CHAPITRE III. — PIÈGES COURBES A FLEXION PLANE

les poussées de cet arc, lorsqu'elles tendent à renverser les appuis en dehors. Généralement elles peuvent être inégales ; mais elles prennent la même valeur quand iFcos ô est nul, ce qui arrive notamment quand l'arc n'est chargé que de poids et que sa corde est horizontale.

60. Deuxième cas : Pièce symétrique et symétriquement chargée. — Supposons que l'arc représenté [fig* 29) soit placé dans les conditions qui ont été définies au n® 59, à part cette différence, que la fibre moyenne sera symétrique relativement à la perpendiculaire Dj, menée au milieu de AB, et qu'il en sera de même des forces qui agissent à droite et à gauche de cette ligne. En vertu de cette symétrie, il est clair que le point G devra, par l'efifet de la flexion, se déplacer suivant l'axe Dj, et que les réactions R, R', nécessairement contenues dans le plan de la fibre moyenne, seront de plus égales. Appelons encore P et Q les composantes de l'une d'elles, F une des forces qui agissent entre C et B (nous laissons de côté la force symétrique), ^ et ô les mêmes angles que tout à l'heure ; on aura

P + 2Fcos9 = o,

ce qui détermine l'inconnue P.

Afin d'avoir Q, prenons Dj et Do: pour axes des coordonnées, et exprimons que A j?est nul au point B. Nous appliquerons la formule ( 9 bis) (n° 50) , en prenant le point G pour origine des intégrations, et faisant, en conséquence,

àLX=^o^ iix^=Oy Aao=o, a: = BD = a, Xq= Oy j = o,

ce qui nous donnera l'équation

Si nous remplaçons, comme dans le premier cas, M par M' + Qj, N par N' — Q 5"' ^^^^^ aurons

et, par suite,

— ( — ^ -j- dx-^- \ — dx-hla

ce qui résout le problème.

61. Troisième cas : Pièce soutenue par un plan sans obstacle direct à [allongement de la corde. — Supposons que la pièce définie au n° 59 soit soutenue à ses extrémités par un plan sans frottement, qui empêche les points A et B de pénétrer à son intérieur, mais qui n'oppose aucun obstacle à leur écartement. Alors, U est visible que les composantes des deux réactions en A et B, suivant la ligne AB, sont nulles ; il ne reste donc que les composantes noimales P et P', que l'on calculera comme au n'^SQ.

Si le frottement du plan n'était pas nul, et avait un coefficient égal kf, on calculerait les poussées Q et Q' suivant la marche du n° 59, dans l'hypothèse de la fixité complète des extrémités de l'arc. En supposant que ce calcul donnât Q < fV et Q' < yP' en valeur absolue, il est clair qu'aucun glissement n'aurait lieu, et que les choses se passeraient comme si la fixité supposée existait réellement. Mais si les deux inégalités n'étaient pas satisfaites, la corde AB varierait jusqu'à ce que Q et Q' fussent réduits respectivement à/P et/P'. Les réactions totales seraient donc Py/i H-./% P'^/i -h/^; elles feraient avec la normale un angle égal à l'angle du frottement.

Cet exemple, comparé à celui du n® 59, montre bien clairement que la poussée d'un arc ne peut être obtenue qu'en exprimant l'invariabilité de la corde. Toute méthode qui serait fondée sur un autre principe pécherait par la base ; les résultats qu'on déduirait pourraient être approximatifs avec certaines données particulières, mais ils seraient souvent très-loin de l'exactitude.

62. Quatrième ca^ : Pièce encastrée à ses deuoc extrémités. — Ce cas ayant peu d'importance pratique, nous restreindrons la question, en supposant qu'il s'agisse d'un arc symétrique et symétriquement chargé, comme celui dont nous venons de nous occuper au n° 60, Nous ajouterons simplement cette condition, que, au lieu de deux simples appuis en A et B {Jig- 29),