AD = DB

En unpoint donné C {fig. 1 1 ) d'une droite donnée AB, élever une perpendiculaire à cette droite.

Fig. II.

Prenons sur AB un point quelconque D, et faisons CE = CD [pr. 3, note]. Construisons sur DE le triangle équilatéral DEF [pr. 1], et menons FC. La droite FC sera pependiculaire à AB au point C.

Car les deux triangles DCF, ECF ayant CF commun, DC = CE, DF = EF, ona[pr. 8]

DCF = ECF.

Donc [déf. 10] FC est perpendiculaire sur AB.

D^un point donné G {fig' 12), abaisser une perpendiculaire sur une droite indéfinie donnée AB.

Fig. 13.

Prenons, au delà de AB par rapport à G, un point quelconque D; décrivons, du centre G, avec le rayon GD, le cercle EFG ; partageons EG en deux parties égales au point H [pr. 10], et menons GH : cette ligne GH sera perpendiculaire sur AB.

Gar, en menant GE, GG, on a EHc=HG, GH commun, et [déf. 15] EG = GG. Donc [pr. 8]

EHG = GHG.

Donc [déf. 10] GH est perpendiculaire sur AB.

Les angles adjacents ABD, ABG {fig* i3), que forme une droite AB avec une autre droite GD, à laquelle elle se termine.

sont : !*• tous les deux droits, ou bien 2" leur somme est égale à

deux angles droits.

DES ÉLÉMENTS d'eUCLIDE. 95

1° Si ces angles sont égaux entre eux, ils sont tous les deux droits [déf. 10].

a** S'ils sont inégaux, comme ABC, ABD, élevons sur DG, au

point B, la perpendiculaire BE [pr. 11]. Alors CBE, EBD seront

deux angles droits [déf. 10].

Puisque

GBE=GBA + ABE,

on a, en ajoutant de part et d'autre EBD [ax. 2],

GBE + EBD = GBA + ABE + EBD.

De même, puisque

ABD = DBE + EBA,

on a, en ajoutant de part et d'autre GBA,

ABD -+- GBA = DBE + EBA -+- GBA.

Par conséquent [ax. 1],

ABD + GBA = GBE + EBD

c'est-à-dire que l'on a

ABD + GBA = % droits (< ).

Si en un point B d'une droite AB {fig. 14)5 deux droites BC, BD font avec la première AB, et de côtés différents de AB, des

angles adjacents ABG, ABD, dont la somme soit égale à deux

(1) On peut s'étonner qu'Euclide ait employé un si grand appareil de logique pour prouver que l'angle CBD, formé par les deux directions BD, BC, est égal à la somme de ses deux parties, égales ou inégales, et surtout qu'il ait donné aussi tard une proposition qui aurait dû venir une des premières de ce Livre, comme nous l'avons déjà fait remarquer dans la note sur la proposition 5, page 19.

angles droits^ ces deux droites BC, BD seront le prolongement l'une de Vautre.

En effet, si BD n'est pas le prolongement de BG, soit BE ce prolongement. On aura alors [pr. 13]

GBA + ABE= 2 droits.

Mais on a, par hypothèse,

CBA + ABD= adroits.

Donc [ax. 1 et 10]