DENSITÉS CONSTANTES. TEMPÉRATURES VARIÉES

Pour constater si la résistance des gaz est une fonction immédiate de température, le procédé à la fois le plus simple et le plus naturel semble être d'opérer sur une même masse de gaz^ tenue à volume et par suite à densité invariables, et de mesurer la résistance, en faisant dans ces conditions varier la température sur la plus grande échelle possible du thermomètre. Telle est aussi la première idée qui me soit venue à l'esprit, lorsque j'ai entrepris les expériences relatées dans ce travail; le lecteur peut-être sera même étonné que je ne me sois pas borné à celte méthode. Je n'ai pas lardé toutefois à reconnaître que l'application, sous forme correcte, de cette méthode présente des difficultés très grandes, des difficultés telles que j'avais fini par la croire impossible. Ce n'est qu'après de longues réOexions et après de nouveau?^ efforts, que je suis parvenu à vaincre les obstacles, et à éliminer des erreurs qui^ par leur apparence de régularité et de constance, étaient de nature à

fausser les conclusions d^uD physicien moins sceptique que je ne ie suis devenu à réf;ard de mes propres travaux.

Je vais décrire minutieusement et^ je Fespère^ clairement^ quoique sans Ggure^ l'appareil auquel j'ai eu recours^ et la manière de le faire fonctionner. Ce dernier point est capital et ne saurait trop fixer Faltention du lecteur.

Dans une bombonne de verre^ fermée hermétiquement par un bouchon dé caoutchouc vulcanisé^ se trouve suspendue à un fil d'acier trempé au bleu^ une lame de verre de O°'^4015 de longueur sur 0'"^0266 de largeur^ pesant 101'^^8& Le point d'attache du fil à la lame esl placé de lelle sorte que ce pendule ou balancier de grande surface (relative) se tient horizontaleniient, un peu plus bas que Véquateur de la bombonne. L'extrémité supérieure du fil est fixée au centre d'un tube de cristal presque capillaire^ traversant à frottement doux le bouchon de caoutchouc et coudé à angle droit à sa sortie. Par une seconde ouverture percée dans le bouchon pénètre un tube de verre doublement recourbé en siphon, dont l'une des doubles branches est à moitié remplie de mercure. Ce manomètre, à air libre, fait ainsi connaître à chaque :instant les variations de pression et par suite de température du gaz renr fermé dans la bombonne. La bombonne est placée sur trois piliers de bois élevés, dans l'intérieur d'une cage de verre très spacieuse, d'où son col seul sort à l'air libre. L'air de cette cage peut être chauffé à l'aide de deux becs à gaz et peut être agité vivement à l'aide d'une plaque de carton attachée à une tige de verre sortant par le plancher de la cage. Celte disposition permet d'obtenir une égalité parraile de température dans toutes les parties de la bombonne, qui, avec son manomètre à mercure, fonctionne ainsi comme uo immense thermomètre à air. Cette égalilé est une condition sine qua non de Texaciitude des expériences; les courants d'air qui autrement s'établissent dans la bombonne altèrent profondément le mode d'oscillation du pendule^ J'insiste formellement sur cette remarque.

Le lecteur l'aura compris dès l'abord, c'est par l'observation rigoureuse du mode d'oscillation du pendule que j'ai déterminé les variations et la grandeur de la résistance du gaz contenu dans la bombonne. Pour faire osciller le ;pepdule, il siiffit, on l'aura compris aussi, de faire aller alternativement dan§ un sens et dans l'autre le coude du tube de cristal à la branche verticale

duquel est allaché le fil de suspension ; mais la question était d^arriver Ici à un mode d'expérimentation régulier, donnant des résukats rapides et précis, et n'exigeant que dans la moindre proporlion possible Femploi de l'analyse maihémalique qui, au cas particulier, est des plus compliquées, quoiqu'aussi des plus intéressantes et des plus rigoureuses. La méthode à laquelle je me suis arrêté est, je puis le dire, une véritable Irouvailk^ au point de vue expérimenlah

Loin d'être variable et arbitraire, la course de la tige horizontale de cristal est constante et limitée. Dans ce but, à celle tige qui, autrement, serait lourde et fragile si elle était trop longue, se trouve liée solidement une baguette de bois, légère et résistante, d'environ 0'",85 de longueur, dont l'extrémité libre repose sur une glissière horizontale munie à ses deux bouts d'arrêts verticaux contre lesquels vient butter la baguette. Par cette disposition, cette baguette, ou levier moteur, décrit, en allant d'un arrêt à l'autre un certain angle constant et connu, que, par abréviation, j'appellerai angle moteur : on va voir à l'instant la convenance de celte dénomination. Supposons le levier appuyé à l'un des arrêts, et le balancier ou pendule en repos ; pour faciliter ma description, je suppose (ce qui est d'ailleurs fort inutile) que le levier et le pendule, en repos, se trouvent dans un même plan vertical. Poussons vivement le levier moteur contre l'arrêt opposé. Par suite de la torsion du fil de suspension qui résulte de là, le pendule va se mettre en mouvement, décrire avec une vitesse croissante un angle égal à l'angle moteur, franchir cette limite en vertu de l'impulsion acquise, perdre graduellement sa vitesse et s'arrêter, pour revenir sur ses pas, par suite de la torsion en sens inverse qu'a reçue le fil de suspen^on. A ce moment précis, ramenons vivement le levier moteur à son arrêt initial. La torsion du fil d'acier va être plus grande cette fois que la première; elle aura pour mesure angulaire la somme de l'angle moteur et de l'angle qu'avait décrit le pendule en vertu de l'impulsion acquise. La vitesse maxima qu'acquerra le pendule par la délorsion du fil sera donc plus grande que précédemment et l'angle décrit par suite de l'impulsion acquise sera par conséquent plus grand aussi. En répétant ce mouvement rapide de va-et-vient du kvier moteur à chaque fois que le pendule arrive à l'extrémité de sa course, on fera amsi croître de phts

en plus TaDgle total décrit^ ou Tamplitude des oscillations. Il est visible que cet accroissement continuerait indéûniment : 1^ si Télasticité du iil d'acier était parfaite ; S"" et si la résistance du gaz n'existait pas. Je montrerai de suite que le défaut d'élasticité parfaite de Tacier n'entre que pour peu de chose dans la question. C'est donc la résistance du gaz exclusivement qui s'oppose à l'accroissement indéGni de l'amplitude des oscillations ; grâce à cette résistance^ en effets l'amplitude arrive très rapidement à une valeur parfaitement constante; d'où il suit que l'amplitude des oscillations peut servir à trouver la valeur de la résistance. En alignant l'œil avec la direction du pendule arrivé à l'extrémité de ses courses, on lisait facilement et exactement l'amplitude de l'oscillation sur une bande de papier sous-divisée fixée à J'équaleur de la bombonne. Avant de donner l'analyse mathématique du phénomène dans son développement complet j*e présente quelques remarques faciles à saisir^ et essentielles.

Il est clair en tout premier lieu que pour que l'amplitude maxima des oscillations restât rigoureusement invariable, il faudrait, absolument parlant, que pendant l'instant infiniment petit où le pendule s'arrête a l'extrémité de sa cou^rse, le levier moteur fût amené imtantanément aussi d'un de ses arrêts à l'autre. Il va de soi que cette condition ne peut être remplie telle quelle. Il est, d'une part, impossible de saisir de l'œil l'instant où le pendule s'arrête pour rebrousser chemin ; et d'autre part, il est impossible aussi de faire passer instantanément le levier moteur d'un arrêt à l'autre. Toutefois cela est fort heureusement inutile. Je me suis assuré dès l'abord, en altérant et exagérant à dessein les fautçs commises contre ces deux conditions, que l'altération de l'amplitude des oscillations est renfermée dans des limitçs très rapprochées. L'amplitude des oscillations étant, par exemple, de 360 degrés, j'étais arrivé, par l'exercice, à faire passer le levier moteur d'un arrêt à l'autre pendant que le pendule décrivait tout au plus les cinq premiers ou les cinq derniers degrés de sa course totale. Telle était l'exactitude moyenne de l'expérience; mais avec beaucoup d'attention, j'ai pu la pousser bien plus loin, à faire aller le levier moteur d'une extrémité à l'autre de sa course avant que le pendule arrivé au repos ait bougé d'une façon appréciable à l'œil le plus exercé. Ce surcroit de précision ne modifiait pas d'une façon visible l'amplitude maxima.

La difficulté prjDcipalé était bien plutôt de lire correctement Tàmplitude réelle sur les divisions de Péqualeur de la bombonne que de remplir les deux conditions théoriques indiquées.

Je passe à une autre remarque des plus intéressantes et dont la vérité saute aux yeux. Il est clair que^ pour tordre périodiquement le fil de suspension du pendule en amenant le levier moteur d^un de ses arrêts à Taulre^ nous sommes obligés de dépenser une certaine somme de travail mécanique des plus facifes à évaluer comme nous verrons dé suite. D'un autre côté^ la résistance du gaz, qui s'oppose au mouvement du pendule et qui limite sa course, donne aussi lieu à un travail mécanique. Cela posé, il est évident par soimême -: que quand Famplitude des oscillations est devenue constante, il y a égalité parfaite entre le travail dépensé par le levier moteur et le travail engendré par la résistance du gaz; ou pour parler d'une façon plus précise encore : que l'amplitude des oscillations ne peut être constante que quand l'égalité de ces deux travaux mécaniques est atteinte.

Cette proposition si claire relie, comme on voit, notre manière d'expérimenter au grand et si fécond principe de Féquîvalence des forces. Elle va jeter une clarté remarquable sur l'analyse mathématique de l'ensemble des phénomènes en jeu dans notre expérience.

Pour donner à cette analyse la forme la plus facilement saisissable, je vais du simple au complexe; je commence par supposer nulle la résistance du gaz, ou pour mieux dire, je suppose la bombonne absolument vide. La seule force motrice en action ici c'est celle qui résulte de là torsion du fil d'acier. ,

. Désignons par E l'effort exercé à l'extrémité du pendule, lorsque nous avons fait faire un angle &a Qiesuré à partir de sa position initiale de repos; supposons cet effort en général proportionnel à l'angle de torsion (nous verrons tout à l'heure que cette supposition est correcte). Il vient ainsi pour un angle quelconque d

L'expression de la force accélératrice qui fera mouvoir le pendule, aban-

en: fonction de la température. 31

donné à lui-même âpres qu'on lui a fait décrire un angle &, sera (R étant le rayon et 6 Tangle décrit à chaque instant)

Le poids du pendule étant P^ il est facile de démontrer que pour la forme rectangulaire on a : ft — 3-, d'où

c'est-à-dire que Taccéléralion a lieu comme si le tiers de la masse totale du pendule se trouvait rapportée à l'extrémité du rayon. En multipliant par 2Rrfff et en intégrant de ff = 9 à e — e, il vient

-rr=-^(20O — 0*).

La vitesse maxima du pendule répond naturellement à 9 « 8. Si nous intégrons encore une fois^ pour avoir la relation des angles décrits avec le .temps ^ il vient :

/-^?— = arc (sin =^ ^ t \/gî.

En prenant Tintégrale de =» à 9 => 6, on a

C'est la durée d^une dcmi-oscillalion. I^ durée d'une oscillation entière est donc

. /PRe.

On voit qu'elle est indépendante de Pamplilude. Ce fait se vérifie, en effet

presque rigoureusement, et, chose remarquable, aussi bien dans les gaz les plus denses que dans le vide. Je reviendrai plus loin sur cette question, qui est très importante. Il résulte de là que la loi

est correcte, car c'est la seule qui donne Tisocbronisme parfait, indépendant de Tamplilude.

On sait que c'est Coulomb qui, le premier, a montré Texaclitude de cette loi d'élasticité, ainsi que Fisochronisme qui en est la conséquence, notamment en ce qui concerne les fils métalliques très fins employés par lui dans la construction de son admirable balance de torsion. Plusieurs observateurs, après Coulomb, ont vérifié celle loi. Je Fai étendue à la flexion et à la torsion des immenses pièces de fonte et d'acier, employées en industrie dans la construction des machines à vapeur et des arbres de transmission, et c'est par ces recherches que je suis arrivé à la construction des pandynamomètres de flexion et de torsion.

Abordons maintenant le problème dans sa généralité; au lieu de faire l'expérience dans le vide, faisons-la dans un gaz dont la résistance est po pour l'unité de vitesse et pour l'unité de surface. Supposons, comme cela est du moins très approximativement vrai, que la résistance soit proportionnelle au carré des vitesses, et que l'on ait par conséquent

pour une vitesse quelconque v. Au lieu de faire entrer dans nos équations des vitesses angulaires et des angles parcourus, j'y introduis, pour plus de commodité, des vitesses absolues et des espaces linéaires parcourus par l'extrémité du pendule. Il suflit visiblement pour cela d'écrire

do dt

Il est facile de voir qu'avec la loi de résistance admise et avec un pendule

reclangulaire^ la résistance du gaz, rapporlée à Texlrémilé du rayon R, est le tiers de celle qu'éprouverait le pendule, si sa surface entière était frappée avec la vitesse v. Supposons qu'on ait écarté le pendule d'une longueur Xo de sa position de repos, du plan neutre. Désignons par x l'espace parcouru mesuré à partir de ce point.

L'expr^sioQ de la force accélératrice totale qui est ici en action est