Cas. — V équation à intégrer est du genre zéro
En appliquant le théorème qui fait connaître la nature de Tintégralo u, supposée bien déterminée, on saura si cette intégrale est rationnelle ou simplement périodique.
Cas de l'intégrale rationnelle. — Si l'intégrale a, supposée bien déterminée, ne peut être qu'algébrique, il faut d'abord, pour qu'elle soit algébrique, que la fonction inverse z n'ait aucune espèce de période. Pour qu'elle soit rationnelle, il faut de plus que la courbe F(m, U) == o soit du genre zéro. Enfin, il faut encore que u n'ait qu'une valeur pour chaque valeur de z. Voici comment nous exprimerons ces diverses conditions.
On vérifiera que la courbe F = o est du genre zéro. S'il en est ainsi, l'intégrale z n'a pas d'autres périodes que des périodes polaires. Il faut s'assurer qu'elle n'a pas non plus de périodes polaires. Rappelons que, quand l'intégrale est algébrique, le degré par rapport à u de l'équa^ tion intégrale est égal au nombre des valeurs finies ou infinies de u qui
satisfont k la fois aux équations tj =^ ®^ ZC ~^ ^^^^^ ^^ ^^)" ^"
cherchera ces racines communes et l'on devra reconnaître qu'il n'y en a qu'une : si elle est finie, étant unique, elle s'exprimera rationnellement au moyen des coefficients de l'équation F=:=o. Que ce soit u = co on u = b\ elle sera donc parfaitement connue. Supposons d'abord que cette solution commune soit finie, u = b. Le
(*) Comptes rendus de P Académie des Sciences, 1881; l. XCIII, p. io63.
rapport ^ étant infini, U est nul. On a
et» comme ^ est infini» ^ doit être nul pour u = b: q doit être supérieur k/>. On démontre (*) que q est égal à /? -h i. On a donc
p étant le nombre des racines du système circulaire unique formé par les valeurs de U nulles et d'un degré supérieur à Tunité (^). On déduit de là
Pour qu'il n'y ait pas de période polaire» il faut et il suffit que A, soit nul» c'est-à-dire que le développement de U ne contienne pas de
terme en (m — &) ''.
Si la solution commune aux équations ^ =qo ,^=qo est- = ç^ = o»
l'équation transformée en Y admet pour (^ == o un certain nombre de racines nulles et d'un degré supérieur à l'unité; il faudra que les p valeurs de Y qui sont d'un degré supérieur à l'unité forment un seul système circulaire» et que le développement de Y suivant les puissances
de V commence par un terme en v ^ et ne contienne pas de terme
en i^ ''.
Les conditions que nous venons d'énumérer sont nécessaires; elles suffisent pour que u soit une fonction rationnelle. En effet» la courbe F=o étant unicursale» l'intégrale z ne peut avoir que des périodes polaires; comme il n'y a qu'une seule valeur finie de u qui rende
dz
-£- infini» et qu'à cette valeur correspond un seul système circulaire de
(1) Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. 384-385. («) Ibid., p. 386.
8o L. RAFFY.
valeurs de U, ou bien, comme à (^= o correspond un seul système circulaire de valeurs nulles de V, z ne peut avoir qu'une période polaire; et nous avons exprimé que cette période disparait. Donc z est une fonction algébrique de u, et u une fonction algébrique de z. Enfin, comme
les équations ^=00,^ = 00 n'ont qu'une seule solution commune,
u n'a qu'une valeur pour chaque valeur de z. Donc u est une fonction rationnelle de z. *
Si la racine commune aux deux équations considérées est u = o, le degré du numérateur de u sera inférieur au degré de son dénominateur. Si cette racine est finie et différente de zéro, les degrés de ces deux termes seront égaux. Si cette solution commune est (^ = 0, le numérateur sera de degré plus élevé que le dénominateur.
59. Cas de l'intégrale simplement périodique. — Nous avons prouvé au n*^ 34 que, si la courbe F = o est unicursale et si les paramètres c et c^ sont tous finis et tous commensurables entre eux, l'intégrale u est bien déterminée et n'a qu'une période. Elle s'exprime rationnellement, ainsi que l'exponentielle e^', au moyen d'une variable auxiliaire /. Supposons qu'on ait
6(0' Ht)' F(0
Pour que u soit uniforme, c'est-à-dire s'exprime rationnellement en
fonction de l'exponentielle, il faut et il suffit que l'équation ^* = -^^
ne donne pour chaque valeur de z qu'une seule valeur de /. Donc les deux polynômes <b[t) et F(/) doivent être du premier degré, de sorte qu'il vient
-0- at-^b
On déduit de là
dz ap — oib I
dt p i^at-hb){nt^^)
Ainsi la dérivée •:^ a deux infinis et deux seulement. Ils sont nécessai-
dt
rement distincts, sans quoi l'intégrale i^ serait rationnelle. Nous avons
RECHERCHES ÂLGÉfiRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 8l
reconnu au n^ 35 que les valeurs de t qui rendent ^ infini annulent
/(/) ou Q{t). Or il est aisé de voir qu*à chaque valeur de / qui annule X(/) ou 0{t) correspondent pour la fonction U de u, ou pour la fonction V de Vy un certain nombre de valeurs égales formant un seul système circulaire. Ici ces racines sont nulles et de degré égal a l'unité. Nous retrouvons ainsi celte condition connue : quand l'intégrale est uniforme et simplement périodique ^ il ne peut y avoir en tout plus de deux systèmes circulaires de valeurs de H ou y nulles et de degré égal à Vu-
nité[*). Aux deux infinis de la fraction ^ répondent deux résidus
dont la somme est nulle, puisque le numérateur de cette fraction est d'un degré inférieur de deux unités au degré de son dénominateur; ces résidus sont donc commensurables entre eux, comme Texige le théorème du n*" 34.
La condition qui vient d'être trouvée suffit évidemment, si la courbe F (m, U) = o est unicursale et si aucun des paramètres cet c^ n'est infini, pour que l'intégrale u soit uniforme et simplement périodique.
60. La discussion précédente se résume en trois énoncés dans lesquels nous suivrons Tordre même des opérations que notre méthode conduit à effectuer.
Théorème. — Pour que l'intégrale d'une équation différentielle algébrique F(m,U) = o soit uni/orme et doublement périodique, il faut et il suffit :
I® Que les paramètres c et c\ soient tous nuls;
a® Que V équation proposée soit du genre i .
Théorème. — Pour que V intégrale soit rationne Ue^ il faut et il suffit que l'équation F( w, U) = o vérifie les conditions suivantes :
1° Un au moins des paramètres c et c^ est infini; aucun d'eux n'est fini et différent de zéro.
2® Une seule valeur de u vérifie à la fois les deux équations j= = oo e/
du
(1) Briot et Bouquet, Fonctions eUiptiqueSy p. 4o^-
82 L. RAFFY.
3^ Si cette solution estu^b, les p valeurs de U qui deviennent nulles avec u -- b et sont d'un degré supérieur à V unité forment unseulsystème
circulaire; leur développement commence par un terme en [u—b) "et
ne contient pas de terme en [u — b) ^ . — Si cette solution est - = V =z o^ les p valeurs de V qui deviennent nulles avec v et sont d*un degré supérieur à l'unité forment un seul système circulaire; leurdéve-
loppement commence par un terme en v ^ et ne contient pas de terme en
4" L'équation Y{u^\]) = o est du genre zéro.
Théorème. — Pour que Vintégrale soit uniforme et simplement périodique y iljaut et il suffit que l'équation F(m, U) = o vérifie les conditions suivantes :
1 ^ Aucun des paramètres c et c\ nest infini; les valeurs de U qui deviennent nulles pour des valeurs finies de u et sont de degré égal à Vunité, ainsi que celles de V qui deviennent nulles pour v =o et sont de degré égala l'unité, forment en tout deux systèmes circulaires;
2^ V équation Y{utl]) = o est du genre zéro,
61. Exemples. — La méthode contenue dans ces trois théorèmes, et qui n'exige, comme on le voit» que des opérations toujours possibles» s'applique très facilement h tou^ les exemples traités par MM. Briot et Bouquet dans leur troisième Mémoire.
En effets comme Ta montré M. Hermite» Téquation
(qui est Texemple XI de MM. Briot et Bouquet) représente une courbe du genre i; on s'en assure en posant
Si Ton Tait en même temps
on obtient en effet
Les autres exemples rentrent dans le type
F(«, U) =: U»-f- 3PU«-h 4Q = o,
où P et Q vérifient la relation
p»+Q = RS
les lettres P, Q, R désignant des polynômes entiers en u, de degrés respectivement égaux à 3, 6 et 3.
M. Hermite metTéquation proposée sous la forme
et, posant
U -haP=: 5
il obtient
w' — 3Pw — aR = o.
Les coordonnées u, fp de cette cubique s'exprimant rationnellement au moyen de t et d'un radical elliptique, U et u s'expriment aussi de la même manière : la courbe F =oest du genre i. Dans les six premiers exemples de MM. Briot et Bouquet, la cubique «^•— 3Pw — 2R= o a un point double : la courbe F = o est unicursale.
Ayant ainsi déterminé le genre de la courbe F== o dans ces divers exemples, on vériiie sans difficulté les autres conditions exprimées dans nos trois théorèmes.
