I)K L ESPACE
Si bn III a m, il y a sur am un point f tel que fm dl? bn. En effet, on peut faire en sorte que Ton ait (§1) bcm > cbn, et, si ce = cby il en résultera ec^hc^ d'où bem <. ebn. Faisons mouvoir le point p sur ec. L'angle bpniy pour p voisin de e, commencera par être < l'angle pbn correspondant, et pour p voisin de c, il finira par être > p6w. Or, l'angle bpm va en croissant d'une manière continue depuis 6emjusqu'à bcm, puisque (§ A) il n'existe aucun angle > bem et < bcm, auquel bpm ne puisse devenir égal. Pareillement p 6 ?i décroît d'une manière continue depuis ebn jusqu'à cbn. Il existe donc sur ec un point f tel que bfm = fbn.
Si bn \\\ am, et que e soit un point quelconque de am, g un point quelconque de bn, on aura alors gn\\\em et em\\\gn.
Car on a (§1) bn\\\em, d'où (§2) gn\\\em. Si Ion fait maintenant fm ^ bn (§ 5), alors mfbn = nbfm, et par suite, puisque bn \\\ fm, on a aussi fm ||| bn, et, d'après ce qui précède, em m gn.
am, et que c ne soit pas
Si bn et cp sont l'une et l'autre situé sur bn, on aura aussi bn \\\ cp.
En effet, bn et cp ne se coupent pas (§ 3). D'ailleurs, am, bn ei cp sont ou ne sont pas dans un même plan, et, dans le premier cas, am est ou n'est pas à l'intérieur de bncp.
1" Si am, bn, cp sont dans un même plan, et que a m tombe à l'intérieur de bncp, alors toute droite bq menée à l'intérieur de nbc, coupera am
210 LA SCIENCE AUSOLUE
quelque part en d, puisque bn \\\ am. De plus, à cause de dm \\\ ^P (§ 6)» *^ ^s^ c'^''* ^^^ ^^9 coupera cp; donc on a bn \\\ cp.
2<^ Si 6n et cp sont du même côté de am^ Tune d'elles, cp par exemple, sera comprise entre les deux autres droites 6»i, am. Or, toute droite 6^, intérieure à nba, rencontre am; par suite, elle rencontre aussi cp. Donc bn \\\ cp.
S" Si les plans mabj mac font entre eux un angle, alors cbn et abn ne pourront avoir de commun que la ligne bn, tandis que am (dans abn) n'aura rien de commun avec bn, et par suite auss' nbc n'aura rien de commun avec am. Or, tout plan bcd, mené par la droite bd (situé dans nba], rencontrera am, puisque bq rencontre am (à cause de bn 111 am). En faisant donc mouvoir bcd autour de 6c, jusqu'à ce que ce plan commence à quitter am, bcd viendra alors coïncider avec bcn. Par la même raison, ce même plan viendra coïncider avec b cp ; donc b n est dans le plan bcp.
Si, de plus, br \\\ cp, alors (am étant aussi m cp) br sera, par la même raison, dans le plan bam, et aussi (puisque br \\\ cp) dans le plan bcp. Donc br, étant commune aux deux plans mab, pcb, n'est autre chose que la ligne bn; donc bn \\\ cp ['].
Si donc cp \\\ am , et que b soit extérieur à cam, alors l'intersection bn des plans bam, cap est \\\ à la fois kametkcp.
Si bn est m ei-^cp (ou plus brièvement, si bn \\\ -^ cp), et que am (dans nbcp) soit L sur le milieu de bc, alors bn \\\ am.
En effet, si bn rencontrait am, cp rencontrerait aussi am au même point (à cause de mabn^
[*] En yjlaçant ce 3« cas avant les deux précédents, ceux-ci pourraient se démontrer avec plus de brièveté et d'élégance, comme le 2e- cas du g 10. -
fNole de l'Auteur.J
DE l'espace. 21 t
macp, et ce point serait commun aux lignes bn , cp elles-mêmes, tandis qu'au contraire bn \\\ cp. D'autre part, toute droite bq, intérieure à c 6 ?i, rencontre cp; elle rencontre donc aussi am. Par conséquent, bti \\\ am,
§9- ^\bn \\\ am, map \ maby et que Tangle dièdre dnba des plans nbd, nba (prolongés du même côté de mabn on se trouve map) soit < R; alors map einbd se couperont. Soit, en effet, bam = R, ac\bn (que c coïncide ou non avec b) , et ce L hn{ddï\sn bd)\ on aura (par hypothèse) ace</?,eta/"(L ce) tomberadans ace. Soit ryp l'intersection des plans abf, a mf) (qui ont le pointa commun) ; on aura bap = bam -— R (puisque bam L map). Si enfin l'on fait mouvoir «6 /' autour des points fixes a etb, jusqu'à ce qu'il s'applique sur abm^ ap tombera surarw, et puisque a c L bn etaJ/'< ac, il est clair que af aura son extrémité entre bn et am, et que par suite 6/" tombera à l'intérieur de abn. Or, dans celte position, bf rencontre ap (puisque bn \\\ am)', donc ap et 6/" se rencontrent aussi dans la position primitive, et le point de rencontre est commun à map et à nbd. Donc map et nbd se coupent.
On en conclut facilement que map einbd se coupent toutes les fois que la somme des angles dièdres qu'ils forment avec mab est < 2 fl.
Si bn et cp sont l'une et l'autre m -^^ am, on aura aussi bn \\\ '^cp.
En effet, ou les plans mab, mac font entre eux un angle, ou ils forment un même plan.
1° Si le premier cas a lieu, menons qdf' L sur le milieu de
2rî LA SCIENCE ABSOLUE
ab. Alors dq sera L a 6, et par suite dq \\\ a m (§ 8). De même, si ers est L sur le milieu de ac , on aura er \\\ am , d'où dq \\\ er (§ 7). On en conclut aisément (d'après le § 9) que qdfei ers se rencontrent, et que leur intersection fs est |1| dq (§ 7); de plus, à cause de bn \\\ dq, on a aussi fs \\\ bn. On a en outre (pour tout point /"de fs) fb = fa = fc^ et fs est située dans le plan tg f [^ s\iv\e milieu de bc. Or on a (§ 7), à cause de fs \\\ bn, gt 111 bn. On démontrera de même que gt \\\ cp. Mais gt L sur le milieu de bc; donc Igbn = tgcp (§ 1), et bn \\\ •=!:^cp.
2" Si fen, am et cp sont dans un même plan, soit la droite fs, extérieure k ce T^hn, et m ':ùfam. Alors, d'après ce qu'on vient de voir, fs \\\ ^k chacune des droites bn, cp , et par suite on a aussi bn ||j '^cp.
Considérons l'ensemble formé par le point a et par lous les points tels que, pour un quelconque d'entre eux b, lorsque bn \\\ am, on ait aussi bn^am, et désignons cet ensemble par F [*]; et soit L [**] l'intersection de F avec un plan quelconque mené par la droite am. Sur toute droite \\\ am, F a \in point, et un seul; et il est évident que L est divisée par am en deux parties susceptibles de coïncider. Nous appellerons am Vaxe de L. Il est clair encore que, dans un plan quelconque passant par la droite am, il y a, pour Yaxe am, une seule ligne L. Toute ligne L, ainsi définie, s'appellera le L de am (dans le plan, bien entendu, que l'on considère), il est évident que, par la révolution de L autour de la droite a m, on engendrera le F dont am est dite Xaxe, et qui est, réciproquement, le F de l'axe a m.
Soit b un point quelconque ànLdeam, ei bn \\\ -^am^W). Alors le L de am et le L de bn coïncideront.
Sphère-limite de Lobatscliewsky {H.).
j Cercle-limite de Lobatscliewsky [H.].
DE l'espace. 213
Soit, en effet, V le L de 6w; soit c un point quelconque de L', et cp m 'é::hn (§ 11). A cause de hn \\\ -r^ am^ on aura aussi cp m î^ am (§ 10); par conséquent c sera situé sur L. Et si c est un point quelconque deL, et que cp [H -A-am, alors aussi cp 111 d^ 6 w (§ 10); donc c est également situé sur L' (§ 11). Donc L et L' sont identiques, et toute droite hn (1|| am) est un nouvel axe de L, et est di? par rapport à tous les axes de h.
La même propriété se démontrerait de la même manière pour la surface F.
Si l'on a hn Hl am^ cp \\\ dq^ et ham -i- ahn = '^ R, alors on aura aussi dcp + cdq = ^ R.
Soient, en effet, ea = eh , et cfm = dcp (§ 4). A cause de
bam-hahn ~^ R = ahn -[-ahg, on aura ehg=^eaf.
Si donc on a encore bg=:- af, le A ehg = A eaf, beg ■= aef, et g tombera sur fe. On a, de plus, gfm + fgn = 2 /? (puisque egh := efa).
D'ailleurs (jfn m fm (§ C); donc, si m f rs ^ pcdq, alors rs \\\ gn (§ 7), et r tombe soit en dedans, soit en dehors de fg (si l'on n'a pas cd = fg, auquel cas la proposition serait évidente).
1° Dans le premier cas, frs n'est pas plus grand que 2 R — rfm = fgn, puisque rs \\\ fm. Mais comme rs \\\ gn, frs n'est pas < fgn. Donc frs = fgn, et rfm -h frs =■ gfm -f- fgn =: 2 iî. On a donc aussi dcp + cdq = ^ R.
2" Si r tombe en dehors de fg, alors ngr = m/*r. Soit m fgn = 7i^/ii ^ /^/co, et ainsi de suite, jusqu'à ce que fk devierme = fr ou commence à surpasser fr. On a ici ko \\\ hl \\\ fm (§ 7). Si k tombe enr, alors ko tombe sur rs (§ 1), et par suite rfm -+-. frs =^ kfm -^r fko = kfm H- fgn = 2 jR. Mais si r tombe à l'intérieur dehk, alors (d'après 1") on a r/t/ 4- /^r5 = 2 i? = r/'m + frs = dcp + cdq.
Si l'on a bn \\\ am, cp \\\ dqei bam -h abn < 2 /?,on aura aussi dcp -\~ cdq < 2 i?.
Car, si dcp H- cdq n'était pas < 2 iî, cette somme (d'après le § 1) serait = 2 /î. Alors on aurait aussi (§ 13) bam + abn = 2 fi, ce qui est contre l'hypothèse.
En considérant ce que nous avons établi dans les §§ 13 et 14, nous désignerons par 1 le système de géométrie qui repose sur l'hypothèse de la vérité de l'axiome XI d'Euclide, et par S le système fondé sur l'hypothèse contraire.
Tous les résultats que nous énoncerons, sans désigner expressément si c'est dans le système 2 ou dans le système S qu'ils ont lieu, devront être considérés comme énoncés d'une manière absolue, c'est-à-dire qu'ils seront donnés comme vrais, soit qu'on se place dans le système 1, soit qu'on se place dans le système S.
Si am est l'axe d'une ligne L , cette ligne L, dans le système 2, sera une droite \ am.
Soit, en effet, bn l'axe en un point quelconque b âeL; on aura, dans 2, bam + abn = 'ibam = 2i?, d'où bam=R. Et si c est un point quelconque de «6, et que l'on ait cp \\\ am, on aura (§ 13) c/j «Ji:? am, et par conséquent c sera sur L
Mais, dans <S, il n'existe nulle part sur L ou sur F trois points en ligne droite. — En effet, quelqu'un des axes am, bn, cp {am, par exemple) tombe entre les deux autres, et alors (§ 14) bam et ca m sont l'un et l'autre < R.
Dans 5, L est encore une ligne, et F une surface. Car (§ 11)
DR l'espace. 215
tout plan mené perpendiculairement à l'axe am par un point quelconque de F, coupe /^suivant une circonférence de cercle, dont le plan (§ 14) n'est perpendiculaire à aucun autre axe bn. Si Ton fait tourner jP autour de bn, un point quelconque de F (§12) restera sur F, et la section de F par un plan non perpendiculaire à bn décrira une surface. Or, quels que soient les points a, b pris sur F, F pourra (§ 12) coïncider avec lui-même, de manière que a tombe en b. Donc F est une surface uniforme. Il résulte de là (§§ 11 et 12) que L est une ligne uniforme [*],
L'intersection de F avec un plan quelconque, mené par un
point a de F obliquement à l'axe am, est, dans le système S, une circonférence de cercle.
Soient, en effet, « , 6 , c trois points de cette section, et 6n, cp des axes.
ambn et amcp feront un angle, sans quoi le plan déterminé par a', 6, c (§ 16) comprendrait am, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc les plans perpendiculaires sur les milieux des droites ab, ac se coupent (§ 10) suivant un certain axe fs de F, et Ton a fb =zfar=fc. Soit ah[fs, et faisons tourner fah autour ée fs; a décrira une circonférence de rayon ha, passant en 6 et en c, et située à la fois dans F et dans abc; de plus, F et abc n'ont rien de commun que la Qha (§ 16).
Il est encore évident qu'en faisant tourner la portion fa de ligne L (comme rayon) dans F autour de a , son extrémité décrira la Qha.
La perpendiculaire bt à l'axe bn àe L (menée dans le plan de L) est, dans le système .S, la tangente à la ligne L.
[*] Il n'est pas nécessaire de restreindre la démonstration au système S; on peut établir facilement qu'elle est vraie d'une manière absolue pour S et pour 2. [Note de l'Auteur.)
En effet, L n'a de commun avec ht que le point h (§ \U). Mais, si 67 est situé dans le plan thn^ alors le centre de la section faite dans le i^ de bn par le plan mené suivant hq perpendiculairement à tbn (§ 18), est évidemment placé sur hq; et si hq est un diamètre, il est clair que bq coupera en q le L de bn.
Deux points quelconques de F déterminent une ligne L (§§ Il et 18); et puisque (§§ 16 et 19) L est perpendiculaire à tous ses axes, tout angle de lignes L dans F est égal à l'angle des plans, menés par ses côtés perpendiculairement à F.
Deux lignes Ly ap et bdy dans la même surface F, faisant avec une troisième ligne X, savoir, avec ab, dos angles intérieurs dont la somme est < 2 /?, se rencontreront.
Nous désignerons par ap, dans F, la ligne L
mené par a et p, et par ap celle des moitiés de
cette ligne, à partir de a, qui contient le point p.
En effet, si aniy bn sont des axes de F, les plans «m/), bnd
se couperont (§ 9), et F rencontrera leur intersection (§§ 7 et 11 ).
Donc ap eibd se rencontreront.
11 résulte de là que l'axiome XI et toutes les conséquences que l'on en déduit en géométrie et en trigonométrie (plane), sont vrais d'une manière absolue dans F, les lignes L jouant le rôle de lignes droites. Par conséquent, les fonctions trigonométriques seront prises ici dans le même sens que dans le système 2; et la circonférence du cercle tracé dans F et ayant pour rayon une portion de ligne L égale à r, aura pour longueur 27ur; et de même Or (dans F) sera =T:r^ (ir désignant 4-0^ dans F, c'est-à-dire le nombre connus, 1415926....).
DE l'espace. "217
Soit ôT la ligne L de a m, et c un point de a m. Imaginons que l'angle cah (formé par la droite «m et la ligne L désignée par a6) soit transporté d'abord le long de «6, puis le long de 6a, et de part et d'autre jusqu'à l'infini. La trajectoire cd A\x point c sera la ligne L de cm.
En effet, si Ton désigne cette dernière par L', soient d un point quelconque de cd, dn [Il cm, et 6 le point de L situé sur dn. On aura hn^ri^am, et ac=bd^ et par suite dti'é^cm; donc d est sur L'. D'ailleurs, si d est sur L' et si dn\\\ cm, et que b soit le point de L commun avec dn, on aura am-A^bm ei cm'^dn, d'oii il résulte que 6rf=ac, et que rf tombera sur la trajectoire du point c; L' sera donc identique avec cd.
Nous représenterons la relation d'une telle ligne L' avec L par la notation L' \\ L.
Si la ligne L représentée par cdf est || abe (§ 22); si, de plus, ab=be, et que am, bn, ep soient des axes, on aura évidemment cd=df.^i a, b, e sont trois points quelconques de ab, et que l'on ait a6=w.crf, on aura aussi ae=n.cf, et par conséquent (ce qui s'étend évidemment au cas de ab, ae, de incommensurables), ab : cd=ae : cf. Le rapport ab : cd est donc indépendant
DE a 6, ET COMPLÈTEMENT DÉTERMINÉ AU MOYEN DE ac. NoUS désignerons la valeur de ce rapport ab-.cd par la lettre capitale (telle que X) qui correspondra à la lettre minuscule (telle que x) par laquelle nous représenterons ac.
Quels que soient x et y, on a Y=X'' (§ 23). En effet, ou l'une des quantités x, y est multiple de l'autre (par exemple, y est multiple de ic), ou elle ne l'est pas.
Si y = nXj soit x==ac = cg=gh^..., insqu'à ce que Ton ait ah=y. Soit, de plus, cd \\ gk || hl. On aura (§ 23) X=ab:cd Jj
= cd:$f/c=^^:^i, et par conséquent Jl
hl ~\cd)' ' 1
ou -L
Si X, y sont des multiples de i, a7 = mî, y = nij on aura, d'après ce qu'on vient de voir, X = /", F= /*, et par conséquent
Cette conclusion s'étend aisément au cas où x ei y sont incom" mensurables.
Si l'on a q = y — oj, il en résultera évidemment Q = Y :X. Il est clair que, dans le système 2, on a, pour toute valeur de Xj X — 1 . Dans le système S, au contraire, on a X > 1 , et pour des valeurs quelconques de ab et de a6e, il existe une Vigne cdf Il abe, telle que cdf= aby d'où il résulte ambn^amep, quoique la première de ces deux figures soit un multiple quelconque de la seconde : résultat singulier, mais qui ne prouve évidemment pas l'absurdité du système S.
Dans tout triangle rectiligne, les circonférences de rayons égaux aux côtés sont entre elles comme les sinus des angles opposés.
Soient, en effet, abc = R^ ei am[bacy et soient bn et cp\\\am. On aura cab L ambn, et par suite (à cause de côL^a)» cb\ambn', par conséquent, cpbn \ ambn. Supposons que le F de cp coupe les droites bn, am respectivement en d, e, et les bandes cpbn, cpam, bnam suivant les lignes L, cd,ce, de. Alors (§ 20) A crfe sera égal à l'angle de ndc, nde, et par suite = jR; et Ton aura, par la môme raison, ced = cab. Or (§21), dans
DÉ l'espace. 219
le A ced, formé par des lignes L (en supposant toujours ici le rayon = 1 ), on a
ec:dc=^ 1 : sin dec=^ i : sin cab.
On a aussi (§21)
ec : dc = Oec : Qdc (dans F) = Qac: Obc{% 18). Par conséquent on en conclut
O «c : O &c = 1 : sin cab,
d'où il résulte que la proposition énoncée se trouve établie pour un triangle quelconque.
Dans tout triangle sphérique, les sinus des
■H côtés sont entre eux comme les sinus des H angles opposés à ces côtés.
I Soient, en effet, abc = R, et ced L au I rayon oa de la sphère. On aura ced \ aob,
et {boc étant aussi L boa), cd L ob. Or, dans les triangles ceo, cdo, on a (§ 25)
O ec : O oc : O de = s'in coe : i : sin cod = sin ac : 1 : sin bc.
Mais on a aussi (§25)
O ec : O de =: sin cde : sin ced.
Donc
sin ac : sin bc = sin cde : sin ced.
Mais cde = R = cba, ei ced = cab. Par conséquent
sin ac : sin 6c = 1 : sin a.
De là découle toute la Trigonométrie sphérique, qui se trouve ainsi établie indépendamment de V Axiome XI.
Si a c et 6 d sont L « ^ , et qu'on transporto A c a 6 le long de ab, on aura, en désignant par cd\e chemin décrit par le point c, cd : ab = sin u : sin i'.
Soit, en effet, de[ca. Dans les triangles ade, adh, on a (§25)
C ed : O ad : O ab = sin u : i : sln V.
En faisant tourner bacd autour de ac^ le point b décrira Qabj
et le point d décrira O ^d. Désignons ici parOcrf le chemin de la ligne ce?. Soit, de plus, un polygone quelconque bfg...y inscrit dans O ab. En menant par tous les côtés bf^ [g,...
des plans \Qab y on formera ainsi dans Qcd une figure polygonale d'un même nombre de côtés, et Ton pourra démontrer, comme au § 23, que l'on a
cd : ah = dh:bf=^hk : fg =:='-, et par suite
dh-hhk-h-" : bf-i-fg-h-' = cd : ab.
Si l'on fait tendre chacun des côtés 6/", fg,... vers la limite zéro, il est clair que l'on aura
bf-hfg +■'■'- Oab, et
On a donc aussi
Or, nous avions déjà
Par conséquent
dh+ hk + --' -^ O éd.
Qed : Oab =^cd: ab.
Qed: Oab=smu : sin v.
cd : ab =^ sin m : sin v.
Si ac s'éloigne de 6d à l'infini, alors le rapport cd : ab, e.i par suite aussi le rapport sin u : sin v restent constants. Or ti — R (§ 1), et si dm \\\ bu, v — z. Donc cd : ab ^ 1 : sin z.
Nous désignerons ce chemin cd par cd \\ ab.
Si bn IW'^am, et que c soit un point de aw, en posant ac — x, on aura (§23)
X = sin « : sin v.
DE l'espace. 221
Car cd et ae étant L ^w, et bf \am, on aura (comme au § 27)
Obf:Ocd = smu: sin v.
Or, on a évidemment bf =- ae. Donc
Oea : O de = sin u : sin V. '
Mais dans les surfaces F de a m et de cm, qui couçeni ambn suivant aôetc^, on a (§ 21)
Qea: Qdc^^ah : cg = X.
Donc aussi
X = sin M : sin v.
Si bam z=^B, ab = y,ei bn \\\ anij on aura, dans le système 5,
F = cotang y w.
En effet, si Ton suppose ab = acy cp\\\am (et par suite
bn [Il ^cp), et ;)crf — qcd, on peut mener (§ 1 9) ds L c rf , de telle sorte que ds \\\ cp^ et par suite (§ l)c^f m cq. Si, de plus, be[ds, alors (§ 7) ds 111 6 rt; par conséquent (§6), 6^11165, et (à cause dedt \\\ cg), bq \\\ et, Donc(§ \)ebn = ebq. ^oii b cf wneM^nQ L ùebu, ei f g , dh, ck, elàes lignes L de ft^dt, cq, etc. On aura évidemment (§ 22) hg=: df=zdk = hc; partant cg=z'2ch=z'iv. Il est clair que Ton a de même bg = 'ibl=z^z. Or bc = bg — gc; par suite y = z — v, d'où (§ 24) Y=:Z: V. On a enfin (§ 28)
Z=l:sin-fw, 7= 1 : sin (^ -| m).
Donc
F==colang|wn.
[*] L'angle u est celui que Lobatschewsky représente par n («6). \Voyez Études géométriques, etc., n" 36.) (U.J
Il est facile de voir (d'après le § 25) que la résolution du problème de la Trigonométrie plane, dans le système <S, exige l'expression de la circonférence au moyen du rayon. Or, c'est ce que l'on peut obtenir par la rectification de la ligne L.
Soient a 6, cm, c' m' des droites l ac, ID^mnV^^HM ^^ ^ ^" "^ini quelconque de ab. On aura
sm w : sjn v = Op : Oy»
sin m': sin v'= Qp : O y' ; par conséquent.
sin u ^ sin u' '^
sm V
sm v'
Or, on a (§27) Donc
sin V : sin v' = ces u : ces u' .
sin u ^ sin M' ^ ,
Oy--=-7::zTr-Oy',
cosu
CCS M'
OU
Oy ' Oy' = tang u' : tang u = lang w : tang w .
Soient, de plus, c?iet c'n' \\\ ab, et cd, c'd' des lignes L { ab. On aura encore (§21)
Oy: oy =:r:r', d'où
r : r' = tang w : tang w' .
Faisons croître p à partir de a jusqu'à l'infini : alors w -^ z, w' — z'; d'où il résulte aussi
r : r' =z tang z : tang z' .
Désignons par i le rapport constant r : tang z {indépendant de r). Si l'on suppose «/ . — 0, alors
i tang z y
DE l'espace. 5'23
et par suite
la ng z D'après le § 29, il vient
tang2 = y(^— ^'"*)- Donc
ou (§ U)
Or, on sait que la limite de cette expression, pour y -~0,
est 1 T-T' Donc
log nat /
log nat / et par conséquent
nombre qui se présente encore ici d'une manière remarquable. En désignant désormais par i la droite dont le / est = e , on aura
r = ^ lang z.
Nous avons d'ailleurs trouvé (§ 21 ) Oy = ^r,r. Donc
log nat Y
Pour la résolution trigonométrique de tous les triangles rectilignes rectangles (d'où l'on déduit aisément celle des triangles
[*] Ou, en introduisant, pour plus de siraplicilé, la notation des fonctions hyperboliques,
02/ = 2:rtSh-f- ^jj^j
rectilignes quelconques), dans le système S, il suffît de trois équations. Soient a, 6 les côtés de l'angle droit, c Thypoténuse; a, p les angles respectivement opposés à a, 6. Ces trois équations seront celles qui exprimeront des relations
