CHAPITRE I. — RJ^PARTITION d'uNE FORGE, ETC
2. Loi de la ^variation des moments d'inertie d'une surface plane ^ relatii^ement à des axes parallèles ou concourants située dans son plan. — Le moment d'inertie d'une surface plane, relativement à un axe quelconque, est égal au moment d'inertie de la même surface relativement à l'axe parallèle passant au centre de gravité, augmenté du produit de la masse totale de la surface par le carré de la distance des deux axes.
Soient, par exemple, la surface ABCD {fig- i);
G le centre de gravité ;
Ox et G^, deux lignes parallèles dont l'une contient le point G, et qui sont séparées par la distance d; y^ y^ les distances respectives d'un élément superficiel à ces deux axes; r, r^ les rayons de giration de ABCD relativement à Oa; et Gx^ .
En conservant les autres notations du n** I , on aura
2Ea>7' = 2Eû>jJ H- rf'2Eû;,
OU bien, par suite de la définition du rayon de giration,
r'iEûi = rj2Eû> + rf'iEw, c'est-à-dire
r-=r\r-rd\
équation dont l'énoncé en langage ordinaire remplace quelquefois celui que nous avons donné ci-dessus.
Supposons maintenant qu'on cherche les moments d'inertie de la même surface ABCD relativement à divers axes passant par un même point O, tels que Os; puis, que sur chacun d'eux on porte une longueur OS qui soit en raison inverse du rayon de giration correspondant ; le lieu des points S ainsi obtenus sera une ellipse ayant le point O pour centre : propriété remarquable qui donne une idée de la manière dont varient les momftits d'inertie de la surface autour des axes qui concourent en O. Nous allons donner quelques développements sur cette loi de variation, pour la faire connaître plus complètement.
3. Ellipse d'inertie; ellipse centrale d inertie; axes principaux. —
L'ellipse dont nous venons de parler est ce que nous appellerons V ellipse d'inertie de la surface pour le point O ; si le point O se confond avec le centre de gravité G de la surface, nous emploierons la désignation à' ellipse centrale d'inertie. Les axes principaux de T ellipse correspondante à un point sont dits dxes principaux d'inertie de la surface en ce point.
La détermination des axes principaux pour le point O peut être effectuée ainsi qu'il suit. Ayant tracé par ce point et dans le plan ABCD trois axes O^, Oj, Oz, dont les deux premiers se coupent à angle droit, tandis que le troisième fait l'angle a avec Ox^ nous appellerons :
dû l'un quelconque des éléments superficiels, répondant aux coordonnées j: et j, et ayant une densité E;
A = lEj^û?, B = sEa;*a), C = 2Ejcy<», trois sommes dont les deux premières sont les moments d'inertie de la surface relativement aux axes des X et des y ;
/u le moment d'inertie de cette même surface par rapport à Oz.
Nous aurons alorâ
fjL = h cos' a H- B sin' a — 2 C sin 0: cos a ;
et si nous prenons OS = — , D étant une constante dont nous fixerons la
valeur ultérieurement, le lieu des points S, c'est-à-dire l'ellipse d'inertie, aura pour équation
Ao:' + Bj' — 2 Cxy = D\
Pour en avoir les axes principaux, il suffira, conformément à ce que l'on enseigne dans la Géométrie analytique, de prendre des axes Ox\ Oj' obtenus en faisant tourner le système yOx^ dans le sens de x vers /, d'un angle s déterminé par la condition
Si l'on rapporte l'équation de l'ellipse aux axes des coordonnées Ox' et Oy\ le double rectangle disparait et l'équation se réduit à
(«) AV'+By'=D%
