CHAPITRE I. — RÉPARTITION d'uNE FORCE, ETC

prend la fibre moyenne sous l'action d'une même force qui agit successivement en divers points d'une section, est évidemment encore vraie quand il s'agit des tensions correspondantes à ces allongements.

16. Lignes de niçeau. — Si l'on considère dans l'un des plans AB ou CD {fig- 1 1) une des lignes droites représentées par l'équation

hx . /r ^

TT -H î = const.,

et que cette droite ait des points appartenant au prisme, tous ces points, comme on le voit par la formule (i) du n"" 14, éprouveront la même tension par unité de surface, en supposant que le coefficient d'élasticité y soit le même, et les fibres élémentaires qui les contiennent subiront toutes un allongement identique, alors même que le coefficient d'élasticité changerait de l'une àTautre. On peut donc appeler les lignes dont il s'agit lignes de niveau : elles sont toutes parallèles entre elles, et ont une direction qu'on détermine à priori. En effet, l'ellipse centrale d'inertie de la surface CD ayant pour équation (n^4)

on en déduit, pour le coefficient angulaire de la tangente, la valeur

dy a^x

dx b*y

Or le point T de l'ellipse situé sur la ligne OH a deux coordonnées dont le rapport est celui de h a/; donc, en ce point, on a

djr a* h

ce qui est précisément le coefficient angulaire des lignes de niveau. Donc ces lignes, dans une section déterminée, ont même direction que la tangente à l'ellipse centrale d'inertie, menée à l'extrémité du diamètre de cette ellipse qui passe par le centre des tensions. On peut dire encore qu'elles sont parallèles au diamètre de l'ellipse centrale d'inertie, conjugué de celui dont nous venons de parler.

17. Formes diverses que ton peut donnera la formule (i). — Désignons

par l'abscisse du point où une ligne de niveau coupe l'axe Ox défini au n° 14, et par m l'ordonnée du point où cette même ligne coupe l'axe des^.

Puisque p- H-*^ est constant sur toute la ligne, d'après sa définition même, on aura

et, par conséquent, la formule (i) pourra être remplacée par l'une des deux suivantes:

(3) . = JSr(-$)'

dont chacune exprime la tension en un point quelconque de la section, au moyen d'une seule variable relative à la position de la ligne de niveau, au lieu de deux que l'on avait d'abord.

11 existe encore, pour représenter y, d'autres expressions qu'il est bon d'indiquer. Soient ABCD {^g. 12) la section considérée, O son centre de gravité (n"* 12), QPRU l'ellipse centrale d'inertie, MM' une ligne de niveau, H le centre des tensions, OU le diamètre conjugué de OH, et partant parallèle à MM'. Appelons :

iv la longueur OM, w^ la longueur OH;

V la distance entre les parallèles MM' et OU, if^ la distance du centre des tensions H à cette dernière ligne ;

p la longueur OP du demi-diamètre passant par H, /?' la longueur du demi-diamètre conjugué OU;

f çX h les coordonnées de H par rapport aux axes principaux d'inertie Ox, O7;

a et b les rayons de giration de la surface autour de ces axes ;

G son rayon de giration, s son moment d'inertie, par rapport à l'axe OU (nM2);

fl l'angle POU des deux diamètres conjugués, OP, OU;

A l'angle HOx;

M le moment de la force N relativement à l'axe OU .