En posant ./=rcoso, /y = /"sin'^, on a

r = ^^Tcos-v + Vsin-9J r' A-0.;

d'où il résulte que si l'on coupe la surface par un plan normal en A faisant avec Taxe ./• un angle -.., l'on obtiendra une courbe plane dont le layon de courbure au point A sera

Tcos-v + Vsin-o'

i. Toutes les fois (ju'un aura T=V, les rayons de courbure de toutes les sections normales seront égaux. Si au contraire T et V sont différents, il est évident, puisque Tcos-o-J-Vsin-'-. pour chaque valeur de l'angle -.- tombera entre TelV, que les rayons de courbure des sections principales, considérées en 1 et 2, se rapportent aux courbures extrêmes; c'est-à-dire l'un à la courbure maximum, l'autre à la courbure minimum, si T et V sont afTeclés du même signe; et au contraire l'un \\ la convexité maximum, l'autre à la concavité maximum, si T et Y ont des signes contraires. Ces conclusions renferment à peu prés tout ce que l'illustre Euler a le premier enseigné sur la courbure des surfaces.

o. La mesure de la courbure d'une surface courbe en un point A prend la forme très-simple K = T V. d'où ce théorème :

La mesure de la courbure en chaqtie point d'une surface est égale à une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le produit des deur rayons de courbure extre'mes dans les sections par des plans normaux i').

En même temps l"on voit que la mesure de la courbure sera positive pour les surfaces roncavo-coiicavcs ou coiivexo-convexes (distinction qui n'a rien d'essentiel), négative au contraire pour les surfaces concavo-convexes. Si la surface se compose de parties appartenant à ces deux genres, la mesure de la courbure devra s'évanouir dans les points où la transition se fera. .Nous reviendrons tout k l'heure plus en détail sur les propriétés de ces surfaces pour lesquelles la mesure de la courbure s'évanouit quehiue part.

La formule donnée k la hu du § VII pour la mesure de la courbure est la plus simple de toutes les formules générales, en ce (ju'elle ne renferme que cinq éléments; nous arriverons k une formule plus compliquée, renfermant neuf éléments si nous voulons employer la pr^iière des méthodes que nous avons dit être propres ii étudier les caractères des surfaces. Reprenant les notations du § IV, nous poserons en outre

d.r'- ~ ' dy- " - ' d:'

iivv,.'. rfl^v o•. AU^-n

dy dz'' ' dx d:~ ^ ' d.r dii~ '

(') Voir ci-aiurs, Ktiule des siiiforcx rnttliiniex, §§ Wll ri \1\.

ili' sorle que l'on aura

il()=l{'dx + (ydy + V(h.

(lR = Q'(lr + Pdii + Kdz.

Mainlonaiit, |iuiS(|u on a / = — -• nous obtenons, par la ditïéienlialion,

+ (PP^KQ (/;,

OU bien, en éliminant z à l'aide de l'équalion Vdj-\-Qdy-{-Rd:=Q,

n\l( = (— RT + -2 PRO — P-R ) (//

+ (PRP +OR0 — rOR — R'H 1'/^

On a de même

!{=</(/= P11F+ QRO — POR — R'R ^ (/;■ 4- — R-0 + i (JRp 0-R ) di/.

Et de là nous concluons

R^T = — RM' + -' PR<J — P'R , R^U = PRP + QRO — POR — R'R .

Rn= — R'O+^ORP — O^R.

Kn substituant ces valeurs dans la formule du § VII , nou< obtenons pour la mesure de la courbure A' l'expression symétrii|ne suivante :

(P'+ Q'+ i^'.'k = P' OR — P' -i + 0' (P R — 0 ') + R';PÔ — R^)4-2QR(0"R'— PP + 2PR(P R — 00 J + 2P0;P O — RR).

Nous obtiendrons une fornmle encore plus i(impli(|uée et renferniant quinze éléments, si nous voulons suivre la seconde des méthodes pro[)res à

l't'ludc dessin laces. Ilesl Irès-impoitaiil cependant d'arriver à celle formule. Pour cela, nous reprendrons les notations du § IV, et nous poserons en outre :

îlli^= d* X , d' X „

dp' ~'" dpdq~''' '7np~'''

dp' ' ' dp dq '" ' dq" ~ '" '

dp' '^' dpdq~'^' 1(p^'^ ■