PREFACE DU TRADUCTEUR

Le travail remarquable dont nous donnons ici la traduction n'a de commun que le titre avec les nombreuses élucubrations des auteurs qui , avant et après Legendre, se sont efforcés, sans beaucoup de succès, de démontrer à priori l'axiome XI d'Euclide, plus connu sous le nom impropre de postulatum.

Le but de l'auteur (^) est, au contraire, de prouver qu'il n'existe à priori aucune raison d'affirmer que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne ne soit pas inférieure à deux angles droits, ou, ce qui revient au même, qu'on ne puisse mener, par un point donné, qu'une seule droite ne rencontrant pas une droite donnée dans le même plan.

Cette question a été, pendant plus d3 cinquante ans, l'objet des méditations de Gauss, qui, dès 1792, était déjà en possession des vrais principes sur lesquels il a fondé une doctrine complète, appelée par lui Géométrie non -euclidienne. Malheureusement, il n'a jamais publié ses recherches, dont nous ne connaissons les résultats que par quelques notices dispersées dans les Gelekrle Anzeigen de Gœttingue, et par quelques passages de sa Correspondance avec Schumacher, éditée récemment par M. Peters. Lorsqu'il eut connaissance des travaux de Lohatschewsky (commencés en 1829 et continués jusqu'en 1855) et de J. Bolyai (1832), il fit alors ce qu'il avait fait lorsque Abel et Jacobi eurent retrouvé, par leurs propres efforts, ses résultats inédits, relatifs aux transcendantes elliptiques. Il renonça à la propriété de ses découvertes, et se

(*) N. I. Lobatsche-wsky, né à Nijnéi-Novogorod en 1793, mort à Kasa en 1856.

ir PRÉFACE DU TRADUCTEUR.

contenta de donner son adhésion complète à la Géométrie imaginaire de Lohd^tscheyfskY, dont i\ trouvait seulement la dénomination mal choisie.

Malgré la haute valeur de ces recherches, elles n'ont attiré jusqu'ici lattentîon d'aucun géomètre, ce qui ne fût pas arrivé si Gauss les eût communiquées lui-même aux savants, ou si, du moins, il les eût prises publiquement sous son patronage. Nous ne croyons pas cependant en exagérer la portée philosophique, en disant qu'elles jettent un jour tout nouveau sur les principes fondamentaux de la géométrie, et qu'elles ouvrent une voie encore inexplorée, pouvant conduire à des découvertes inattendues. Pour ne pas sortir de la question élémentaire, on ne peut nier quelles ne fassent faire un progrès immense aux méthodes d'enseignement, en reléguant parmi les chimères l'espoir que nourrissent encore tant de géomètres de parvenir à démontrer l'axiome d'Euclide autrement que par Yexpérience. Désormais ces tentatives devront être mises au même rang que la quadrature du cercle et le mouvement perpétuel.

Nous croyons rendre service aux auteurs de Traités classiques (*), en mettant sous leurs yeux une traduction française d'un opuscule peu connu de Lobatschewsky (^), dans lequel la Géométrie imaginaire est établie en partant des premières propositions d'Euclide. Nous allons donner une idée du contenu de cet ouvrage.

Après avoir rappelé les principes connus sur lesquels il s'appuiera, l'auteur pose une définition des parallèles, plus générale que la définition ordinaire, et se réduisant à celle-ci, lorsqu'on admet l'axiome XI d'Euclide. Il démontre ensuite diverses propositions, dont une partie étaient connues de Legendre ;

La somme des angles d'un triangle recliligne ne 'peut surpasser deux angles droits.

S'il existe un seul triangle recliligne dans lequel la somme des

(•) M. Richard Ballzer, dans la seconde édition de ses excellents Éléments de Géométrie, a, le prennier, introduit ces notions exactes à la place qu'elles doivent occuper.

{*) Geometrische Untersuchungen zur Théorie der Parallellitiien, von Nicolaus Lobatschewsky, kaiserl. russ. toirkl. Staatsrath und ordentl. Prof, der Mathematikbeider Universitdt Kasan. Berlin, 1840 (in- 18, 61 pages).

PREFACR DU TRADUCTEUR. ni

angles soit égale à deux angles droits, cette somme sera aussi égale à deux angles droits dans tous les autres triangles rectilignes.

Si deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles (dans racception généralisée du mot), la somme des angles d'un triangle rectitigne quelconque est égale à deux angles droits.

Etc.

Puis il établit, indépendamment de Taxiome d'Eucllde, les principales propositions de la géométrie de la sphère. Enfin, il considère le cercle et la sphère dans le cas où le centre s'éloigne à l'infini, et où les rayons deviennent parallèles. On démontre dans ce cas que la somme des angles dièdres d'un angle trièdre dont les arêtes sont parallèles, est égale à deux angles droits. Par suite, dans les triangles sphériques tracés sur la sphère infiniment grande, il existe entre les angles et les côtés les mêmes relations que celles que la Géométrie ordinaire établit pour les triangles rectil ignés.

De la trigonométrie de la sphère infinie, on passe à la trigonométrie de la sphère finie et à celle du plan. La trigonométrie sphérique est absolument la même dans la Géométrie imaginaire que dans la Géométrie ordinaire. La trigonométrie plane, au contraire, est essentiellement différente dans les deux systèmes. Ses formules, dans la Géométrie imaginaire, coïncident avec celles de la Géométrie ordinaire pour les triangles infiniment petits, comme cela a lieu pour celles de la trigonométrie sphérique. Pour des triangles de grandeur finie, elles se déduisent de celles de la trigonométrie sphérique, en y donnant aux côtés des triangles des valeurs imaginaires.

On peut résumer comme il suit Tensemble des propositions de la Géométrie élémentaire qui ne dépendent pas de l'axiome XI (^) : Egalité des triangles. A des côtés égaux (ou inégaux) sont opposés des angles égaux (ou inégaux dans le même sens), et réciproquement. Relations entre les angles formés dans un plan tout autour d'un point, où d'un même côté d'une droite, avec les réciproques. L'angle extérieur à un triangle est plus grand que chacun des inté-

(^) Bolyai : Kurzer Grundriss eînes Versuchs ». s, w., g 32.

IV PB^PAiGE DU TRADUCTEUR.

rieurs non adjaGents. Elever ou abaisser une perpendiculaire. On n'en peut abaisser qu'une d'un: point sur une droite. Celte perpendiculaire est la droite la plus courte. Partager une droite ou un angle en deux parties égales. Construire un triangle (ou un angle) égal à un triangle (pu à un angle) donné. Une droite peut avoir deux points communs^^ avec un' cerclé, et pas plus. Trois points d'un cercle étant donnés, trouver son< centre. Principales propriétés des cordes et des tangentes. Possibilité des polygones réguliers; construction des seuls polygones de 4, 8, 16,... côtés. Deux cercles ne peuvent avoir plus de deux points communs sans coïncider. La plupart de ces propositions ont leurs analogues dans la géométrie de la sphère, laquelle est tout entière indépendante de l'axiome XI.

Mais on ne peut plus, sans cet axiome, établir la théorie de la similitude, ni partager une droite en trois parties égales, ni calculer la grandeur de l'angle d'un polygone régulier. On peut faire passer un cercle par trois points donnés sur une sphère; maison, ne peut pas le faire passer par trois points donnés d'une manière quelconque sur un plan. Si trois points quelconques non en ligne droite pouvaient être placés sur une sphère, l'axiome XI d'Euclide serait démontré. Calcul de l'aire de la sphère.

Nous recommanderons spécialement aux lecteurs qui voudront entrer pleinement dans la pensée de Lobatschewsky, de s'y préparer par la méditation approfondie des vingt-huit premières propositions du premier livre d'Euclide, en faisant table rase de tout ce que l'on a écrit depuis sur ce sujet,