SR = O

j Log sin PR = 7,9793595

conséquemment PR = i07®.3i.3o" d’où | Log cos PR = 7,4787449 —

( Logtang PR = ;,5oo6i46 —

I Log sin S'R = 3,9191408 Log cos S'R = Ïj999985i L og tangS'R= 3,9191558

Alors le triangle S'PR, rectangle en R, donnera l’angle au pôle /?, qui retranché de T A fera connaître TA'; et le côté PS', qui est la distance polaire de S'. On trouve ainsi :

= 0^.29'. 56' PS' = io 7®.3 i '.3 i "

Or, d’après le§ 3, nous avons : TA = 65®. 57'. 3o"

Donc TA' ou.. [«]’'= 65®. 27'. 34" et = — i7®.3i'.3i"

J’applique à la déclinaison [t/]" le signe négatif, pour indiquer qu’elle est australe. Ce sont ces coordonnées de l’astre réfracté qu’il faudra prendre comme représentant les lettres <2 et c/, dans les formules citées du tome IV de mon Astronomie ^ page 626, § 426 et suivants.

§ 6 . Revenons donc à la fig. qui exprime les situations respectives de l’équateur tO et de l’écliptique T L, au moment du lever de S. 11 faudra y considérer cette lettre comme désignant l’image de Sirius élevé par la réfraction r. Alors en lui appliquant les formules citées, précisément comme je l’ai fait pour l’astre réel à la page 636 du tome IV, on trouvera, au moment de son lever sur l’horizon de Thèbes :

Différence ascensionnelle OA. a — — 8^.44

Ascension droite du point orient de l’équa- /Logsin =

teur : TO 4 " Log cos =

(Logtang^,=

Longitude du point orient de Técliptique : TL L— 86® . 46\ i3'',5

Inclinaison actuelle de l’écliptique sur l’ho- ( ^

rizon : TLO 1= 6o®.i6'.3i" | Log cos ï =

( Log tang I =

Si l’on compare ces résultats à ceux que nous avons obtenus dans le§ 4i avec les mêmes coordonnées équatoriales, le Sirius, sans tenir compte delà réfraction horizontale, on voit que la valeur de L se trouve ici de 35' moindre qu’elle n’était alors. Pour suivre les conséquences de ce fait , supposons que, dans les deux cas, l’étoile, ou son image réfractée, ne pussent devenir perceptibles à l’horizon , par la simple vue , qu’autant que le soleil sera verticalement abaissé d’un certain angle H, au-dessous de ce plan. Alors, si l’on nomme e l’arc de l’écliptique qu’il faut ajouter à L pour que cet abaissement existe, on aura généralement

sin H

sin e = — r- •)

sin I

et la longitude que le soleil devra atteindre pour que le lever soit visible sera L -~1- e. Il ne reste plus, pour la connaître, qu’à fixer la valeur convenable de H.

Dans le chapitre VI du livre VIII de l’Almageste, Ptolémée expose avec beaucoup de netteté la théorie mathématique par laquelle on peut déterminer les époques annuelles de première ou de dernière apparition perceptibles, d’une étoile quelconque, sur l’horizon d’un lieu assigné. Il explique très-bien qu’il faut donner à l’abaissement H des valeurs diverses, selon l’éclat propre de l’étoile considérée; et selon que son lever ou son coucher s’opèrent en des points de l’horizon plus ou moins distants, ou proches du vertical dans lequel le soleil se trouve aux mêmes instants A ces préceptes généraux il ne joint aucune indication numérique. Il ne s’explique pas davantage à cet égard, dans son traité spécial des apparitions et disparitions des fixes, qui est tout entier d’application. Mais, comme il y donne les dates juliennes de ces phénomènes, dans la première année d’Antonin, pour un grand nombre d’étoiles qu’il définit, et pour plusieurs

parallèles terrestres qu’il assigne, si Ton refait ses calculs, par les méthodes qu’il a décrites, avec les mêmes données de position que son catalogue d’étoiles lui fournissait, on retrouvera les valeurs numériques des arcs tLou L, telles qu’il a dû les obtenir pour chaque étoile, ou chaque parallèle considéré. Alors, il n’y aura plus qu’à voir quelle était, selon ses Tables du soleil, la longitude vraie L -J- ^ de cet astre, à la date du jour julien où il a placé le phénomène pour le parallèle choisi. De là on déduira rigoureusement e par différence; puis de cet e on tirera H, l’angle I ayant été calculé préliminairement. C’est ainsi qu’a procédé Ideler; et il a trouvé que, pour Sirius, dans ses apparitions matutinales, Ptolémée a dû prendre l’arc d’abaissement H, depuis lo® jusqu’à ii® Il en résulterait donc ici :

avec H = 10 ®; c = 1 1®.32'. 5" ; avecH — ii®; <? = i2®.4i^34'.

Dans ces deux suppositions , la valeur de e sera un peu plus forte, avec la réfraction , que sans la réfraction , parce que l’angle I est, relativement moindre. Mais l’excès ne s’élèvera pas à a' ; de sorte que, en somme , la longitude héliaque L-|- e sera d’environ 33' moindre en tenant compte de la réfraction, qu’en n’y ayant point égard. Or, aux époques de l’année que nous considérons, le mouvement diurne du soleil en longitude est environ de Conséquemment, une diminution de 33' sur L -f- ^ hâtera de plus de J 4 heures l’instant où cet astre atteindra le point de l’écliplique qui lui est assigné par les conditions de visibilité que nous venons d’admettre; et cette différence n’est pas si petite que l’on doive, volontairement, la négliger.

§ y. La valeur de l’angle H adoptée par Ptolémée, et, après lui, par tous ceux qui ont voulu calculer des levers héliaques, se présente ici comme une hypothèse purement géométrique , dont le choix et la convenance auraient besoin d’être motivés. Mais on peut lui donner un sens physique qui l’explique et en justifie l’application. A cet effet je construis la fig. 2 , qui n’est que la fig. yi'*, vue un peu obliquement à la ligne d’est et ouest, pour y rendre sensible la courbure des cercles célestes de l’horizon et de l’équateur. L’image de Sirius réfracté surgit à cet horizon en S'. Les lettres O, L, désignent le point de l’équateur et le point de l’écliptique qui se lèvent en même temps que lui. A cet instant, le soleil désigné par £ï se

trouve abaissé sous l’horizon oriental, dont il est séparé par l’arc vertical nV ou H, lequel détermine sur l’écliptique l’arc LO ou e. Celui-ci, s’ajoutant à la longitude TL ou L, donne la longitude du soleil, au moment du lever dç S', égale à l’arc TLO, ou h e,

A ce même instant menez du pôle P l’arc de grand cercle POD. Il définira le plan horaire dans lequel le soleil se trouve; en sorte que l’angle horaire actuel, marqué par cet astre à partir du méridien inférieur, sera OPM. La condition physique du lever héliaque de S" sera que cet angle horaire concoure, avec l’aube du jour, au temps et dans le lieu désignés.

§ 8. Or notre construction nous fournit le moyen de voir jusqu’à quel point cette condition est remplie , par les limites que Ptolémée assigne à l’abaissement du soleil sous l’horizon, quand l’étoile S' y devient perceptible à son lever. Pour cela, considérant d’abord le triangle sphérique TOL, où l’on connaît deux côtés et les trois angles, je calcule le troisième côté OL, par l’une ou l’autre des formules

sinto'sinrtj. . sin w' sin L

Sin OL — : — ? ou bien : sin OL = ;

sm I cos n

De là on tire également OL rrr 26®. 37'. 5 1"

Et comme OH comprend 90®, il en 1

résulte LH 63 ®.asi'. 9"| Logées LH T, 65 i 5 108

( Log tang LH=: 0,0^997845

Maintenant, je prolonge l’écliptique jusqu’à son point d’intersection M, avec le méridien inférieur, et je considère le triangle sphérique LMH. H est rectangle en H, et l’on y connaît le côté LH, avec l’angle adjacent î. On peut donc calculer ses autres éléments , par les formules connues, et l on trouve

,M 76°. 16" MH = 67® . 25 ' . 57"

Or on a. PH = 26°. 4 ^'. o''

Log sin M

M = 67®. 5 '. 3 o" Log cos M

( Log tang M

I Log sin PM = 7,9968729 Donc. . PM — 83 °. 7'. 57") Log cos PM — 1,0776287

I Log tang PM = 0,9 192 44 a

Si I on ajoute l’arc tP- 0^1 L pour somme Tare tLM, de

, trouvé § 6, à l’arc LM, trouvé ici, on aura l’écliptique, qui s’étend depuis l’équinoxe

9i RECHERCHES DE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE.

vernal jusqu’au méridien inférieur , quand Sirius réfracté surgit à l’horizon oriental; ce sera donc

TLM= 162^48'. 29^5

Cet élément nous sera fréquemment utile ; et c’est pourquoi j’ai cru devoir former sa valeur pendant que l’occasion s’en présentait.

§ 9. Attribuons à l’arc Lfl ou e les deux valeurs que nous avons obtenues dans le § 6, en faisant l’arc d’abaissement du soleil égal à 10® ou 11^; et retranchons-les séparément de LM. Nous aurons ainsi :