CHAPITRE QUATRIÈME

CALCUL DE LA POUSSÉE EXERCÉE PAR UNE PIÈCE REPOSANT SUR DEUX APPUIS FIXES, LORSQUE LA SECTION EST CONSTANTE, ET QUE LA FIBRE MOYENNE, PRIMITIVEMENT CIRCULAIRE, FLÉCHIT EN RESTANT DANS UN MÊME PLAN VERTICAL.

§ I. — Poussée due k une force isolée, horizontale ou verticale, h un couple^ et à une dilatation linéaire indépendante des charges.

79. Des questions qui doivent être traitées dans ce chapitre. — Dans les constructions, il arrive presque toujours que les pièces courbes employées ont une section constante, et que leur fibre moyenne est un arc de cercle situé dans un plan vertical* La pièce est symétrique par rapport à ce plan, et toutes les forces qui agissent sur elle y sont contenues ; de telle sorte que la condition du n® 40, nécessaire pour que la flexion soit plane, se trouve naturellement satisfaite.

Les arcs sont ordinairement supportés à leurs extrémités par deux appuis placés dans un même plan horizontal, et disposés de manière à rendre invariable la distance des deux points de Tare avec lesquels ils sont en contact ; mais ils ne doivent pas, en général, être regardés comme produisant un encastrement.

Nous nous proposons, dans le cours de ce chapitre, d'établir des formules qui permettent de calculer, seulement par des opérations algébriques, les réactions des appuis d'un arc placé dans de telles conditions, les forces étant supposées quelconques; et, en second lieu, de réduire ces opérations à l'emploi de l'arithmétique la plus simple pour le cas usuel oii les forces ne seraient autre chose que des poids.

80. Notations principales de ce chapitre. — Soit donné l'arc AEB [fig. 33), reposant sur les deux appuis A et B, et supportant une force isolée, appliquée dans la section qui rencontre la fibre moyenne en G. Nous pren-

l58 FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

drons pour axe des x la corde AB, pour axe des y la verticale Oj passant par le centre O du cercle dont l'arc AEB fait partie. Nous désignerons par

2 a la corde AB ; / la flèche EK ;

p le rayon du cercle ;

oc Tangle fait par le rayon correspondant à un point D quelconque pris sur AEB, avec l'axe des y ;

cp l'angle BOE de la verticale avec les rayons des naissances;

fl la valeur particulière de a qui répond au point G ;

P> Q> P» Q' '^s composantes des réactions en B et A suivant l'horizontale et la verticale, et dans le sens indiqué par la figure.

Nous conservons de plus les notations rappelées ou définies au n^ 47, qui entrent dans les formules générales du chapitre III . Enfin, nous appelons M' et N', comme aux n*"* S9 et suivants, les valeurs que prennent M et N lorsque l'on n'y fait pas entrer la composante horizontale de la réaction des appuis.

81. Poussée produite par un poids isolé. — Supposons d'abord l'arc AEB soumis à un poids unique n agissant en G, et faisons abstraction de son poids propre, sauf à voir par la suite comment on en tiendra compte. Nous avons les équations d'équilibre entre les forces extérieures du système :

np(sin(p-|- sinô) = aPpsincp;

dont les deux premières expriment la nullité de la résultante de translation, et la troisième la nullité de la somme des moments par rapport au point A. On en tire

P„ / sin6\

= n I +-.— N \ smcj) J

\ sin (f j

P et F' étant connus, il reste à connaître Q. Nous pourrions y parvenir par l'application pure et simple de la formule (i i) donnée au n** 59; mais il est plus commode de ramener le problème au cas d'une pièce symétrique et