TG' + 'rG''-fetc

Le premier terme GX sera une fraction qui y réduite à sa plus

simple expression , aura son dénominateur divisible par p . Si les autres termes sont fractionnaires, leurs dénominateurs ne contiendront que des puissances de p moindres que p , puisque chacun d'eux est le produit de deux facteurs , dont l'un ne contient qu'une

puissance de p plus petite que p' ou p , et l'autre une puissance

non plus grande que p ou p*. Ainsi GT sera de la forme....

^ , et le reste de la forme — j. , e, f, et/' étant indépen-

dans de p* Donc la somme sera T^m-t ^orit le numérateur

n'est pas divisible par p , et dont parconséquent le dénominateur ne peut être ramené à renfermer une puissance de p moindre

que p . Donc le coefficient du terme x° dans le produit de {P) par (Ç) sera ^l.S\^^^ , c'est-à-dire une fraction dont le dénominateur renferme la puissance t-^r — i de p, 43. La congruence du degré m

dont le module est un nombre premier p qui ne diuise pas A % ne peut pas être résolue de plus de m manières , ou n'a pas plus de ra racines incongrues suivant p.

En effet, supposons, s'il est possible, qu'on donne des congruences de difîérens degrés m. ^n, etc. , qui aient plus àem ^n , etc. racines ; soit 77/ le plus petit des nombres ttz, n, etc. j desorte que toutes les congruences d'un degré inférieur à m s'accordent avec notre proposition. Comme elle est démontrée plus haut (n°26) pour le premier degré, m sera = 2 ou>>2. Admettons donc que la congruence Ax'"'^Bx'^-'-\-eic.'\-Mx-\'N^^o ,3tii au moins 7724-1 racines ^^ a, x^^, x^y, etc. 5 et supposons que tous les nombres a, /S , y, etc., sont positifs et plus petits que p , ce qui est permis , et en outre que a soit le plus petit. Faisons dans la congruence proposée jc^y-f-a, elle deviendra

^^"'H-iB>"':r' 4- etc. 4-ilfy4-iV'=o.

Or il est évident que cette congruence sera satisfaite si^-^o ou ^/3 — a, ou ^y — CL, etc., racines toutes différentes, et en nombre ^-f-i; mais de ce que j—o est une racine, il suit que IS' est divisible par p , on aura donc

jK (^j-->-|-^'jK--^+ etc. H- M') ^o ( mod.;;) ,^.^ , . ^

congi'uence qui sera satisfaite, en y substituant à la place de r une quelconque des m valeurs : /3 —oc, 5. — et, etc., qui sont toutes > o et <;7. Parconséquent , dans ces différens cas,. :^j'"--f-^>'"--|-etc. +M' deviendra =o(n° 22); c'est-à-dire que la congruence ^JK—' +i5>'"- + etc. 4-iI/' = o qui est du degré '^y i^, aurait 772 racines; ce qui ne s'accorde pas avec notre théorème , quoique nous ajons supposé que toutes les congruences d'un degré inférieur à ttz, 7 satisfissent; ce qui est absurde.

44. Nous avons supposé ici que le module p ne divisait pas le coefficient du premier terme; mais le théorème n'est pas restreint a ce seul cas. En effet, si le premier coefficient, et même quelques-uns des suivans étaient divisibles par ;;, on pourrait les négliger sans erreur, la congruence serait réduite à un degré inteneur,^ et le coefficient du premier terme ne serait plus divisible par;;, à moins que tous les coefficiens ne le fussent, auquel cas la congruence deviendrait identique , et l'inconnue serait absolument indéterminée.

Lagrange est le premier qui ait proposé et démontré ce théoreme (Mémoires de l'Académie de Berlin, ann. 1768, p 102)

J T 'T'Z T'' ^^"' ^^ Dissertation deLegendre, int'ituiéê Recherches d^ Analyse indéterminée ( Histoire de l'Académie de Pans , 1785, p. 466 ). Euler dans les Nouveaux Commentaires Académiques. Pétersb. XVIII, ;;. gS , a démontré que la congruence ^''-. 1 ^o ne pouvait pas avoir plus de n racines. Quoique cr ne soit qu'un cas particulier, la méthode dont ce célèbre Géo- «.etre s'est servi,peut s'appliquer facilemen t à toutes les congruences. 11 s était déjà occupé d'un cas plus particulier ( Comment. Ac. retersb. V. p. 6); mais cette méthode ne peut s'employer gêné-

5ô RECHERCHES '

ralement. Dans la section VIII, nous démontrerons ce tliéorême d'une autre manière-, mais quoique toutes ces méthodes puissent paraître différentes au premier aspect, les gens instruits qui voudront les comparer, s'assureront aisément qu'elles partent toutes du même principe. Au reste ce théorème ne devant être considéré ici que comme tin lemme , et l'exposition complète n'appartenant pas à cette section , nous ne nous arrêterons pas à parler des modules composés.

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ARITHMETIQUES. 5î