CAD = CBD

CAD + CBA = CBD + CBA ^ i80^

Le reste s'achève sans difficulté. On a, en effet, d'après ce théorémftîir'

Fig. 5.

u-hS-hS == 180, 180 = £ 4- «, Y-ht - 180,

d'où, en faisant la somme de ces égalités,

«H-S-hr = 180.

Pour ce qui est maintenant de votre démonstration du théorème (1), je commencerai par protester contre l'usage que vous faites d'une grandeur infinie, en la traitant comme une quantité déterminée (vollendeten)^ ce qui n'est jamais permis en mathématiques. L'infini n'est qu'une façon de parler, parce qu'il s'agit en réalité de limites, dont certains rapports

peuvent approcher autant que l'on voudra, tandis que d'autres sont susceptibles de croître indéfiniment. Dans ce sens, la géométrie non-euclidienne ne renferme en elle rien de contradictoire, quoique, à première vue, beaucoup de ses résultats aient l'air de paradoxes. Ces contradictions apparentes doivent être regardées comme l'effet d'une illusion, due à l'habitude que nous avons prise de bonne heure de considérer la géométrie euclidienne comme rigoureuse.

Dans la géométrie non-euclidienne, il n'y a jamais, dans les figures, de similitude sans égaillé. Par exemple, les angles d'un triangle

équilatéral ne sont pas seulement différents de -^ d'angle droit,

mais encore ils peuvent varier suivant la grandeur dîes côtés; et, si les côtés croissent au delà de toute limite, ils peuvent devenir aussi FiK- c. petits que l'on voudra. Il y a dona

déjà contradiction à vouloir dessi^ ner la ressemblance d'un tel triangle au moyen d'un triangle plus petit. On peut seulement indiquer sa disposition générale. De cette manière, Vindication d'un triangle rnlîm serait, à la limite, celle-ci (fig. 7) :

Fiij. 7. Dans la géométrie euclidienne, rien n'è&t

grand d'une manière absolue; mais il n'en, est pas de même dans la géométrie non-euclidienney et c'est précisément là son caractère essentiel. Ceux qui n'accordent pas ce fait, établissent déjà par cela même toute la géométrie euclidienne; mais, comme je l'ai dit, d'après ma conviction, ce n'est de leur part qu'une pure illusion. Dans le cas en question, il n'y a rien absolument de contradiotoire à dire que, si Ton donne les fis. s.

points A. B et la direction! AG, G pouvant s'éloigner indéfiniment, alors, bien que Fangle DBG s'approche de plus en plus de l'angle DAC, il n-'en est pas moins impossible d'abaisser la différence de ces angles au-dessous dune certaine grandeur finie.

Votre introduction de l'arc CD rend, sans nul doute, votre conclusion plus spécieuse. Mais si l'on veut développer clairement ce que vous n'avez fait qu'indiquer, il faudra s'exprimer ainsi :

m GAISS ET DE SCHUMACHER. 41

CAB.CBD~-g^.-g7c57'

et tandis que AC croît indéfiniment, CD et CD ' d'une part, et, d'autre part, ECD et E'CD' s'approchent continuellement de l'égalité.

Ces deux choses n'ont pas lieu dans la géométrie non-euclidienne, si l'on entend par là que les rapports géohiétriques de ces quantités s'approchent autant que l'on voudra de l'égalité. En effet, dans la géométrie non-euclidienne, la demi-circonférence d'un cercle de rayon r a pour valeur

k étant une constante que l'expérience nous indique comme extrêmement grande par rapport à tout ce qui est mesurable pour nous. Dans la géométrie euclidienne, elle devient infinie.

Dans le langage figuré de la théorie de l'infini, on devrait donc dire que les circonférences de deux cercles infinis, dont la différence des rayons a une grandeur finie, différent elles-mêmes d'une grandeur qui est à chacune d'elles dans un rapport fini.

Il n'y a rien ici de contradictoire, si l'homme, être fini, ne s'aventure pas à vouloir traiter quelque chose d'infini comme uu objet donné et susceptible d'être embrassé par ses forces de compréhension îiabituelles.

Vous voyez qu'ici le débat vient toucher immédiatement au terrain de la métaphysique.

OAUSS A SCHUMACHER.

î'aî f?U demièremeiït occasion de «relire l'opuscule dB Lobî:- Ischewsky, intitulé : Geometrische Untersuchmigen zur Thearie ter Prtra?/e/m/m>n. Cet opuscule contient les éléments de la géométrie qui devrait exister, et dont le développement fonnerait un enchaînement rigoureux, si la géométrie euclidienne n'était pas vraie. Un certain Schweikardt (*) a donné à cette géométrie le nom de géomé-

(') Autrefois à Marbourg, maintenant professeur de jurisprudence à "Kœnigsberg.