CHAPITRE I. — REPARTITION DUNE FORCE, ETC

forme

z = z, -h mx H- ny^

m et n étant des constantes. On en déduit par substitution dans les équations précédentes.

NA = ^ 2E»a: + ^ lEc^x^ + ^ 2Ea)^j.

Or 2Ea>/ = o, lEcûX = o, puisque le centre de gravité de CD a été pris pour origine ; lEoùxy = o, parce que les axes Ox^ Oy sont les axes principaux d'inertie en O (n** 5) ; enfin, 2Eû>/*, I^cûx^ ne sont autre chose que les moments d'inertie de la surface GD^ relativement aux axes des x et desy , conformément à ce que nous avons dit au commencement du n** 14 en établissant nos notations : donc

2Eû>j*= a'iEû^, l^ctàx^= fe"2Eû>; donc aussi

d'où résultent les valeurs des inconnues auxiliaires : Le plan CD' aura donc pour équation

la valeur de gr, qui est — j s'exprimera en conséquence par la formule suivante :

Ainsi q se trouve déterminé en fonction de :r et de /, et le problème est résolu.

15. Remarque sur t allongement et la tension de la fibre moyenne. —

Avant d^aller plus loin, nous ferons observer que si la résultante N coïncide avec la fibre moyenne, h et y étant nulles, on aura

z = VÊT- = z. = const.

Toutes les fibres élémentaires s'allongeront d'une même quantité z^^ qui pourrait se calculer par une formule tout à fait analogue à celle que nous avons rappelée au n° H, dans Fhypothèse de T homogénéité du prisme. La seule différence consiste en ce que 2Ea> remplace Efî. On devra, en outre, remarquer que z, est indépendant de/* et de h. On peut donc conclure que, quelle que soit la position du centre des tensions dans une section transversale du prisme, l'élément de fibre moyenne qui part de cette section s'allonge toujours, sous l'action d'une force donnée, d'une même quantité positive ou négative ; cette quantité est égale à celle dont s'allongeraient ou se raccourciraient tous les éléments de fibre partant de la même section, si la force était appliquée à la fibre moyenne, ou bien au centre de gravité de la section, défini comme au n'' 12.

Considérons maintenant la tension supportée par l'élément de fibre moyenne, tension qui correspond dans chaqii^ cas à l'allongement z^ dont nous venons de parler. Quand la force N agit au centre de gravité, la formule (i) donne la tension q' par unité de surface en ce point, en faisant y et h nulles toutes deux, et substituant au lieu de Ë sa valeur particulière E' pour a: = o et j = o, ce qui donne

, NE'

Cette tension resterait la même, si l'on partageait la force N entre tous les éléments superficiels e^ proportionnellement à leur étendue et à leur coefficient d'élasticité. A ce titre, on peut dire que la fibre élémentaire moyenne supporte, dans chaque section, la tension moyenne. Ce mot prendra un sens complètement clair et bien défini, si l'on suppose E constant, car alors q'

serait égal à j^ > c'est-à-dire à la tension moyenne, calculée comme si la force

était uniformément répartie.

La remarque faite ci-dessus à propos de la constance des allongements que