CHAPITRE IV. -^ POUSSEE DES ARCS CIRCULAIRES, ETC

à en faciliter l'usage : c'est ce que nous avons fait, pour le cas usuel où les charges consistent uniquement en poids, directement appliqués à la fibre moyenne. Nous donnons à la fin de ce volume une suite de Tables portant les n*** I, II, III, IV, propres à réduire la recherche dont il s'agit aux termes des opérations les plus simples de l'arithmétique, quand une fois on aura déterminé les arguments nécessaires pour y entrer. Ces arguments sont:

i"*. Le rapport ^ entre le demi-angle au centre (p de l'arc, et l'angle

droit -;

2**. Les rapports r, r', r'', etc., entre chacun des angles 9, fl', Q^\ etc., faits avec la verticale, par les rayons qui passent aux points où les poids sont attachés à la fibre moyenne d'une part, et l'angle (p d'autre part;

3**. Le rapport — ? entre le carré G^ du rayon de giratiqn de la section

transversale {n^ 1 et 12), et le carré a^ de la demi-ouverture de l'arc.

Disons seulement quelques mots de la détermination de ces diverses quantités. D'abord l'angle <p sera connu si l'on donne (ainsi que cela se fait ordinairement) la flèche /et l'ouverture a a, ou bien une de ces quantités et le rayon p ; car on a

tang - <p = ^j sm(p =i - ? cosç = - — — •

On déduira l'angle (p de l'une de ces trois relations. Si on l'a exprimé en

nombres abstraits, comme en analyse, on le divisera par - ou i ,5707968, etc. ;

si c'est en degrés sexagésimaux, on divisera par 90 degrés, et par 1 00 degrés dans le cas où l'on aurait employé la, division centésimale du cadran. Les angles 9 seront donnés soit immédiatement, soit par des calculs desquels il est inutile de parler; en les divisant par (p, exprimé de la même manière, on

G* aura les rapports r. Reste le rapport — j* Pour l'avoir, dans le cas d'une section homogène dont (2 serait l'aire totale, il n'y aura qu'à chercher le moment d'inertie (*) de cette section par rapport à un axe horizontal passant en son

(*) Nous attribaoDs ici u ce mot le sens ordinairement reçu, c'est-à-dire que nous regardons la densité de la surface comme constante et égale à Tunité.

2o8 FLEXION ET RESISTANCE DÈS PIECES COURBES.

centre de gravité; I étant ce moment, et ù Taire totale, on aura

G' I I = îîG*, et, par suite, -^ = ^j-^-

Si la section n'était pas homogène, on déterminerait d'abord le centre de gravité, en supposant à chaque partie une densité égale à son coefficient d'élasticité; puis menant par ce poipt un axe des moments horizontal, on chercherait le moment d'inertie (*) de chaque partie de nature distincte. Cela posé, si Ton appelle e la somme des produits de chaque surface partielle par son coefficient d'élasticité, g la somme des produits de^ divers moments d'inertie (*) par ce même coefficient, on aura par définition

é = eG% d'où -y- = -Y-.

^ or are

Outre ces trois espèces d'arguments, il faudra encore, bien entendu, connaître les intensités des charges (dans lesquelles nous comprenons le poids propre de l'arc), le coefficient de la dilatation linéaire produite par toute cause qui ferait varier la longueur de l'arc, supposé libre, sans changer sa tension intérieure; enfin, le coefficient d'élasticité des matières qui composent l'arc, et la section transversale, ou tout au moins le nombre e dont nous venons de parler.

lOé. Exemple de la détermination des arguments. — Sôit donné un arc surbaissé au cinquième, dont la fibre moyenne supporte de chaque côté du sommet trois poids P, P', P'^, attachés le premier au sommet lui-même, le second et le troisième à des distances horizontales de ce point, respectivement égales au tiers et aux deux tiers de la demi-ouverture. Pour avoir (p, nous poserons l'équation

tang-(p = 5,

d'où -(p== 21** 48' 5", 07 en degrés sexagésimaux; et, par suite, le premier argument

It 90^ 324000" ' ^

L'angle fait avec la verticale par le rayon qui passe au point d'attache du

( *'-) FoiK la note de la page 207.