7 4-B„i7-hG,„^).

En second lieu, Téquation (î>>) exprime que toutes les asymptotes de la surface sont elïetîtivement contenues dans m plans.

En eil'et, toutes les asymptotes intiniment peu inclinées les unes sur les autres doivent déjà être parallèles à un même des plans représentés par l'équation cp(j:,y, z) = o, car une asymptote variable de direction, d'une manière continue, ne pourrait changer de plan directeur qu'en prenant momentanément la direction

de l'inlcrscclion de son ancien plan directeur avec Tun des (m — i) autres. De sorte que, si la droite

^o?a-+-/o?p4- ^'(a, P, i) = o, lieu des traces sur le plan des xy des asymptotes parallèles à la direction - = ~ = - ne change pas lorsque a

et p varieront iniintment peu ou varieront dans de certaines limites, toutes les asymptotes correspondantes seront dans un même plan.

Or c'est précisément l'invariabilité de la droite

qu'exprime l'équation (2).

En effet, si l'on fait varier, dans l'équation de cette droite, a de rfa et ^ de rf^, elle devient

-^ro(?p-^ ?p«o^P -*- 92tpo^a) H- i^a, p, I) H- ^^dd -+- i{;p=: o,

et si Ton veut exprimer que les deux droites coïncident, il faudra exprimer que les accroissements des coefficients sont proportionnels aux anciennes valeurs de ces coefficients, ce qui donnera

cp'i, dcL -H cp'ip d^ cpp, d^ -h cp'^p dd O/'^ da. -h ip'p d^

lions deviennent

en divisant par da et remplaçant -7^ par — -^ > ces équa-

?a.- ?ap '^ ~ ^P' ^ "^ ^«P 'l'a - +P ^

c'est-à-dire

( «49 ) La première de ces conditions

Il tn u I t n ta II I II

?a« ?p — ?âp ?a ?3 = — ?p» ?a -^ ?ap ?a ?p

n^est autre que la condition (i) déjà Irailée^ quant à Tautre

elle se réduit précisément à Téquation (2)

Ainsi Jes équations (i) et (2) expriment que toutes les asymptotes de la section doivent être comprises dans m plans.

Quant à l'équation (3), il est inutile d'en chercher la traduction : puisqu'elle exprime que chacune des asymptotes coupe la surface eu un troisième point situé à Tinûnl, elle doit exprimer que chacun des m plans asjniptotes coupe la surface suiv^ant une courbe de degré m — 3 .

En conséquence, les surfaces de degré /n, cubables algébriquement et contenant encore le plus grand nombre possible de paramètres, sous cette condition, devraient être recherchées parmi les surfaces ayant une

courbe double de degré ^^ ~ \ que pourrait représenter r équation

(Aia:-f-Bi^-t- Gi>3 -h Di)(A2.r-i- B^y -^ C^z -t-Dj) ...

^m 3 désignant un polynôme complet en x^y, z, de degré (w — 3) au plus.

28. Application aux sur/aces du troisième ordre. — Les surfaces de troisième ordre capables de cubature

( i5o ) a]gébi'i(|ue doivcMiL être recherchées dans le type

(aix -^ bxjr-^ c^z -h rf| ) ( aj a: -+- bty H- c^z -+- dt)

X (azx -h bzy -f- cs^ -h e/3) -h H = o.

Si l'on suppose la surface irréductible, la seule ligne double qu'elle pourra contenir sera une droîle. Supposons qu'on ait pris cette droite pour axe des z, l'équation de la surface devra se réduire Ix une identité si Ton y fait X = o et j)^ = o, ce qui donne

C\ Ci Ci = o,

^1 Ci di -\- Ci C3 di -h C3 Cy di = o,

C\did^~>r Ci di d\ -\r Cz dxdi = o,

didid^-^H = o\

H ne pouvant être supposé nul, sans quoi la surface se réduirait à trois plans, r/|, ni d^y ni ^3 ne sauraient non plus disparaître; en conséquence, C|, c^ et C3 devront être nuls. C'est-à-dire que la surface devra être un cylindre parallèle à sa ligne double.

Les conditions précédentes expriment simplement que l'axe des z est sur la surface : pour <|ue cette ligne soit double, il faut et il suffit que l'origine soit un point double de la trace du cylindre sur le plan des xy. Or, l'équation de cette trace, ou celle de la surface, est devenue

{a^x -\r- b^y -\- di) (aiX -h b^y -\- d^)

X {a^x-^- b^y -h ds) — dxdidi=o\

et, si l'origine est un point double, celle trace seraquarrable algébriquement, c'est-à-dire sera un trèfle ou un folium, suivant que les trois asymptotes seront réelles ou qu'il y en aura deux imaginaires.

Les deux seules surfaces du troisième ordre, cubables algébriquemcînt et dépendant encore du plus grand nombre possible de paramètres, sous celte condition,

sont donc le cylindre à base de trèfle et le cylindre à base de fol i uni.

29. Le Tome II de ma Théorie des fond ions de variables imaginaires contient la ibéorie, analogue aux précédentes, des intégrales d'ordres su|)éricurs.

Sommaire de la théorie du développement en série, par la formule de Jaj lor, dUine fonction implicite jv, définie par une étpiation algébrique

\ . Pour qu'une série à termes imaginaires soit convergente, il faut que la série des parties réelles de tous ses termes et la série de leurs parties imaginaires soient séparément convergentes, c'est-à-dire que, si le terme

général est représenté par A^-i- B„y/ — i, il faut, pour que la série soit convergente, que A^ et B^, et par conséquent y/A^H- B^, tendent vers zéro.

2. Une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable, et dont tous les coefticicnts sont finis, est toujours convergente lorsque la variable ne prend que des valeurs dont le module soit suffisamment petit.

3. Une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable reste convergente lorsque le module de la variable reste, si peu que ce soit, inférieur à une certaine limite, et devient divergente lorsque le module de la variable dépasse, de si peu que ce soit, cette même limite. Lorsque le module de la variable atteint la limite en question, la série est convergente ou

divergente, selon la valeur de la variable elle-même^ mais la série, dans ce cas douteux, ne pourrait pas être utilisée comme étant trop peu convergente, si elle l'était; en sorte qu'il importe peu de savoir ce qu'il en est.

i. Une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable est convergente ou divergente, sauf les cas douteux, en même temps que toutes ses déri* vées ou intégrales.

3. Si Xq eijo sont deux valeurs, qui se correspondent, de la variable x et de la fonction j^^ définie par une é(|uation algébrique y(j:,j") = o, la série

qui reste convergente tant que le module de (x — Xq) reste suffisamment petit, mais à condition qu'aucun des

coefficients diflérentiels f -r- | > l -r^] >••• ne soit in-

\duJo \dUi/o

fini, définit l'ordonnée d'un lieu tel que, si aux deux équations f{Xjj) = o d*une part et j- = la série, de l'autre, on adjoignait une même relation complémentaire quelconque cp(a, P, a', P',)= o, les deux courbes déterminées, sur les deux lieux supc^litiels, par cette condition, auraient au point [^oij^o] ^*^ contact d'ordre infini, c'est-à-dire se confondraient dans une étendue plus ou moins grande k partir du point [^o>^o]