PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. CHAPITRE IL Premier exemple
TsTpaycovov îaÔTiKevpov naà àpOoyûviov, ov éKOLalr] Tï'ksvpà ’éysi àvà opyviàs i, eùpstv avTOv to êpSaSov, vsoizi oiias'
Tcts (5'exa £7T< Tas <5'exa yivovicu p' ’ïoaoviwv bpyviâv êalt to éfxëa.ê6v tovto)v TO s" yivsTou K‘ xa) scrh "XiTpôjv k vtoi pioSi'ou jjjatcreja^.
Soit uû triangle rectangle équilatéral, dont chaque côté à lo orgyes : pour en mesurer la surface, voici ce qu’il faut faire :
Multipliez lo par lo; vous aurez loo orgyes pour la surface; le cinquième de ce nombre est 20, et c’est le nombre de livres (de grains), faisant ^ modius (nécessaire pour les semailles).
Deuxième exemple :
T pîycüvov icro(TKekès psTpeiTai outcos '
Efr7cü Tpiycivov l<7oaKskov5 éxctalr} twv taeov TS'Xsvpôov cryotvitov e, >7 Sè (idcns ay, ç, evpeTv avToS Trjv xolOstov, Tsotri'crsis ovtms' 'sro'XvTr'Xaa'/ao'ov Triv ixi'av tcov tcTcov TSkevpôjv é(p’ éa.vTï]v , yi'vSTCU xe’ xat to riiiiav Trjs (Sdasios rjyovv Ta y ê(p’ éavTa, yivsTai S-* eha VTré^s'Xs Ta 3- avro t5>v xa, 'konrà iç, wv TS'kavpà TSTpayo)vtx^ ytvsTai S, toctootcov ay^. r\ xâ^ZTOç. To sp.ëaSov avTov svpe7v, Tsoniaais ovTcos • tÔ rip-icrv Ttjs fSdaaaos TSo'XvTrXaalacTOv èn) t^v xdOaTOv , vyovv Ta y ctti Ta S, ylvovTai tê,xat aaUv avTOu to êixËaSbv ay. lê’ &v to rjfxiav ytvsTai ç‘ xai sait yrjs (jioSiav ç
Le triangle isoscèle se mesure ainsi :
Soit un triangle isoscèle dont chacun des côtés égaux ait 5 scbœniums et la base 6. Pour avoir la perpendiculaire, multipliez l’un des côtés égaux par luimême (c’est-à-dire 5 par 5), vous aurez 26; multipliez la moitié de la base par elle-même, c’est-à-dire 3 par 3, vous aurez 9; retranchez 9 de 25, restent 16, dont la racine carrée est 4 ; et c’est le nombre de scbœniums qu’aura la perpendiculaire. Mais comme il s’agit de connaître la surface , multipliez la moitié de la base par la perpendiculaire, c’est-à-dire 3 par 4, vous aurez 12; telle sera la surface du triangle, dont la moitié 6 est le nombre de modius [de terre, c’esta-dire ce] qu’il faudra pour les semailles.
Troisième exemple :
'^yfip.a pofxëov o îaoa-xe'Xès pav, ovx bpBoydviov Sè , paTpahai ovtcos'
Eo‘7&) ayripa p6p€ov ov éxd(r1rj tôjv TsXavpôiv ayoïviav i, rj pta twv Siayojvioüf
* Cod. 1670, fol. 67 r° init. — ’ Ibid. fol. 74 v° init.
40 FRAGMENTS D’HÉRON D’ALEXANDRIE
(Tyoïviwv të, xai î? èrépa iç, svpstv to èpêaBov tov p6p.€ov "XdSs to ripiav Trjs fjLias TtSv SioLywviojv , xdi 'Sfo'kvTihaai'a.aov èir\ tvv STépav ^Xnv Siayojviov , TOVTécrlt Tflt ç êni Ta tç v Ta rj èTz\ Tût yivsiai IjÇ' xai ëtrli to êptêaSov tov popSov ay^. ~^,d)v t O ripuav yivzia.1 fiti' xoà sali y ris p-oSicov (Iv^.
La figure d’un rhoinbe isoscèle, mais non rectangle, se mesure ainsi :
Soit un rhombe isoscèle , non rectangle, dont chaque côté ait lo schœniums, l’une des diagonoles 12 et l’autre 16 : prenez la moitié de l’une des diagonales; multipliez-la par l’autre diagonale, c’est-à-dire 6 par 16 ou 8 par 12, vous aurez 96 : ce sera la surface du rhombe, dont la moitié 48 exprimera le nombre de modius [de terre , c’est-à-dire le nombre de modius] nécessaire pour ensemencer.
Voici un exemple plus compliqué qui donnera en même temps une idée de la manière dont les fractions sont exprimées dans le reste de l’ouvrage :
Èalco zsapoiX'hïi'Xôypap.p.ov bpBoywviov , 6 Sv xai éTSpopirjxès xoCks'ÎTa.i, Tsp.v6p.svov sis Sidipopcx, sïSri Tptyaivcov , rjyovv sis b^vycoviov iaoaxs'Xss, sis Svo crxaLkr)và bpBoywvict, xai sis Sûo dp^vycovia, axaXrivà xoà TaoTa.
H (Sdais TOV iaoaxs'kovs b^vywvi'ov y®" ay^. ït}, sxdalri Sè tmv i'acov Ts’XsvpôHv cry. ts. TavToi e(p’ éoLVToi, yivovTOu âxs’ xai to ripiav Ttjs (Sdasws rjyovv Ta 6 è(p’ savTOL, yivovTai irâ. TaÔTa à(patpô5 <x7to tôjv âxs, "KoiTToi ppS, d)v TsXsvpà TSTpayojvtxri tê* toctovtoüv ay. v xdOsTOS’ TavTa TSo'kvTfkaaia^bpsva swi to rlpia-v Ttjs j3daso)s, TOVTsaliv éni Ta 6, yivovTai"^' xat sali yrjs poSîoJv vS.
H xopv(pï7 svhs sxdalov bpOoywviov ay. s, rj orphs bpOàs ay. lê, xai v vTTOTSivovaa ay. Tÿ' to ripiav Ttjs Tspbs bp9às tjyovv toi ç -zso'kvTfkaaia^bpsva sort TOL S Ttjs xopviptjs svos sxdalov tovtuv, yivsTai 'h' xdï ëali to spëaSbv évos sxdalov bp6oyci)viov-^°'^ ay. "h, cbv to ■tjpiav yivsTai is' xai ëaliv é'xaalov tovtcov poSiMv is.
H shdaaoùv TsXsvpd svos éxdalov dpêy\.vyoi)vi'ov tr;^. S, v Sè psië^wv ay. if, rj Sè ^dais VTTOTStvovaa ay. is, svpstv to spë, tsoiü ovtcos' Ta is e’(p’ éavTa, yivsTai axs' xdi if è<P’ savaa, yivsTai p^B' xai Ta S s(p' éavTa, yivsTat iç. 'EvvtiBco tol axs xai Tût p^Bf yivsTai rkS' dm tovtcov vipatpcj Ta iç, ’honra tov, &v tjpiav yivsTai pTzB' TavTa pspi^co TSapà Tût te Ttjs (Sâasoos, ytvsTai lë IL i" , ijToi pp°. lë xai s" s" y ToaovTCOv ay. ëa1at v psi^cov Topfi Ttjs ^dascos. Opoicos avvTiBco tcl axs xai Tût tç, yîvsTai apa' dm tovtcov v<^aipS> Ta p^B,\oi’nd oë, cov to ^piav yivsTai Aç' TavTa pspi^co TSapà Tût te Ttjs (Sdascos, yivsTai (3 y"is", tj^oi pp°. (3 xai s"s"ë' ëalai oSv xai V skaTlcov Toptj Ttjs (3dascos ay. ë xai s" s" ë. TavTa TSo'kv'TiXaaidtco è(p’ éavTa,
^ Cod. 1670, fol. 88, v” fin.
/ 0 " \ U n — \ 7 // // ^ // // rp - t ^ > \ ^ ^ \ 0 “
yivsrai fXfji , s k<xi s s y, hou des rcov e e , lavTot atpoj airo tcov ;ç. AOiira fXfjL . i s" a Kcù s' To \lisez Tov] s". S)v zsksvpà TSTpaycoviKti yi'vsTat y s. ^oaoxnw ay.
Ÿ\ HCtOsTOS ■ ^ K.T.'X.
Soit un parallélogramme divisé en triangles de diverses formes, savoir : en un triangle acutangle isoscèle, en deux scalènes rectangles, et en deux scalènes obtusangles.
La base de l’isoscèle acutangle est de 1 8 schènes. Chacun des côtés égaux a i5 sch. , dont le carré est 2 2 5 ; le carré de la moitié de la base , c’est-à-dire de 9, est 8 i . Retranchez 81 de 22Ô, restent i44, dont la racine carrée 12 est la longueur de la perpendiculaire ; 1 2 multipliés par la moitié de la base , c’est-à-dire par 9, font 108, dont la moitié 54 exprime la quantité de modius nécessaire pour ensemencer.
La base de chacun des deux triangles rectangles est de 5 sch., le côté adjacent à l’angle droit, de 12 sch., et l’hypoténuse de iS.La moitié de 12, multipliée par 5 de la hase, donne 3o. C’est la surface de chaque triangle rectangle, dont la moitié i5 exprime le nombre de modius.
Le plus petit côté de chacun des deux triangles obtusangles est de 4 sch. ; le plus grand après celui-là en a i3 , et l’hypoténuse i5. Pour avoir la surface, multipliez i5 par 1 5 , i3 par i3, et 4 par 4 , vous aurez 22Ô, 169, et 16: 225 ajoutés à 169 font 394; j’en retranche 16; restent 3y8, dont la moitié 189, divisée par i5 de la base, donne 12 schèn. 1/2 1/10, ou 12 3/5, qui sont la plus grande section de
‘ Cod. 1670, fol. 91, r“ et v°.
FRAGMENTS D’HÉRON D’ALEXANDRIE
la base. J’additionne également 225 et i6, ce qui fait 24i; j’en retranche 169; restent 72 , dont la moitié 36, divisée par i5, vaut 2 i/3 1/1 5 ou 2 2/5, qui seront la plus petite section de la base; le carré de ce dernier nombre égale 5 3/5 et 4/5 de 1/5 (c’est-à-dire 4r)î je les soustrais de 16, restent 10 i/5 et i/5 de i/5 (c’est-à-dire ^), dont la racine carrée, 3 i/5 schènes, sera la perpendiculaire du triangle.
Je pourrais multiplier les exemples; mais ce serait, je crois, fort inutile. Les quatre que j’ai choisis donnent une idée sulTisante de la composition de l’ouvrage.
On conçoit parfaitement que l’auteur de ce traité d’arpentage, voulant calculer les surfaces en mesures du pays, s’e.st trouvé dans la nécessité de faire précéder son travail d’un tableau de toutes les mesures dont les noms devaient se rencontrer dans le cours de ses démonstrations.
Aussi c’est au commencement de l’ouvrage, dans l’introduction, renfermant les définitions préliminaires et intitulée Ùpwvo? dafxywyaX Twr ysMp.sTpovp.évMv, qu’on trouve le tableau des mesures usitées en Egypte du temps d’Héron, avec l’indication de la quantité de grains nécessaire pour ensemencer une surface donnée. D’où il résulte que le modius pesait 4o livres, et ensemençait un champ de 200 orgyes carrées, ou de 2 schéniums. Voici d’ailleurs la traduction de ce tableau, d’après le texte publié pai' Montfaucon, et vérifié par moi sur les manuscrits.
a'. Tà fiSTpa ê^rjvprjvzai àvBpwitivwv fieXcàr, rîyovv SolktuKou , kqvSvKov , TTokaial ov t a-m9oL(j.rj5, zsoSbs, zsrjyews, (SrjpaTOS , bpyviàs Kat 'koncaiv.
(3'. IlarTfii)!' Sè zwv p.érrpwv D^aytalézepov eah SaKTvXoSy o<s xai povàs xa- AStrai • SiaipsiTat Sè êcrO’ 6zç pèv yàp xat ets ■flpia-u , xcà zpizov , xcii 'kotTrà
p.6pict.
y . Msrà Ss zov SoLxzvkov , 6s écrit pépos è'hdyicrlov tffaWon', ’éaliv b xôv^vXos hs ’éysi SctxzvKovs S60.
^ . E/ra b zscCkaialris , ovTiva 'vrcCkaial^v zézapzov xetkoveri zivss, Sià rb réacretpas syeiv Saxrrv'Xovs, v Sià zb eivau zézapzov zov zsoSbs" zivès §è xa) zpizov, Stà zb elvat zpizov zrjs airtOapris' r\ yàp a-TriOapr) zpi'a zéztxpza è'yec , b Sè zffovs zécjcnxpd. s'. H Siyàs iysi zsaXaicrlàs S60, rjyovv Saxzvkovs bxzw , xovS'JÏ.ous zéeraetpas’
Kai xaXeiroti Si'ixotpov cnuOapijs' Sf)(0L5 'kéysTcu to twv Juo SaxTv’Xcov ocvoiypa, Tov àvïiyzipos 'Kéyw xoà joü'hiyjxvoîj’ tovto kol) xoivocriofxov ^ xcCkovcri tivz?.
ç. H cnnOayLrj eysi zra'Aatalà? rps7s , vyovv SoLXTvkovs SoiSsxa, xovSv'kovs ê'^.
X! . O tffoüs ’éysi (TTTiOctprjv a xot't rpipoipov , ijyovv zsaX<xic/l as S, xovSv'Xovs bxTà) , SaxTv'Xovs iç.
tj' . O 'Srjyvs 'CSÔSas ë, nyovv Œ'niBapàs ë Si'pLOipov, 'SsaXaicrl às rj , xovSv- "Xovs tç , Saxrv'Xovs "Xë,
6'. To (3tjpa TO àjrXovv syei cnriBapàs y Tptpoipov, 17 'sôSas ë vpicrv , v -ara- Xaialàs i, rj xovSvXovs x, rj SaxrvXovs p.
t'. To (irjpaTO SiTrXovv ’éysi tso^ols zsévts, )? cnuBa.pà.s q St'poipov, 17 zraXaialàs X , fi xovSvXovs P , fj SaxTvXovs -cr.
la. O 'sfrjyvs 0 Xtdixbs syei cnciQapàs ë, f} 'srovv^ sva. zrpos -zü fipicreiy ij 'zsaXaialois ç, fi xovSûXovs lë, fj êaxTvXovs x^, coaavTœs xcà b toC ■zspta-ltxov ^vXov.
. H opyvià peB’ i)s psTpeTrat^ f) cnzopipos yn , ëy^ei airiBapas ^aciXixàs B TETapTOv pépos, V zrôSas xai <nziBapfjv a TSTapTOv, fj 'vgoCkoucrl as ffyovv ypbvBovs eixoa-iSTzIà xa) àv'ziyzipov'^’ Tov'zéa'h Toiis pèv eixoaiè^ è(7(piypévr]s Quarts Tris yeipos , tov tsXevtaîov fj izpwtov, ^nXcopérou xa\ tou peyaXou SaxtûXou tfjs )(^stpbs, os Sfj xa\ Xéystai tétaptov aniBapfjSy eysi Sè Saxtukous y. MsBb Sè tffoirfasts àpyutàv év xaXapiS, fj ’év tivi ^uko)' pstà touto b(psi'Xsis tsotfjaai ayotviov riyouv acüxâpiov Ssxaôpyuiov, xai oütcos petpe7v bv psXXeis pEtpfjaai totzov • to yàp acûxdptov trjs aizopipou yijs Séxa bpyutàs bÇ>et'Xst ëysiv tou XiëaSi'ou xa) tcôv tzreptopiapcüv lë.
ty. Ka) petà pèv tou Sexaopyuiou ayoïviou, ’éyzi b tottos tou poSiou bpyutàs Siaxoaias xa) pévas^’ pstà Sè ScoSsxaopyu (ou eyst bpyutàs aTzrt.
1. Les mesures dérivent des parties du corps humain, savoir: du doigt, de la phalange , de la paume , de la spithame , du pied , du bras , du pas , de la brasse , etc.
‘ Un ms. donne xuvèaTopov : c’esl, je crois, la vraie leçon.
’ noüv au lieu de tndha. Cette forme insolite est peut-être tout simplement une faute de copiste. Elle n’appartient qu’aux mots composés de tsobs, jSpaSvTrovv ( Eurip. Hecub. V. 65), TeTpdtTrovv (Aristot. Hist. a/l. II, 1,7. ed. Sclineid.), hsxàTzovvjPelav. a uct. D. T. p i45), etc.
^ Les manuscrits donnent ici psTparat, et plus bas perpâv au lieu de petpeïv; tandis qu’ailleurs on lit petprjaai et pe- Tpeiadai. Cette diversité provient de la confusion de a et de Fi.
^ Plus hautàtn-ip^sipos (n°5); il faudrait ici àvtiystpa, ou là àvttyeipou.
^ Il faut lire htaxoalas pôvas ou pèvccs, sans le xa), qui ne fait point de sens.
FRAGMENTS D’HÉRON D’ALEXANDRIE
2. La plus petite de toutes est le doigt, appelé aussi unité. On le divise encore parfois en demie, tiers, et autres fractions.
3. Après le doigt, la plus petite est le condyle [ou la phalange], qui vaut 2 doigts.
4. Ensuite le palme, que les uns appellent quart, parce qu’il contient 4 doigts, ou parce qu’il est le quart du pied; les autres tiers, parce qu’il est le i/3 de la spithame : car la spithame vaut 3/4 et le pied 4/4.
5. Lu dichas a deux palmes, c’est-à-dire 8 doigts, 4 condyles; on l’appelle aussi deux tiers de spithame. On nomme dichas l’intervalle des deux doigts ouverts, savoir de l’index et du pouce. On l’appelle aussi cynostome.
