I . dx .d*a? dv . •, d*a? vdv «i :^

en se rappelant que-^ = i>, el^ = ^ et que par suile ^ ==" ^j, »« vient

Pour séparer les variables dans cette équation , je pose Il vient ainsi

avdv = — z[dz -*- 2bvdv);

équation dont l'intégrale est Remettant à la place de 2^ sa valeur ci-dessus et simplifiant, on a

0«1 -|.26(Xo — x) — log[^H-a(Xg — or)- 6i?'j -h c.

Pour déterminer la constante, remarquons qu'on a v = 0, quand a? = 0, d'où :

1 = 1 H.26Xo-logf^-f-aXo)-

D'où Ton tire, en résolvant par rapport à v^ en réduisant et désignant par e la base des logarithmes népériens :

En remellant à la place de a et de 6 leurs valeurs^ et ^, il vient enfin

Avant de discuter cette équation et de la mettre en relation avec une autre 1res importante, je fais de suite remarquer qu'elle ne renferme d'inconnues que E et po. D'après les nombres que j'ai indiqués dans la description même de l'expérience^ on a en effet

Admettant g •= Q^^^SOSS, il vient toute réduction faite

v» = 136,0407 4 [(i -^ 2,06095 poXo) li - ^^ \ - 28,06095 ^\ , OU

V « \/t5C,0407 -^^ \/l{\ -H 2,0609S poX«) l^i - ^^J^^^ J - 2,06098 ^A

De plus^ la valeur de E est, dans chaque cas^ très facile à déterminer. Puisqu'on a, dans le^ gaz, comme dans le vide^ des oscillations de même durée totale, et que celte durée a pour valeur

V ZgE il vient :

OU plus simplement encore, pour R©a=i :

La valeur particulière de Félasticilé du fil est donc facile à connaître. Toutefois^ je montrerai bientôt comment on peut Téliminer elle-même des équations.

L'équation (y^) donne naturellement et par sa construction même : v^O, pourX'^^O. La valeur maxima de v ne répond pas^ comme on pourrait le croire et comme il en arrive réellement dans le vide, à j? = Xo, c'est-à-dire au moment où le pendule passe par le plan neutre, où le fil est complètement délordu. En différenliant Péquation et posant ^ » 0^ on trouve pour la valeur de x qui répond au maximum de vitesse

« = ^log(1-*.26Xo),

valeur nécessairement plus petite que Xo. 11 n'est pas inutile de montrer en passant, que le simple raisonnement conduit à ce résultat général, sans aucune analyse. Il est clair en eiïet que la vitesse angulaire du pendule ne peut croître que jusqu'au moment précis où la résistance du gaz est devenue égale à refibrt de délorsion exercé par le 01 de suspension , et ce moment précède nécessairement très notablement celui où le pendule traverse le plan neutre. Après ce moment, la vitesse ne peut plus que diminuer. La vitesse, disons-nous, est nulle quand x^O; mpis elle Test aussi quand le pendule arrive au bout de son oscillation, quand il a décrit un arc dont la valeur est la somme de celui qui précède et de celui qui suit le passage au plan neutre. Désignons cet arc-somme par X^. La manière même de conduire Texpérience nous donne, et sous une forme très intéressante au point de vue mécanique, la grandeur relative de ces deux arcs. Désignons par Xi Parc décrit par impulsion, après que le pendule a franchi le plan neutre; au moment où le balancier arrive au bout de son excursion, le levier moteur est poussé vivement d'un de ses arrêts à l'autre : il décrit l'angle moteur X;„ avant que le pendule ail commencé sa nouvelle excursion. Le résultat mécanique et géométrique est donc absolument le même que si au moment où le pendule s'arrête, nous le faisions encore reculer d'un arc X;„ , pour l'abandonner ensuite à lui-même. L'arc X^ est donc formé de deux parties inégales, dont l'une a pour valeur X, et l'autre X^ + X,; il est en un mot X, = X^ + 2Xi.

La détermination de la durée des oscillations^ comme celle de la raison pour laquelle les oscillations complètes ont presque la même durée dans les gaz que dans le vide, présente le plus grand intérêt; mais je n'ai pas à m'y arrêter ici, parce que par notre manière de conduire les expériences, «lies sont rendues inutiles toutes les deux. Ceux de mes lecteurs, que cette question intéresse, la trouveront, ou pour mieux dire, Font déjà trouvée aditiirablement traitée dans la Mécanique de Poisson (2® édit., U I, p. 349 et suiv.). En étudiant la loi des oscillations du pendule ordinaire dans Pair, le grand géomètre donne la forme du phénomène, pour le cas d'oscillations supposées très petites; et par une circonstance heureuse, il se trouve que son analyse convient aussi au cas des oscillations, très grandes, de notre pendule commandé par un fil élastique au lieu de Fétre par la gravité.

Poisson montre fort bien que, quand le pendule est abandonné à lui-même, la course descendante est plus étendue, et plus longue en durée, que la course ascendante, et que c'est là ce qui explique l'isocbronisme des oscillations entières. En ce qui concerne notre pendule à très grandes oscillations horizontales, cette inégalité entre ce qu'on peut appeler la course positive et la course négative, est en quelque sorte rendue palpable par la relation

X, ^Xj|H-X«j Xp = X»-*- Xa,

et nous fait comprendre comment ici aussi les oscillations peuvent rester sensiblement égales entre elles, malgré la résistance des gaz. Je dis sensiblement : l'isocbronisme en effet n'est qu'approximatif, quand la différence entre les amplitudes est très grande. Ainsi dans une expérience que je citerai, l'amplitude étant de 10'' environ, la durée s'élevait à 2'^',25; quand l'amplitude était portée à 540^, la durée devenait 2***-,36.

J'en arrive à la partie, je puis le dire sans vanité, la plus originale de mon analyse. Les résultats tout particuliers que je vais signaler, confirment à la fois et l'exactitude des équations et celle de la méthode expérimentale.

J'ai dit que les oscillations de notre pendule ne peuvent devenir d'amplitude constante que quand il y a égalité entre le travail mécanique représenté par le mouvement du levier moteur et celui qu'engendre la résistance des

gaz au mouvement du pendule. Déterminons l'expression mathématique de ^es deux genres de travaux :

1^ Nous disons que quand le pendule est arrivé à Textrémité d'une oscillation, le levier moteur est poussé vivement d'un arrêt à l'autre et décrit l'arc moteur X^. Le travail élémentaire ainsi dépensé est

(//•«= Exdx,

E étant toujours l'effort exercé à l'extrémité du pendule pour un arc X » 1. L'intégrale

f^/Exdx^^Ex" -h c

doit être prise enire X, et X| + X^. Mais d'après ce qui a été dit, X, = Xo— X^ et X, = Xo+Xi. Il vient donc

/•=iE(XÎ-XÎ)=»iE(Xo-X.)(Xo^.X.) = iEX^X..

2"^ Occupons-nous maintenant du travail du à la résistance qu'exerce le gaz sur le pendule.

L'effort exercé pour une vitesse v étant ^ r^, si nous le rapportons à Textrémitédu rayon R, il en résulte pour le travail élémentaire

d'où

rP E //,^2jSp \ /^^J \ 1/Sp X

Celle intégrale devanl êlre prise pour une oscilialion enlière, c'est-.^-dire entre les deux points où v = 0, nous devons poser a? == el a? =X,. D'où

Nous avons dit que les deux travaux mécaniques feX f* doivent être égaux pour la constance de Pampliiude des oscillations. Il en résulte^ en réduisant^

ou en remarquant que Xo =» ^ + ^^ ^* simplifiant encore davantage

On voit que la valeur E a disparu de cette égalité; ce qui nous apprend que Tamplitude est absolument indépendante de la force du fil de suspension du pendule. Ce résultat de l'analyse m'a^ je Pavoue, semblé tellement étrange au premier abords que j^ai mis en doute l'exactitude de la marche suivie par moi pour la mise en équation du problème et que je me suis hâté de vérifier le fait expérimentalement. Or^ bien loin de recevoir un démenti de cette épreuve, l'exactitude des équations en a reçu la plus pleine confirmation. A un fil d'acier qui faisait faire au pendule des oscillations dont la durée s'élevait à 4'*%38, j'en ai substitué un beaucoup plus faible, donnant des oscillations de 12 secondes. La condition expresse X;„=-const. étant remplie, l'amplitude totale des oscillations na pas varié d'une façon appréciable; elle s'est maintenue à 1"*,662, le baromètre étant resté constant pendant l'expérience. Ainsi, pour un même pendule, l'amplitude des oscillations ne dépend que de la valeur de la résistance du gaz de la bombonne et de la grandeur

de X^i — J'ai dit : le baromètre étant resté constant La bombonne étant

en rapport avec l'air externe et pleine d'air elle-même, il est visible que la densité et par suite la résistance de l'air au mouvement du pendule dépendent, entre autres, de la hauteur barométrique. Ceci m'amène à donner la mesure de la sensibilité extrême de notre appareil : à température constante, des variations barométriques de 0'",005 modifiaient très nettement l'amplitude de l'oscillation ou la valeur de X^.

Je cite maintenant les expériences les plus caractéristiques, que j'ai faites avec l'appareil qui vient d'être décrit et analysé.

ta

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eu

R f. fe f. S 4; £ S

a** ei "^ c^ af <N a* s

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Il g y il 11 II L

BAIXOM BEMPIil D'ACIDE CABBOMIQVl! SEC.

7« Expérience. 8« Expérience.

$ = const

BAIXOM BEMPIil D'HYDBOGEIVE SEC.

p =0",7363 T =U%4 ê =0\0825 0„=25%57MO" X^«0»,09 e, «732%42' X, =2-,569 T =:4**',44

Les conséquences qui découlent des expériences précédentes sont nettes et caractéristiques; les unes sautent en quelque sorte aux yeux; d^autres nécessitent une discussion attentive.

L — La seule inspection de Péquation

nous montre que^ toutes choses restant les mêmes ^ Tamplitude des oscillations du pendule est exclusivement Tonction de la résistance du gaz contenu dans le ballon; mais indépendamment de toute équation^ de toute analyse

malhémalique^ ce fait devienl d'ailleurs évident par la manière même dont Texpérience est conduite.

IL — Nous voyons qu'à densité constante les variations de la température n'ont absolument aucune influence sur Tamplitude des oscillations; elles n!en ont donc aucune non plus sur la résistance des gaz. D'où il suit :

Que la résistance des gaz n'est point une fonction immédiate de température.

C'est là le fait capital qu'il s'agissait de constater. Il ressorl^déjà approximativement des trois premières espèces d'expériences que j'ai relatées ; mais les dernières expériences effacent jusqu'au moindre doute qui pourrait nous rester.

IIL — Deux questions se présentent d'elles-mêmes à l'esprit. La résistance des gaz est une fonction de leur densité : mais quelle est la forme de cette fonction? La résistance est-elle, pour un même gaz^ proportionnelle à la densité? Est-elle surtout proporlionnelle aux seules densités, lorsqu'on passe d'un gaz à un autre? Nos expériences nous permettent de trouver une réponse des plus satisfaisantes à ces questions.

En remplaçant dans notre équation ci-dessus, g^ P, X,„, S, par leurs valeurs respectives O-^'^SOSS, 0^"-,10185, 0™,09, O-'^OIO?, et en exécutant tous les calculs numériques et les réductions possibles, nous avons

X. IX, + 0,09) = [~^, H- 0,18 -4- X.J (X, - ' (1 - e-^^Po^')l

Par rapport à X^ comme par rapport* à />o, cette équation ne peut être résolue que par tâtonnements; mais avec l'arithmomètre Thomas et les tables de logarithmes, on arrive beaucoup plus vite qu'on ne le penserait à l'une ou à l'autre de ces deux variables. X^ étant donné expérimentalement avec une exactitude plus que suffisante, cest tout naturellement po que j'ai d'abord cherché à déterminer. En prenant pour point de départ la première expérience, et en posant X, =» 1"",662, on a

2,911824= [^ -^ 1,842] (1,662 - -^^Tllf (i „ e^^^^Po)].

Il est visible que si Ton donne à /oo la valeur convenable^ on doit trouver Tégalilé entre le premier et le second membre de cette équation; et c'est en effet à quoi Ton arrive (à fort peu près) en prenant po = O^'^jOSl 5. Cette valeur est un peu plus faible que celle (O^^'^l) qu'on admet pour la pression eiercée par Pair animé d'une vilesse de 1™" sur une surface d'un mètre carré.

Prenons maintenant la cinquième expérience^ où la densité de l'air a été portée à 1^%463 et dans laquelle Tamplitude totale était X^=l'">515. L'équation devient par là

,.43,575 = (^ -*- i.69») (l.5,5-2:lH?îl(, e-M«.^,).

Supposons Po proportionnel à la densité de l'air; il vient ainsi />o<=» 0^08 15 |^= 0,0996. En introduisant cette valeur dans le second membre de l'équation, on trouve 2,43633 au lieu de 2,431575. La différence 0,0047 est minime si l'on a égard aux difficultés et aux erreurs possibles des expériences. La résistance d'un même gaz est donc bien réellement proportionnelle à la densité.

Si nous procédons de même avec les éléments fournis par la septième expérience, celle où le ballon était plein d'acide carbonique; en d'autres termes, si nous supposons, pour l'acide carbonique jOo = 0,0815. |^'=0,12344, et si nous introduisons dans notre équation ces valeurs \, = 1,327 et ^^ = 0,12344, nous trouvons encore une presque-égalité entre le premier membre et le second, ce qui prouve que cette valeur de p^ est convenable. D'où il suit :

Que métne pour deux gaz différents^ la résistance est à fort peu près proportionnelle à la seule densité.

Je n'ai pas jugé utile d'étendre cette méthode de calcul aux résultats donnés par l'hydrogène. La substitution de ce gaz à l'air du ballon revenait de fait à raréfier l'air à un quatorzième de sa densité primitive, en réduisant sa pression de 0,74 à 0,053. L'amplitude des oscillations s'est ainsi trouvée portée à plus de deux circonférences complètes, et j'ai lieu de soupçonner

que le fil de suspension a élé de la sorte poussé au delà des limites de son élasticité. C'est je pense ce qui explique Taccroissemenl assez notable de la durée des oscillations. (4*^ ,44 au lieu de 4**'-,36 à 4*'" ,38.)

Pour ne rien négliger de ce qui peut jeter de la lumière sur la queslion si importante qui nous occupe, j'ai modifié profondément Tappareil qui vient de nous servir et la manière de l'employer. C'est ce que je vais montrer sous la forme la plus concise et la plus claire :

1® A la bombonne sphérique,j'ai substitué une cage de verre cubique de 0'",43 de côté. La masse d'air heurtée par le pendule était ainsi beaucoup plus contrariée dans ses mouvements, plus tourmentée, qu'elle ne l'était dans un ballon sphérique.

2® Au pendule en verre, j'en ai substitué un de cuivre, de 0"',36 de longueur et de 0™,1995 de largeur; la surface était 0^^,07182 au lieu de 0^2,0107; le poids de 0''"',6047 au lieu de 0''"-,10185.

3<* Au fil d'acier très fin, donnant des oscillations de 4"^, 36 de durée, j'en ai substitué un, d'acier aussi, mais beaucoup plus fort, donnant des oscillations de 2''* ,36 seulement.

4"^ Enfin, au lieu d'opérer à densités constantes, j'en suis revenu à opérer à pressions constantes, et par suite, à densités variables avec la température, parce que les parois planes de la cage n'eussent pas supporté des excès de pression (interne ou externe) de 0™,05 de mercure, comme ceux auxquels donne lieu une variation de plus de 60'', à volume constant.

Je n'ai pas besoin d'insister pour faire voir que les modifications précédentes constituent un changement radical. Je ne citerai que trois des expériences nombreuses que j'ai faites avec ce nouvel appareil : elles sont caractéristiques.

Si, dans notre équation générale ci-dessus, nous substituons les éléments numériques fournis par le nouvel appareil, elle devient

X, étant toujours Tespace total parcouru par rextrémîté du pendule, X^ Tespace répondant à langle moteur et p la résistance de Taîr par mètre carré pour Tunîté de vitesse ou 1"» par seconde. Cela posé :

i""® EXPÉRIENCE :

Pression barométrique 0™,744, température de Tair 1A**,8, densité déduite

L'angle moteur étant de 45*^ et par suite X^ «= 0",1A44, Famplitude totale devient e, == 546^, d'où X, «= l",7i61. En introduisant ces valeurs dans Téqualion, on en tire, pour la valeur de /), 0*"" ,098.