PROBLÈME

Trouver généralement le résultat des mouvements des deux corps après

leur clioc.

Il n'y a qu'à faire les deux calculs que la règle générale prescrit, et dont j'ai tâché de donner ci-dessus la raison physique, non sur des corps et des vitesses déterminés, mais sur des corps dont les masses et les vitesses soient exprimées généralement. Pour cela, soient m et n les deux corps ; v soit la vitesse de m, et r celle de n ; je suppose que mv soit plus fort que wr, c'est-à-dire que le produit de la masse du corps m par sa vitesse v, soit plus grand que celui de n par r.

Pour les mouvements en sens contraires.

Par la première ^ opération de la règle générale qui considère les corps comme mous, on aura mv — nr, pour la force ou le mouvement qui leur reste. Or les mouvements des corps

divisés par leurs masses, donnent leurs vitesses. Donc ;

exprime la vitesse de m. Or la vitesse de », est la même que celle

de m, puisqu'ils vont ou plutôt tendent comme mous à aller de

compagnie. La même, dis-je, mais eu sens contraire, à celui dont

il allait avant le choc; car on a supposé que nr était plus faible

que mv. Donc en changeant les signes de la vitesse de m, qui est

mv — nr nr — mv ,, ,

; , on aura , pour celle de n.

La seconde partie de la règle générale prescrit de distribuer

la somme des vitesses y-j-^» réciproquement aux masses. On fora

donc ces pi'opositions.

* Il faut la lira. (Note de iMalebranche.)

nv -+- nr , .

I''^'. m -\-n. V -\-r : : n. ; pour la vitesse de m.

1I«. m -\- n. V -i- r : : m. • pour la vitesse de n.

Mais il faut changer les signes des numérateurs, des expressions de ces vitesses, à cause que le ressort, bandé par lu mutuelle compression de ces corps, doit en se débandant, les repousser en sens contraire, à leur premier mouvement.

Ainsi en ajoutant les deux vitesses, trouvées par la première

opération, a ces deux dernières, savoir : la première,

7iv — nr avec qu'on a rendue négative, en changeant les siennes,

, „ , mv — nv — 2Mr ^^ v-\-r

on aura l\ lurmule ouv — 2«X — \ — pour

la vitesse de m, résultante après le choc.

De même en ajoutant la vitesse de n, tirée de la première

ni' — mv nir — mv

opération; savoir, ; avec ■, , on aura

nr —mr — iinv ^ -^^r + v , •. ,

ou r — 2 m X — ; — POur la vitesse de n, après

le choc.

Ces deux formules expriment généralement les vitesses qui résultent aux corps durs à ressort parfait après qu'ils se sont choqués par des mouvements directement contraires, quelles que soient leurs masses, et qu'aient été leurs vitesses avant leur choc. De sorte que pour résoudre les cas particuliers, il n'y a qu'à mettre dans ces formules, au lieu des lettres mnv r, les nombres qui expriment la grandeur des masses et des vitesses des corps avant le choc.

EXEMPLES

Deux corps m et n se choquent par des mouvements contraires, ma six de masse et trois de vitesse, n a deux de masse et quatre de vitesse; c'est-à-dire 6w3, contre 2u4 ; car les nombres qui sont avant m et n expriment toujours le rapport des masses de ces deux corps, et ceux qui les suivent le rapport de leurs vitesses. On veut savoir ce qui leur arrivera par

le choc. Pour cela il faut mettre dans les formules au lieu de m, w, v, r, les nombres 6, 2, 3, 4, et l'on aura pour la vitesse

V -\-r 3 + 4 de m après le choc y — 2 wX — — , c'est-à-dire, 3 — 4X,. „

égal à 3 — - égal à — -. Ainsi le corps m, à cause du signe

moins — reculera avec la vitesse -. De même la vitesse de n,

aui a pour formule r— 2 w X — , sera 4 — 1 2 X tt-Ht égal

à 4 — 10 - égal à — 6-. Ainsi 7i reculera avec la vitesse 6 -,

à cause du signe moins. Il en est ainsi des autres

Pour les mouvements semblables, ou de même part: lorsqu'un corps attrape l'autre et le choque.

La première opération de la règle générale, donne dans ce

YjfiD ~-\ — 7iy

cas pour m et pour n, la vitesse ; : et la seconde par-

tie de la règle ordonne de distribuer non la somme, mais la

différence v — rdes vitesses, réciproquement aux masses. On aura

donc, en faisant une proportion semblable à la précédente

nv — nr , ., , ^mv — mr

pour la vitesse de m. Lt ; pour celle de n. iMais

il faut changer les signes de la vitesse de m, parce qu'attrapant l'autre il en est repoussé à contresens de son premier mouvement, par le ressort des corps comprimés. Ajoutant enfin

, . mv-k-nr nv — nr , ,,

les deux vitesses de m; savoir, avec ; , ou Ion

a changé les signes ; on aura la formule pour la vitesse de m.

Savoir : ■ ou t; + 2wX • De même en ajou-

, . , . mv + nr inv — mr tant les deux vitesses de h, savoir : ; avec ,

nr—mr-\-'imv , ^ ^^ v — r ,

on aura + ou r + 2 m X — Pour la vitesse

de n après le choc.

EXEMPLK

r — V 3m4, allrape 6n2; la vitesse de m, qui est v 4- 'in X

lu -j- n

étant r(^diute, sera 4 -|- 12 X —7^ — égal à-. Et colle de n qui

est ?■ + 2 ?mX ■ — ^ — devientlra 2 + fi X ou 3 - et ces

deux vitesses seront positives et vers le même coté.

3Iais si l'on supposait que m 10 attrapât 10 «2, on aurait

pour la vitesse de m après le ciioc — — de vitesse , qui sérail

contraire à son premier mouvement à cause de !a grandeur

néi^ative moins -—. Ainsi m reculerait après le chos, et 7^ aurait.

— de vitesse en avant

Poii7' le cas où un des corps est en repos

Le corps en repos étant nommé n, il n'y a qu'à eflacer dans les formules le terme où sa vitesse se trouve, parce que r étant

zéro, ce terme se détruit. Amsi on aura ; pour la vitesse

ui -j- « ^

de m et — ; — pour celle de n aorès le choc. 7n-f- X

Exemples :

md ayant choqué 5 no, la vitesse de m qui est ; sera

• — - — = ^ = 4, ainsi m 6 deviendra — m 4 ou rejaillira ci

arrière avec 4 de vitesse. Et n aura pour sa vitesse ci-avant

2 )nv 12

- — ; — égal à -— = 2, 5 wo devenant 5n2. m 4-" t) '

Remarque :

Ces deux formules.

mo — nv-\-2nr . . , x 1 ,