SUR
LES SU l{ PAGES COURBES,
Par m. V.-V. C41JMS.
Les recherches dans lesquelles un s'occupe des directions de diverses droites dans l'espace atteignent la plupart du temps un très-haut degré de clarté et de simplicité, quand on recourt à l'emploi d'une surface sphérique décrite avec un rayon = 1 autour d'un centre arbitraire, et dont tous les points sont censés représenter les directions de droites parallèles aux rayons terminés k ces points. Et comme la position de tous les points dans l'espace se détermine par trois coordonnées, qui sont les distances à trois plans fixes perpendiculaires entre eux, il faut considérer avant tout les directions des axes per|)endiciilaires à ces plans ; nous noierons ainsi (t), (a), (3), les points de la surface sphérique qui représentent ces directions : il est clair que la distance de ces points, deux à deux, sera un quart de cercle. Nous supposerons d'ailleurs que les directions dont il s'agit sont celles qui se rapportent aux coordonnées positives.
Il lie .sera pas iiiiilile île ra[»[icler ici eerlaiiies ]iiii[i(isili(iiis qui soiil d'un usage fréquent dans les (jueslioiis de ce genre.
I. L'angle de deux droites qui se e(ju[)ent a pour mesure l'arc, compris entre les points quicorrespoiidenlà leur direction, sur la surface sphérique.
i. L'orientation d'un plan donné dans l'espace |ieut être représentée par un grand cercle de la surface sphérique doiil le plan serait parallèle au plan donné.
3. L'angle de deux plans est équivaleni à l'angle sphérique compris entre les grands cercles ipii les représentent, et a, par conséquent, aussi pour mesure l'arc compris entre les pôles de ces grands cercles. Kt de là il suit que l'inclinaison d'une droile sur un plan est mesurée par l'arc de grand cercle mené normalement du point (lui correspond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente l'orientation du plan.
i. Soient x, y, :, x', y', :', les coordonnées de deux points, r leur distance, et L le point qui, sur la surface sphérique, représente la direction de la droile menée du premier point au second, on aura
x' = X -{- r cos (1) L,
y' = y + >' cos (2] L, • ■
-' = :-\- r cos (3) L.
o. De la il résulte immédiatement qu'on a généralement,
cos- (1 ) L + cos^ (21 L + cos- (3) L = 1 ,
et aussi, en considérant un aulre point quelconque L' sur la surface sphérique,
cos (1) L.cos (DL' + cos [i] L. cos (2) L +cos (3) L. cos (3) L == cos LL'. (). Théorème. Soient L, L', L , L ", (/uatrc poinlssiif la surface sphé-
rique, et A l'angle que les arcs de grand cercle U.\ I/F/" formrnl eu leur point d'intersection, on a^ira
cos LL". cos h'L' — cos Ll/ '. cos L'L" = sin LL'. sin l/'(,'". cos A.
Démonstration. Appelons aussi A le point ilintersection hii-mênie, et soit posé
Ah = t, Ai;==r. AL" = r', Ai;'=r';
Nous aurons (*)
cos LL" = cos t. cos /" + sin t. sin /" cos A, cos LL" = cos t' cos /" + sin t' sin l'" cos A, cos LL" = cos t cos t'" -r sin t sin t'" cos A, cos L'L" = cos t' cos r' + ^i" ' •'^''> ' ''Os A ;
et par suile
cos LL". cos L'L"' — cos LL". cos L'L"
[ cos t cos / " sin t' sin t'" = cos A + cos /' cos t'" sin t sin t" — cos t cos /'" sin t' sin /"
[ — cos /' cos / " sin t sin t'" = cos A (cos t sin t' — sin t cos i') (cos t" sin «'" — sin t" cos ï'") = cos A. sin [f — t}. sin [t'" — t") = cos A. sin LL'. sin L'L"'.
Du reste, comme il y a i)onr chaque grand cercle deux branches partant du peint \, ces deux branches forment en ce point deux angles dont la somme est 180° ; mais notre analyse montre qu'il faut adopter les branches qui correspondent au sens des directions LL' et L'L'", et comme les deux grands cercles se coupent en deux points, on voit aisément qu'il est iudilïérenl de choisir l'un ou l'autre de ces points. On peut aussi, à la place de l'angle A, employer l'arc compris entre les pôles des grands cercles dont les arcs LL', L "L " font partie ; mais il est clair que ces pôles doivent avoir
(*) Par la formule bien connue qui lie, dans un triangle sph(Tiqne, l'un de? trois angles aux trois côtés du triangle — E. 15.
lespt.'clivemenl la même silualion par lapport à leurs arcs, c'esl-k-dire que, peiidanl qu'on inarche de l> vers I.' nu de L" vers I." , cliamn des deux pôles doil t"'lre du même côté, soit à droite, soit ii gauche.
7. Soient L, 1/, L' trois points sur la surface sphériqup, et posons, pour abréger,
cos (1) L =j-,
cos {i] I,
cos es) i = z.
cos (1) L' =,r'.
cos (i) j;
cos (3) i; = r'
cos (1) I/' = .r".
cos (2) \:
cos (31 l = :r"
posons aussi
XII z" + j-' /y" r + J-" //;■ — .ry' z' — x yz" — x" y' z= ^.
Désignons par / l'un des pôles du grand cercle dont l'arc LL fait partie, celui qui se trouve, par rapport à cet arc, placé comme le point (1) l'est par rapport à l'arc i-î) (3). ^'ous aurons alors, d'après le théorème précédent,
yz' -- y' r = cos (1)/.. sin (2) (3). sin l.l/,
ou, à cause de (2) (3) =!)0",
//;' — //'; = ces (1) /.. sin LL', et de même
2J-' — 2' 3" =. cos (2) /. sin LL', xy' — x y = cos (3] /. siu LL'.
Multipliant ces équations respectivement par x" y" z", et ajoutant, nous obtenons, au moyen du second des théorèmes rappelés au n'5,
A = cos / L". sin LL'.
Ici il y a trois cas k distinguer. Pi'emièrcmenl, lorsque L' se trouve sur le grand cercle dont l'arc LL fait partie, on a >. L" = 90'', et par suite ^ = 0. Si L" se trouve en dehors de ce grand cercle, le deuxième cas sera celui où L" est du même côté que/, et le troisième cehn où L'est du côté opposé: dans ces deux cas, les points L, L', L" formeront un triangle sphérique ; leur disposition sera analogue à celle des points (1), (2), (3) dans le second cas, inverse dans le troisième. Appelant simplement L, L', L", les an-
gles (le ce triangle, p la peipeinliculaii'c.inenoe sur la surface sphérique ilii point I, " sur le côté LL', on aura
sin 1) = sin L. sin LL" = sin L'. sin L'L", el / L" = 90° + p,
le signe supérieur se rapportant au second cas, le signe inférieur au Iroisième. De là nous concluons
-f ^ = sin L. sin LL'. sin LL" = sin L'. sin LL'. sin L'L"
= sin L' . sin LL". sin L'L".
Du reste il est clair que le premier cas peut être regardé coiiiine compris dans le second ou le troisième, el l'on jieut voir sans peine que l'expression ± A représente le sextuple du volume de la pyramide formée par les points L, L', L" et le centre de la sphère, et que, semblablement, 4- A représente, en général, le volume d'une pyramide quelconque comprise entre l'origine des coordonnées el les points dont les coordonnées sont x, y, z ; x',y',z'\ .i",y", z".
On dit qu'une surface courbejouit d'une courbure continue autour d'un de ses points A, si les direrlions de toutes les droites qu'on peut mener de ce point à tous les points de la surface infmiment peu distants s'éloignent infiniment peu d'un seul et même plan passant par le point A ; ce plan est alors ce qu'on appelle le plan tangent à la surface au point A. Que si cette condition ne peut être remplie, pour un point donné, la continuité de la ■"■surface est interrompue en ce point, comme cela a lieu, par exemple, pour le sommet d'un cône. Les présentes reciierches seront restreintes à des surfaces ou à des portions de surface telles que la continuité de la courbure ne soit interrompue en aucun point. Nous ferons seulement observer ici que les méthodes qui servent à déterminer la position du plan tangent ne s'appliquent pas aux points singuliers dans lesquels la continuité de la courbure est interrompue, et doivent conduire à des solutions indéterminées.
La posilion du plan langent peut être tiés-coaiinodémenl représentée au nioven de la posilion de la droite qui lui est normale au [>oint A, droite qu'on dit aussi être normale à la surface elle-même. Nous représenterons la direction de celte normale par un point L de la surface spliérique auxiliaire, et nous poserons
cos ( I ) I, = X, cos (2) L = V, cos (31 L = Z ;
nous désignerons les coordonnées du point A par r , y, z. Soient, en outre, x-\-dx, y -\-dy, r + d:les coordonnées d'un autre point A' sur la surface courbe, ds la distance infiniment petite AA'; soit enlin / le point qui, sur la surface spliérique, représente la direction de l'élément AA'. On aura
(/,/• = ds. cos (1) /., dy — ds. cos [i] /., dz = ds. cos i 3) À,
et aussi, puisque l'on doit avoir / L = IKi",
X cos (1) /. -f Y cos (21 / 4- Z cos (3) >. = 0.
La combinaison de ces éipiations nous donne
H y a deu.x méthodes générales pour l'élude des propriétés d'une surface courbe. Dans la premUre, on se sert de l'équation entre les coordonnées x, y, z, (|ue nous supposerons ramenée à la forme \V = (I, ou W sera foiiclion des indéterminées x, y, z. Soit la difl'érentielle complète de la fonclion W,
dW = P (/./■ + 0 '/,'/ + ^dz; on aura, sur la surface courbe,
Vdx^O dy-}-Rdz = {), et, par suite,
p . cos (I) / + 0 • t'os (2] À 4- R . cos (3) À = 0. Comme cette équation, ainsi que nous l'avons établi ci-dessus, doit avoir lieu pour les directions de tous les éléments ds sur la surface courbe, on
voit facilement (lue X, Y, Z, doivent être respectivement proportionnels k P, Q, R, et que, par suite, à cause de la condition X- + Y= + Z' = 1 , on aura, soit
soil
VP-+0*+R' l/P*+Q'+R' p/p=4-(»')R«
Dans la seconde méthode, on exprime les coordonnées en forme de fonctions de doux variables jj et 7. Supposons que par la difïérentiation de ces fonctions on ail
dx = a dp + a' dq,
dy = b dp + ''' dq,
dz = c dp + f dq\ par la substitution de ces valeurs dans une formule donnée ci-dessus, nous •obtenons
[a\ + b\ + cl]dp-{- {a' X + ^'Y + C Z) dq = 0.
Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment des valeurs des différentielles dp, dq, on aura évidemment
aX + ^Y + cZ = 0, ffl'X4-6'Y + ^'Z = 0;
d"où nous concluons que X, Y, Z doivent être respectivement proportionnels aux quantités
bc—cb, ra' — ac', ab—ba'.
Posant donc, pour abréger.
l-^[bc'—cby+{ca—acy-\-[ab'—bay=zA,
on aura, soit
bc' — cb' ca — ac' ab' — 6a'
A ' *- A ' •^- A ' soil
cb' — bc' ac' — ca ba' — ab'
A ces deux inélliodes générales se ratlaclie une tioisièinc méthode, dans latiuelle l'une des coordonnées, par exemple z, est exprimée en fonction (i.^s deux autres, ,r, y; cette méthode n'est évidemment autre chose qu'un cas particulier, soit de la pj'emièrc méthode, soit de la seconde. Oue si l'on pose
dz — liir + Il d;j,
on aura, soit
soit
iy\j^r-+u' i/1 + r+w' i/i + /'+M^
i-^]^r-j^ii-' i/.) + /=4»-^ iy\j^r-+u'
Les deux solutions qu'on a rencontrées dans le § précédent se rapportent évidemment à des points opposés de la surface sphérique, ou à des directions opposées, ce qui s'accorde avec la nature des choses, attendu que la normale à une surface courbe peut être menée dans un sens ou dans l'autre, suivant la face que l'on considère. Oue si l'on veut distinguer entre elles les deux faces contiguës d'une surface, et appeler l'une extérieure et l'autre intérieure, on pourra alors attribuer aussi à-^chaque normale la solution qui lui convient, à l'aide du théorème développé au § Il (7), où l'on a aussi établi un crUerium ou moyen de distinguer une face de l'aulie.
Dans la première méthode, ce critérium se lire du signe de la valeur de la quantité W. En elTet, généralement la surface W = o séparera les régions de l'espace pour lesquelles W prend une valeur positive de celles pour lesquelles W devient négatif. Du théorème que nous venons de rappeler on conclut dès lors facilement que, si W a une valeur positive du côté de la face extérieure et que l'on conçoive la normale comme menée
vers l'extérieur, il faudra adopter la première solution. Au reste, il sera facile, dans chaque cas, de décider si, pour la surface entière, la même règle doit s'appliquer eu égard au signe de W, ou si la règle à suivre doit changer d'une région de la surface à une autre région; la loi de continuilé ne permettra d'ailleurs aucun changement, aussi longtemps que les coefficients l\ Q, R auront des valeurs finies, ou ne s'évanouiront pas tous ensemble.
Si nous suivons la seconde méthode, nous pouvons concevoir sur la surface courbe deux systèmes de lignes courbes; l'un pour lequel ;j est variable, q constant ; l'autre [>our lequel q est variable, p conslani ; la position respective de ces deux lignes, par rapport à la face exlérienro, doit décider laquelle des deux solutions il faut adopter. C'est-;i-dire (|ue loutes les fois que les trois lignes suivantes, savoir, la branche de la ligne du premier système qui, à partir du point A, correspond à un accroissement de p, la branche de la ligne du second système qui, k partir du même point A, correspond à un accroissement de q, et la normale menée du côté de la face extérieure, toutes les fois, disons-nous, que ces trois lignes sont placées de la même manière que le sont eux-mêmes, à partir de l'origine des coordonnées, les axes x, y, z (par exemple si, pour l'un et l'autre de ces deux groupes de lignes, on peut concevoir la première ligne à gauche, la seconde à droite, la troisième en dessus), alors on doit adopter la première solution ; toutes les fois, au contraire, (jne la position respective des liois lignes sera à l'inverse de la position respective des axes .r, y, :, la seconde solution s'appliquera.
Dans la troisième mèthoile, il faudra examiner si, pendant que z reçoit un accroissement positif, ;f et y restant invarialdes, l'on s'avance du côté de la face extérieure ou de la face intérieure. Dans le premier cas, pour une normale dirigée extérieurement, on doit prendre la première solution ; dans l'autre cas, la seconde.
De même qu'en imaginant par le centre de notre sphère auxiliaire des droites respectivement parallèles à chacune des normales d'une surface
courbe, à chacjue poinl déterminé de la deuxième surface vient coriespondrc un point déterminé de la première; de la même manière, toute ligne on toute figure tracée sur la surface courbe sera représentée par une ligne ou une figure tracée sur la surface sphérique. Dans la comparaison des deux figures qui se correspondent ainsi, et dont l'une sera comme l'image de l'autre, on peut se placer k deux points de vue : on peut avoir égard seulement aux quantités; ou bien ne s'occuper que des relations de position, abstraction faite des relations de quantité.
Pour l'élude des relations de quantité, il nous paraît utile d'introduire, dans la théorie des surfaces courbes, quelques nnlioiis nouvelles. Etant donnée une portion de surface courbe, comprise dans un périmètre déterminé, nous dirons qu'elle a pour courbure totale ou intégrale l'aire de la figure qui lui correspond sur la surface s[iliérique auxiliaire. Il convient de ilislinguer, de celte courbure intégrale, la courbure en quelque sorte spécifique, que nous appellerons mesure de la courbure et signifie le quotient qu'on obtient en divisant la courbure intégrale de l'élément superficiel adjacent à ce poinl par l'aire de cet élément même, et indique conséquemmcnl le rapport des aires infiniment petites qui se correspondent sur la surface courbe et sur la surface sphérique. L'utilité de ces innovations ressortira sulVisamment, nous l'espérons, des considérations que nous aurons il exposer. Ouant à ce qui concerne la terminologie , nous avons pensé qu'avant tout nous devions nous atlaclior ;i éviter toute obscurité; c'est pourquoi nous n'avons pas cru devoir adopter une terminologie analogue à. celle qui est admise généralement (quoique critiquée par plusieurs géomètres) dans la théorie des courbes planes, suivant laquelle la mesure de la courbure aurait dû être appelée simplement courbure, et la courbure totale, amplitude. Mais pourquoi n'userait-on pas d'une certaine latitude, quant aux mots, pourvu que les choses elles-mêmes ne soient pas vides, et que le discours soit à l'abri de toute interprétation erronée?
La position de la figure tracée sur la surface sphérique peut être ou semblable ou opposée (inverse) à celle de la figure qui lui correspond sur la surface courbe; le premier cas a lieu lorsque deux lignes sur la surface
courbe parlant du même point et dans deux directions différentes, mais non opposées, sont représentées sur la surface sphérique par deux lignes placées semblableuient, c'est-ii-dire lorsque l'imai^e de la ligne située vers la droite est aussi à droite ; le second cas, lorsque c'est le contraire qui a lieu. Nous distinguerons ces deux cas par le signe positif ou négatif de la mesure de la courbure. Mais il est évident que celle distinction ne peut avoir lieu qu'en choisissant sur l'une et l'autre surface une face déterminée, sur laquelle on doit concevoir que la figure est tracée. Dans la surface spliérique auxiliaire, nous emploierons toujours, comme face extérieure, celle qui est tournée à l'opposé du centre; dans la surface courbe, on peut prendre pour face extéiieurc, soit celle qui est habituellement regardée comme étant réellement la face extérieure, soit plutôt la face même à partir de laquelle on élève la normale; il est évident, en effet, qu'on ne change rien à la simililude des ligures en transportant d'une face à l'autre et la (igurc tracée et la normale, pourvu que l'image de cette ligure soit toujours tracée sur la même face de la surface sphérique.
Le signe positif ou négatif dont nous affectons la mesure de la courbure d'une figure infiniment petite d'après la position de celle figure, nous retendons aussi à la courbure intégrale d'une figure finie sur la surface courbe. Toutefois, si nous voulions embrasser ce sujet dans toute sa généralité, certains éclaircissements seraient nécessaires ; nous nous contenterons ici de quelques courtes explications. Lorsqu'une figure tracée sur une surface courbe est telle ([u'à ciiacun des points qu'elle comprend il correspond, sur la sphère auxiliaire, des points dlfférenls, alors nulle ambiguïté. Mais si cette condition n'est pas remplie, il sera nécessaire de faire entrer deux ou plusieurs fois en ligne de compte certaines portions de la surface sphérique, et de là, suivant que la simililude sera dn-ecte ou inverse, des termes qui s'ajouteront ensemble ou se détruiront [lartiellcmenl. Ce qu'il y aura de plus simple, en pareil cas, sera d'imaginer qu'on ait divisé la ligure tracée sur la surface courbe en parties telles, que chacune d'elles, considérée isolément, satisfasse à la condition énoncée tout à l'heure, d'attribuer à chaque partie la courbure qui lui convient, courbure dont la grandeur sera
iloniiée par l'aire de la figure qui lui correspond sur la surface spliérique et donl le signe dépendra de la posilion même de la figure, et enlin de prendre pour la courbure totale de la figure entière la (juantité qu'on obtiendra en ajoulaiil ensemble les courbures intégrales correspondant à chacune (les parties de la ligure. De celle manière , la courbure intégrale d'une ligure sera généralement = fii.(h, ih reprèsenlant l'élément superficiel de la ligure, K la mesure de la courbure en chaque point. IlI quant à ce qui se rapporte à la représenlalion géoméirique de cette intégrale, les principales considérations qu'il y aurait lieu de présenter reviennent ;i ce qui suit. Le périmètre de la ligure tracée sur une surface courbe (sous la restriction indiquée au § III) correspondra toujours, sur la surface sphérique auxiliaire, il une ligue fermée. (Jne si celte ligne ne se coupe elle-même en aucun point, elle divisera la surface sphérique en deux parties, dont l'une correspondra à la figure tracée sur la surface courbe ; la courbure intégrale de la ligure sera donnée par l'aire de cette partie, cette aire étant positive ou négative suivant que, par rapport à son périmètre, elle aura une posilion semblable ou inverse à celle (|ue la figure a elle-même par rapport à son propre périmètre. Mais lorsque celte ligne se coupera elle-même une ou plusieurs fois, elle donnera une figure compliquée, à laquelle cependant on peut attribuer légilimemenl une aire déterminée, comme s'il s'agissait d'une figure sans nœuds; el cette aire, convenablement entendue, sera toujours la valeur exacle de la courbure intégrale. Au surplus, nous croyons devoir réserver |>onr une autre occasion des explications plus amplement développées, concernant les ligures envisagées au point de vue le plus général.
Cherchons maintenant une formule propre k exprimer la mesure de la courbure en cliatiue jiuint d'une surface courbe. Kn appelant (h l'aire d'un élément de celte surface, 'Ld'7 sera l'aire de la projection de cet élément sur le plan des coordonnées a- et y; et île même, si dï est l'aire de l'élément
correspondant sur la surface spliériquo auxiliairi;, 7aU sera l'aire de la projection de cet élément sphérique sur le même plan ; et il est manifeste que ces projections auront entre elles les mêmes relalions de grandeur et de position que les éléments eux-mêmes. Considérons mainlenan'. un élément triangulaire de la surface courbe, et supposons que les cnor(l()nn('es des trois points qui furmeiil la projeclion de cpi élément snni
x-\-dx,
n + dy.
V + '-^ïh
le double de l'aire de ce triangle sera exprimé par la formule
(/,/■ . 'jij — dy . 'If ,
expression positive ou négative, suivant que la position du côté qui se dirii,'e du premier point au troisième, comparée à celle du côté qui se dirige du premier point au second , est semblable ou inverse à la position de l'axe coordonné y par rapport à l'axe coordonné x.
De même, si les coordonnées des trois points qui forment la projection de l'élément correspondant sur la surface sphérique, comptées à partir du centre, sont
X + dX, Y-f'/V,
le double de l'aire de celte projection sera exprimé par
formule dont le signe s'établira d'après ce qui a été dit tout à l'heure. La mesure de la courbure sera donc, en ce point de la surface courbe,
(ZX.oY — rfY.o'X
dx . 'hj — dy .$x
Si maintenant nous sujtposons que la nature de la surface est définie
suivaiiL la Iroisième mélliode considérée dans le § IV, \ el V s'expiiiiieimil en l'onction des qnanlités x ci y, et nous aurons
P.ir la subslilulion de ces valeurs, l'expression précédente se change en celle-ci :
Id\\ (dX\(d^\ fd^\
En posant comme ci-dessus
dz__ ih
el en outre
'Ill~T -i!l-r "^L^-y d.e'^ ' d.rdi/'" ' ~dy'~ '
ce qui équivaut ii
(// = Trfx -f \]dy, dn = Vdr + \dy,
nous aurons, d'après des formules données précédemment,
\ = — tl, \ = — uZ, (|+r-fw'Z'=l,
et par suite
d\z=z — Zdt — td7., d\z= — Zdu — ?u/Z, ['\ + r+u'' dZ + Z [tdt+udii] = {),
ou bien
el (le là on liii'
(lZ = — 'L'itdt + tidu],
(l\=: — V (1 + M') dt 4- Z' tu du,
d\ = rtudt — ï'[\ + r-]du,
4^ = Z'[-[1+M')T4-/wU], dr
dy
[■n substiliianl ces valeurs dans l'expression précédente, il vient
/c == ZVTV- UM ri + r + «^) = Z* 'JV - U*) = -^^j-l^^p^,
En choisissant convenablement l'origine et les axes coordonnés, on peut, sans diflicuilé, faire évanouir, pour un point donné A , les valeurs des quantités t. II, U. Eu eiïet, les deux premières conditions seront déjà remplies si l'on adopte pour plan des coordonnées ar, y, le plan tangent en ce point. Si, en outre, on place l'origine des coordonnées au point A lui-même, il est clair que l'expression des coordonnées z prendra la forme suivante :
où Q sera d'un ordre supérieur au second. En changeant ensuile l'orieatation des axes x, y d'un angle M, tel que l'on ait
2l]° Tang2M=^„y„,
il sera aisé de voir qu'itii ublieiidra une éi|iialioii de celle forme
el de celle luaiiiére la Iroisième condilioii se trouvera éi^aleiiieiil salislaile. De la les résnllals suivants :
1. Si la surface courbe est cou|jêe par un plan normal passant par l'axe coordonné r, la section sera une courbe plane dont le rayon de courbure au point A sera ^, le signe positif ou négatif de ce raj-on de courbure indiquant la concavité ou la convexité de la face du côté de laquelle les coordonnées : sont positives.
i. De la même manière y sera au point A le rayon de courbure de la courbe plane qu'on obtient en coupant la surface courbe par un plan passant pai' les axes y, z.
