CHAPITRE PREMIER

étude hypothétique de la répartition d.'une force sur la section droite

d'un prisme.

§ I. — Rappel de quelques notions sur les moments d'inertie; moment d'inertie ctune surface plane relativement à un axe situé dans son plan, — Centre de percussion d'une surfojce plane.

\ . Définition du centre de granité d'une surface plane , de son moment d'inertie et de son rayon de giration relativement à un axe. — Supposons une surface plane ABCD {fig. i), et imaginons qu'elle soit décomposée en éléments superficiels e&. Appelons :

x^ y les coordonnées d'un point renfermé dans Taire infiniment petite a», par rapport à deux axes coordonnés O^, Oj;

u la distance de ce même point à une ligne quelconque du plan, PQ par exemple ;

E un nombre déterminé en fonction de ^ et de j, lequel peut être constant et variable ;

1 une somme étendue à tous les éléments cù.

Conformément aux définitions données dans la Mécanique rationnelle, nous appellerons centre de gravité de la surface le point G dont les

coordonnées x\ , y^ satisferaient aux relations

" x^lEco =r lExco, y.lEeo = 2Ejû>.

Le point G est indépendant du choix des axes. Pour justifier le nom qu'on lui a donné, il faut concevoir que la surface soit matérialisée, qu'elle ait pris une épaisseur extrêmement petite, et que le nombre E soit en quelque sorte la masse de l'élément co rapportée à l'unité superficielle, ou plus simplement, si l'on veut, sa densité. Le centre de gravité de la surface ne sera donc autre chose que celui d'un corps dont la masse totale aurait pour valeur lEœ.

Une extension analogue a lieu pour les moments d'inertie. Le moment d'inertie de la surface ABCD relativement à Taxe PQ sera, par définition, celui du corps matériel que nous substituons à la surface : il aura pour expression analytique,

2Eu'

Cû.

Enfin, le rayon de giration r relatif au même axe devra satisfaire à l'équation

r'2Eûi = 2Ew'û).

Les définitions que nous venons de donner, d'après les Traités de Mécanique rationnelle, diffèrent un peu de celles qu'on admet dans les Traités de Résistance des matériaux. Pour les rendre identiques, il suffirait de supposer E constant et égal à i . La généralisation que nous introduisons ici nous a semblé nécessaire pour mettre les formules d'accord avec certains faits observés dont nous parlerons plus loin : elle est d'ailleurs tellement simple, qu'il n'y aurait pas d'utilité à adopter des dénominations nouvelles. Quand nous voudrons rentrer dans les définitions ordinaires, nous aurons soin d'en avertir.

Nous allons exposer brièvement et sans démonstration quelques propriétés des moments d'inertie dont nous aurons à faire usage. Ces propriétés sont un cas particulier de celles qui appartiennent en général aux moments d'inertie des corps matériels, et on peut les regarder comme une conséquence directe de celles-ci.