DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS DES FORMULES

On a vu que les relations existant entre les pentes et les vitesses de l’eau s’écoulant dans une conduite pouvaient être représentées par les équations

Ri = av -t- bv' ( 1 ) 1 ou

Ri b, v' (a)

La seconde équation s'appliquant plus exactement aux conduites déjà anciennes et recouvertes de dépôts.

Il s’agit maintenant de déterminer les coefficients a et b de la première équation , et le coefficient b, de la seconde , au moyen «les expériences faites pour chaque tuyau.

Nous appliquerons, du reste, chacuue des équatious i et a à la représentation des phénomènes, car si dans les limites de la pratique la seconde était dans tous les cas suffisamment exacte, il serait beaucoup plus simple d’y avoir toujours recours.

Elle permet en effet de résoudre avec une grande simplicité toutes les questions relatives aux distributions d'eau.

A «juelle méthode maintenant convient- il de recourir pour atténuer autant «pie possible les anomalies qui existeront entre les formules et les résultats de l’expérience?

De Prony, dans son Recueil des cinq tables, annonçait que dans

1 Le premier membre de ces équations devrait être divisé par a; ainsi le»’ valeur» des coefficients a, b et blt résultant des calculs qui vont suivre, présenteront des valeurs doubles de celles que l'on aurait déduites de la formule de Prony Ri Ri

— &= dv 6e* ou — ==» 6, e1 : il faudra sc rappeler cette observation en compa* 2 2

rant la formule des tuyaux à celle des canaux découverts.

les publications futures qu’il se proposai! de faire sur les eaux courantes, il appliquerait à la recherche des lois des phénomènes observés la belle méthode de la moindre somme des carrés des erreurs.

Je me suis inspiré de sa pensée, et c’est à ce procédé que j'ai cru devoir recourir.

Mais, au lieu de déterminer a et b ainsi que 6, par la condition que la somme des carrés des erreurs fut la plus petite possible, je les ai assujettis à la condition de rendre minimum la somme des carrés des rapports existant entre les erreurs et les données expérimentales.

On comprend en effet qu’un écart de 4 à 5 centimètres sur une vitesse de a à 3 mètres est sans importance, mais qu’il devient tres-considérable quand il s’applique à une vitesse de i 5 à ao centimètres.

On voit donc qu’il ne s’agit pas précisément de rendre d’une manière absolue la somme des carrés des erreurs la plus petite possible, mais qu’il faut chercher, ainsi que l’a fait remarquer M. Eytelwein, à calculer les constantes de manière à obtenir des minimum pour les rapports existant entre l’expression des écarts et les données de la question.

Seulement M. Eytelwein n’arrivait à ce résultat qu’en se servant de préférence, pour la formation des équations qui devaient lui servir a la déterminatien des coefficients, des expériences dans lesquelles la vitesse est très-faible.

Je n'ai pas besoin d’insister sur les inconvénients de cette manière d’agir.

Les expériences à pentes et vitesses faibles sont en générai les moins exactes, et celles au contraire à pentes et vitesses considérables offrent le plus de garanties, et ce sont ces dernières qui sont sacrifiées aux premières par le procédé précité.

Il était, ce me semble, plus rationnel d'agir ainsi que je l’ai fait, c’est-à-dire de considérer le rapport de tous les écarts aux données expérimentales, au lieu d’avoir égard à ces écarts eux-mêmes.

92 DU MOUVEMENT DE L'EAl

J'ai du reste fait les calculs dans toutes les hypothèses. Chacune des formules (i) et (a) donnera lieu k deux espèces de valeurs que l’on pourra comparer entre elles.

Déterminons maintenant les valeurs de a et b, ainsi que de b, dans les hypothèses précitées.

Ft d’abord, prenons l’équation Ri = av -f- b v’ que l’on ramènera à la forme linéaire en divisant les deux membres par r et

faisant - = i;

d'où: Hz = a bv

en y substituant à la place de v les valeurs déduites de l’experience, on ne retrouvera pas exactement celles de 2; l’expression générale de la différence sera:

celle du rapport de la différence à la donnée expérimentale sera également:

A ai b v

Or, le principe de la moindre somme du carré des erreurs consiste à rendre minimum, soit la somme de tous les Æ* ou 2

soit celle de tous les ^j’ou 2 .

Nous différencierons donc l'une et l’autre expression en considérant a et b comme variables indépendantes; nous égalerons k oie résultat de la différenciation, et nous aurons pour les valeurs de a et de 6 :

1 0 Dans l’hypothèse où l’on veut se borner à rendre la somme des carrés des erreurs la plus petite possible,