CHAPITRE ni. — PIECES COURBES A FLEXION PLANE. I

dispose un siège en fonte, ou embase, suivant l'expression technique. L'arc repose sur l'embase par l'intermédiaire d'une lame de plomb, destinée à produire une répartition sensiblement imiforme de la pression; en sorte qu'on peut admettre, sans s'écarter vraisemblablement beaucoup des faits réels, que dans les sections extrêmes le centre des tensions se trouve sur la fibre moyenne. Les supports jouent ici le même rôle que des articulations fixes placées aux extrémités de la fibre moyenne. Entre les deux points et dans son plan l'arc reçoit l'action des charges qu'il doit supporter, y compris celle de son propre poids, mais il n'est d'ailleurs contrarié dans ses mouvements par aucun obstacle, à l'exception de ceux qui l'empêchent de sortir de son plan par l'effet de causes accidentelles.

Soient AB {fig* 29) la fibre moyenne, F l'une des forces qui la sollicitent, R, R' les réactions des supports placés en A et en B. Il s'agit de défceraûner ces réactions. D'abord on observera qu'elles doivent être dans le plan de la figure; car, puisque toutes les autres forces extérieures sont dans ce plan, l'équilibr.e n'existerait pas sans cela : donc on pourra remplacer R par deux forces P, Q, l'une perpendiculaire à AB, l'autre dirigée suivant AB; de même R' sera remplacé par le système P', Q'. Cela posé, en appelant ^et ô les angles faits par la force F avec les axes coordonnés Ao?, Aj, 2 a la distance AB, p le bras du levier de F relativement au point A, les condilions générales d'équilibre entre les forces extérieures d'un système donneront

Q'-h2Fcos^— Q = o, p^-l-p^- vFcosâ -=0, aaP — 2F/? = o;

équations dont les deux :premières expriment l'équilibre de translation, «t la troisième l'équilibre des moments autour du point A. Gela ne fait encore que trois équations entre quatre inconnues. La quatrième nous sera fournie en exprimant que, malgré l'action de toutes les forces, la distance des deux extrémités A et B de la fibre moyame reste invariable. Si nous prenons pour axe des coordonnées la ligne AB et la perpendiculaire Aj, nous devrons avoir, pour le point B, Ax == o : appliquons donc à ce point la formule (9 friiy) du n^ SO, en prenant le point A pour origine des intégrations. Il

lo8 FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

faudra faire à la fois

Ao? = o, Aa'o = o, j=o, j^=:o, j;=2a, x\ = o, ce qui donnera

équation dans laquelle il n'entre en réalité d'autre inconnue que la force Q. Pour la mettre en évidence, nous poserons

M = M'+Qr, n = n'-qJ.

Alors M' sera la somme des moments, par rapport à un point quelconque de la fibre moyenne, de toutes les forces qui agissent depuis ce point jusqu'au point B, moins la force Q; de même N' sera la somme des projections de ces forces sur la tangente au point considéré, la force Q étant encoie laissée de côté. M' et N' seront donc des fonctions de ce immédiatement calculables, car M et N ne contiennent que les inconnues P et Q, dont la première est déterminée par la troisième des équations données ci-dessus. Substituant ces valeurs de M et de N, on aura

d'où l'on tire

f M'r ds , r^'N' , ,