DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE

faisons DG = AG = DF[pr. 3]. [Prolongeons DF vers H, DG vers lijig' 20 ) et] menons EG, FG (').

Fig, a4.

Puisqu'on a AB = DE, AC = DG, BAC = EDG, il en résulte [pr.5] BC = EG.

Or on a DG = DF, d'où [ pr. 5 ] HFG = IGF.

Par conséquent, EFG >>FGI, et, comme FGI > FGE, on a, à plus forte raison, EFG >> FGE.

Donc [ pr. i9] EG ou BC > EF.

Si deux triangles ABC, DEF (Jig. 26) ont deux côtés égaux chacun à chacun, AB = DE, AC = DF, et le troisième côté inégal, BC>EF, V angle BAC, opposé au plus grand côté, est plus grand que V angle YX)¥, opposé au plus petit côté.

Car, si l'on n'avait pas BAC > EDF, il faudrait que l'on eût ou BAC = EDF, ou BAC < EDF.

Dans le premier cas, il en résulterait [pr. 4] BC = EF; dans

(') Nous avons réuni dans la même démonstration les deux cas que peut présenter la figure, et dont un seul (Jig. a'i) avait été considéré par Euclide. R. Simson remarque que l'on pourrait toujours ramener la figure à ce premier cas, en prenant pour DE le plus petit des deux côtés DE, DF; car alors les deux points G, F, étant sur un cercle décrit du centre D, et à l'intérieur duquel se trouve le point E, il est visible que E sera du même côté que D par rapport à la base FG. — Nous n'avons pas considéré le cas où EG passe par le point F, le théorème étant alors évident.

HoiF.L. — Essai.

o'i l'REMIEU LIVUE.

le second [pr. !2iJ, 13C <C iî^F. Ces deux conséquences étant

Fig. 36.

contraires à l'hypothèse BC >> EF, on a donc nécessairement BAC > EDF.

Si deux triangles ACB, DEF(yi^. 27) ont deux angles égaux chacun à chacun, ABC = DEF, ACB=EFD, et un coté égal qui soit ou adjacent (I" cas) aux angles égaux (BC = EF), ou

opposé (IP cas) à l'un d'eux ( AB = DE)^ les deux autres côtés seront égaux chacun à chacun, et le troisième angle BAC sera égal au troisième EDF.

P"" CAS. — Si les côtés adjacents aux angles égaux, BC et EF, sont égaux, on a :

j*' AB =: DE. Car, si AB et DE étaient inégaux, soit, par exemple, AB >- DE. Prenons alors BG = ED, et menons CG.

Puisque