TENSION
à rintrados
par millimètre
carré.
OBSERVATIONS
lO
OO lO OO 20 00
3o OO 35 OO
45 00 5o 00 60 00 70 00 72 00 74 lo
Le point C correspond à la valeur
a=2lOl9'25^3.
Le point E correspond à la valeur
a = 74<^io'24",2.
C'est en ce dernier point que
passe la section n9 12.
Les tensions négatives sont des
pressions.
Ces résultats sont représentés graphiquement par \^ fig* 23. On a pris sur Taxe des x des longueurs proportionnelles aux angles a ; on a porté les tensions en ordonnées positives et les pressions en ordonnées négatives. Les courbes pleines se rapportent à l'extrados et à l'intrados ; la courbe pointillée représente les tensions, ou phitôt les pressions de la fibre moyenne.
En résumé, on voit que la plus grande tension par millimètre carré serait de 5 kilogrammes environ, et que la plus grande pression serait de 1 1 kilogrammes.
46. Second exempls. — Le second exemple numérique se rapporte à un arc en fonte, dans le système adopté par M. Vergniais, pour les ponts auxquels il a donné son nom.
La section est dessinée et cotée dans la^g*. 24, ce qui nous dispense de la décrire en détail. La fibre moyenne devant être placée dans un plan vertical, les lignes de niveau seront les horizontales du plan de chaque section (n** 40). Si nous calculons le moment d'inertie de cette section par rapport à celle des horizontales qui passe au centre de gravité, la densité étant supposée constante et égale à l'unité, nous trouverons lé nombre o,oi 238o8 ... = I ; l'aire £î est de 34ooo millimètres carrés, soit o™*',o34 ;
le carré du rayon de giration, ou G% a pour valeur t^ » c'est-à-dire o,364 1 4 ;
8o FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.
enfin, on aura pour l'extrados la variable ç (n** 45) égale à ©""jSo, et pour Tintrados i^ = — o^'jSo.
La fibre moyenne, dont la^g^. 25 ne représente que la moitié, se compose de trois arcs de cercle, qui sont : i** un arc dont AB est la moitié, et dont l'autre moitié est symétrique par rapport à la verticale du point A ; 2° un arc CD, de même rayon que le premier, dont le point le plus élevé D est au même niveau que le sommet A de l'arc principal, et dont le centre est sur la verticale de la naissance B : 3® un arc symétrique à CD, relativement à la verticale du point A. Ces trois arcs ont une section identique: c'est celle qui vient d'être définie. Il y a encastrement réciproque en G, de telle sorte que l'angle des deux branches AC, CD est invariable. La demi-ouverture FB est de 27 mètres, la flèche AF est de 9 mètres; on en conclut que le
rayon est de n =45 mètres; que le sinus de l'angle répondant à AB
est 0,6, et le cosinus 0,8 ; enfin, que le sinus de l'angle correspondant à CD est 0,3.
Voici maintenant les forces qui sollicitent la pièce : sur AC et CD agit un poids uniformément réparti suivant l'horizontale, à raison de 2 700 kilogrammes par mètre courant, soit en tout de 72900 kilogrammes; sur CB agit un poids total de 47^5 kilogrammes, réparti suivant la même loi, à raison de 35o kilogrammes par mètre courant de projection horizontale. Ces nombres comprennent le poids propre des pièces. A ces forces il faut joindre, pour chaque arc, les réactions des appuis et des autres arcs ; ces réactions, dont nous donnerons ultérieurement le calcul, ont les valeurs suivantes exprimées en tonneaux de 1 000 kilogrammes :
. ( Composante verticale ascendante 6i ^85
^ * I Composante horizontale, de droite à gauche io8S3
. j Composante verticale ascendante i5*,8
"" ' I Composante horizontale, de gauche à droite 27%3
I Composante verticale descendante 20^65
Composante horizontale, de gauche à droite 27S3 Couple faisant tourner dans le sens positif (n^ 45), exprimé en
tonnes appliquées à i mètre 8g'"*,5
La réaction de AB sur CD est égale et contraire à la précédente. . Avec ces données il s'agit de calculer la tension en un point quelconque,
GHAPlTftE III. — PIÈGES COURBES A FLEXION PLANE. 8l
suivant les procédés des n^ 45 et 44. Nous avons supposé qu'on voulait connaître les deux tensions limites (celle d'extrados et celle d'intrados) dans, les sections normales o, 1,2, 3, 4i 5, 6, 7, 8, 9 qui correspondent à la division de la corde FB en six parties égales.
La Jîg. aS représente les forces, d'après les données précédentes : au milieu de la projection horizontale de chaque division des arcs AC et CD
est appliqué un poids égal à 2^7 x ^ = I2*,i5, et de même pour chaque
division de CB il y a un poids de i*,57. La force unique provenant des actions de CD sur AB se construit facilement : après avoir composé 20^6 5 avec 2 7*, 3, ce qui donne la résultante CR, on transporte cette résultante parallèlement à elle-même en QR^ à une distance du point G telle, que son moment soit égal à 89^,6 et ait le sens indiqué plus haut. On construit aussi la résultante de 6i%85 et 108^3 pour le point B, a^nsi que celle de i5S8 et 27^3 pour le point D.
Gela fait, on cherchera la courbe des pressions dans les trois arcs BC, AG, GD, et Ton trouvera les trois branches BI, KL, PD. La branche BI diffère peu d'une droite, attendu que la résultante de 6i%85 et io8*,3, appliquée en B, est peu altérée par sa composition avec les trois poids successifs de i*, 67 qui chargent la partie BG de l'arc principal : sur la figure on n'a pas tracé cette branche de la courbe des pressions, qui ne s'écarte pas sensiblement de la ligne brisée BEI formée par les deux résultantes extrêmes. Pour obtenir la branche KL, on a d'abord combiné la dernière résultante ES avec QR^ ce qui a donné GH, et fait passer brusquement le centre des tensions de I en K ; puis on a combiné cette résultante GH avec le premier poids de I2*,i5, ce qui a donné la force MN; GH, composée avec la résultante des d(ux premiers poids, a de même donné M'N'; et ainsi de suite. Gomme vérification, la dernière résultante M'^N'' doit être horizontale, à cause de la symétrie des arcs et des charges par rapport à AF; de plus, elle doit avoir pour valeui* 108', 3 — 27^3 ou 81 tonneaux, ce qu'on voit immédiatement en projetant sur l'horizontale toutes les forces extérieures qui sollicitent l'ensemble des pièces AGBD.
On procédera d'une manière tout à fait analogue pour l'arc secondaire GD. Si l'on est parti du point D, par exemple, et que l'on ait composé succes-
sivement la force totale en ce point avec les charges qui agissent sur CD, .comme vérification on devra trouver la dernière résultante égale et contraire à QR'.
La construction que nous venons d'expliquer sommairement donnera, pour chaque section normale, F intensité et la situation de la force résultante à laquelle les tensions doivent faire équilibre. Ainsi la section i est soumise à la force M'N', dont les deux extrémités portent aussi le n"" i (*) ; cette force, appliquée à la portion A'B de l'arc, tend à la presser contre A A', et, par suite, sa projection sur la normale à la section A' devra porter le signe — . Quant au centre des tensions, il est en T, et sa distance A'T = <^^ au centre de gravité A' doit avoir le signe + (n®43). Dans les environs du point G, on aura trois résultantes différentes, qui sont ES, GH et — QR', suivant que Ton considère la section menée par ce point comme appartenant à Tune ou à l'autre des trois branches qui viennent s'y réunir.
En résumé, on voit que la figure étant faite à une échelle assez grande, on obtiendra par des mesures directes les éléments variables qui entrent dans les formules du n"" 45 , et, par conséquent, on aura tout ce qui est nécessaire
au calcul, puisque nous avons déjà donné les constantes — p— = iî = o,o34,
G^= o,364i4> <^ = ± 0,80 pour l'extrados et l'intrados.
Si l'on préférait employer le calcul, on commencerait par chercher l'abscisse et l'ordonnée de chaque point o, i , a, 3, etc., de la fibre moyenne. Connaissant ensuite les forces horizontales et les forces verticales qui agissent sur l'arc, on calculerait dans chaque section la force N, comme il a été dit au n*" 40, et le moment M, comme on l'a expliqué au n** 45. On en dédui-
lait i^, , en cherchant le quotient |^ > puisque la quantité M s'est introduite
dans les formules en remplacement de Ni^^ .
Nous donnons ici le tableau des résultats :
(*) Les numéros font ici double emploi avec les lettres que nous avons dû mettre pour les besoins de l'exposition. En pratique, il sera bien de conserver les numéros, pour procéder avec ordre et éviter les erreurs.
