Voici un autre exemple très simple. Soit l'équation

w*— {u — ml]y=o.

La courbe est unicursale. Tous les paramètres c sont nuls. Des quatre valeurs de c^, trois sont égaies à m, la dernière est égale à — 3m. Les

paramètres c étant nuls» les racines Y nulles avec i^= - sont d'un degré inférieur à l'unité. Pour U=o, on a, soit {i = o, soit u=i; à u = o correspond un système circulaire de trois racines nulles et de

84 I^. RAFFY.

degré égal à l'unité; ta u = i correspond une seule racine nulle qui est de degré égal à Tunité. Donc l'intégrale est uniforme et simplement périodique. En effet, cette intégrale est

63/ Exemple. — Voici, pour -terminer, un exemple qui nous donnera l'occasion d'employer plusieurs des méthodes que nous avons exposées au cours de ces recherches; il montrera en même temps comment ces méthodes peuvent se simplifier dans les applications.

On demande si Inéquation

oà les lettres aet^ désignent des constantes, admet une intégrale uni/orme.

Le terme du degré le plus élevé de l'équation est le terme en u^ U' : deux des paramètres c sont nuls et trois sont infinis ; le terme indépendant de U n'ayant que des racines simples et le terme en U manquant, les paramètres c^ sont tous nuls. Donc, si l'intégrale est bien déterminée, elle est algébrique.

Cherchons le degré par rapport à u de l'équation intégrale. Faisons U = yM : il vient

Pour 7 = 0, cette équation a une racine infinie et quatre racines finies, celles de l'équation

27 p'w*-Ha*=o.

On déduit de l'équation proposée

d{]~'^^ pa(aU»— 27pa«)

A chacune des quatre racines de l'équation 37jS*a*-i- «• = o répondent quatre valeurs de U : deux sont nulles et donnent c = o,*deux sont différentes de zéro et fournies par l'équation

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES LNTÉGRÂLES ABÉLIENNES. 85

Cette équation a'a pas de racÎDes communes avec Téquation aU'— 27j3a*= o. Donc d reste fini quand on attribue à u l'une des

valeurs finies qui satisfont à Téquation y = oou7j = Qo. Les deux équations ^ = oo , </= oo ne peuvent donc avoir d'autre racine commune que la racine simple £/ = oo de l'équation ^ = oo .

D'après cela, si l'intégrale u est bien déterminée, c'est une fonction rationnelle de z.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit : i^ que l'équation transformée admette, pour ç = o^ p racines nulles du degré i H- - formant un seul système circulaire ; a^ que leur développement ne contienne

pas de terme en v ''; 3^ que l'équation proposée soit du genre zéro.

I V Faisons u = -y U = 5 dans l'équation proposée : il vient

Cette équation admet, pour ç = Oy trois racines nulles du degré 1 + \ formant un seul système circulaire, et dont le développement ne con-

tient pas de terme en i^^.

Il reste à voir si la courbe proposée est du genre zéro. Nous poserons

rj ^ / OL a:

ce qui change l'équation donnée en la suivante :

Pour trouver le genre de cette courbe, il nous suffira de déterminer ses points doubles parla méthode élémentaire qui consiste à chercher les solutions communes aux trois équations simultanées

Voici ces équations

x (gx^y — a) = o, S/*— 67* -h 3a;*-H i = o, y*^y-^ x^= o.

Âlasolutiona: = ocorrespondentlessolutions de l'équationy' — i =0.

86 L. RÀFFY.

Il est visible sur réquation/(a7,y) = o que les points a? = o, j = i et X = o^y = — I sont deux points doubles à tangentes distinctes.

La valeur œ^ = — y portée dans la dernière équation, donne

les racines de cette équation sont/* = |, y* = |.

On vérifie immédiatenrient que les quatre systèmes de valeurs fournis par les formules

vérifient les trois équations/^' == o,^' = o, /' = o. Ils donnentdonc encore quatre points doubles. La courbe, ayant six points doubles et étant du'cinquième degré, est unicursale.

Donc rintégrale u est une fonction rationnelle. En effet» cette intégrale est

u :zz •

Dans cet exemple, comme dans tous les autres analogues, nous avons fait abstraction de la constante d'intégration, parce qu'elle n'influe pas sur la nature de l'intégrale.

Vu et approuvé :

Paris, le \i février i883.

Le Doyen de là Faculté des Sciences,