PAR JEAN BOLYAI

Capitaine au Corps du Génie dans I'arnic3 aulricbienne.

SI la droite arn n'est pas coupée par la droite bn, située dans le même plan, mais qu'elle soit coupée par toute autre droite bp, comprise dans Fangle abn, on dira que bn est parallèle à am, c'est à dire qu'on aura bu \\\ a m. Il est facile de voir qu'i7 existe une telle droite bn, et une seule, passant par un point quelconque b (pris hors de a m), et que la somme des angles bam, abn ne peut surpasser 2 R. Car, en faisant mouvoir bc autour de ^jusqu'à ce que Ton ait bam-\-abc = 2 iî, il y aura un instant où bc commencera à ne plus couper am, et c'est alors qu'on aura bc ill am.

Il est clair, en même temps, que bn \\\ em, quel que soit le point e pris sur ain.

Si, tandis que le point c s'éloigne à Tinfini sur am, on prend toujours cd -= cb, on aura constamment cbd = cdb < nbc. Or nbc — 0; donc aussi adb ■ — 0.

Si bn \\\ am, on a aussi en \\\ am. Soit, en effet, d un point quelconque de m a en. Si c est sur hn, bd coupera am, puisque bn 111 am. Donc cd coupera aussi am. Si c est situé sur bf, soit 6^ m cd; bq tombera à l'intérieur ^q abn (§1), et coupera par conséquent am\ donc cd coupera aussi am. Donc toute droite cd (dans acn) coupe, dans l'un et l'autre cas, la droite am , sans que en elle-même coupe am. Donc on a toujours en \\\ am.

Si br et es sont l'une et l'autre \\\ am, et que c ne soit pas situé sur br, alors br et es ne se couperont pas. Car si 6r et es avaient un point commun d, alors {^'i) dr et ds seraient l'une et l'autre m am, dr (§1) coïnciderait avec ds, et ç tomberait sur br, ce qui est contre l'hypothèse.

Si n> an > ma 6, il y aura, pour tout point b deab, un point c de am, tel qu'on aura bcm = nam. On peut, en effet (§ 1), mener bd de façon que bdm > nam, et en faisant mdp = man, b sera compris dans nadp. Si donc on transporte nam le long de am , jusqu'à ce que an arrive sur dp, il faudra que an ait passé par b, et que Ion ait eu quelque part 6cm = nam.