BG = EF, AB = DE, ABG = DEF

on a [pr. 4]

AG = DF, et BAG = EDF.

Si deux droites A£^ GD {fig' 28), coupées par une troisième YF,font avec elle des angles alternes-internes (*) égaux AEFj EFD, elles sont parallèles.

(') Nous introduisons, pour plus dé simplicité, dans les énoncés d'Euclide, les dénominations appliquées par les géomètres modernes aux divers couples d'angles formés par deux droites qui en rencontrent une troisième. Nous ne reproduisons pas ici les définitions de ces angles, qui se trouvent dans tous les Traités de Géométrie.

PREMIEK LIVRE.

Cal', SI les droil.es AB, CD n'étaient pas parallèles, alors, en les prolongeant suffisamment dans un sens ou dans l'autre, elles finiraient par se rencontrer. Supposons, s'il est possible, que cette rencontre ait lieu en G. Dans le triangle EFG, on aurait

Fie. 28.

alors AEF >■ EFD [pr. 16], ce qui est contraire à l'hypothèse admise AEF = EFD. Donc AB et CD ne peuvent se rencontrer de ce côté. Par la même raison, ces lignes ne peuvent se rencontrer de l'autre côté. Donc [déf. 35] AB et CD sont parallèles.

Si deux droites xVB, CD {^/ig'. 29), coupées par une troisième EF, font avec elle : i" ou deux angles correspondants égaux l'LGB, GIID, 2° ou deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires ^GW, GWT), elles sont parallèles.

i-^ Puisque EGB:r=GHD et que EGB =. AGH [pr. 15], il en résulte AGH = GHD. Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles.

et

DES ÉLÉMENTS d'eUCLIDE. 37

2" Puisque l'on a

BGH + GHD = 2 cir. [hypothèse] AGri + BGH=2di-. [pr. 13], il en résulte [ax. 1 et 10]

AGH + BGH = BGH + GHD.

En retranchant BGH de part et d'autre, il i-este [ax. 3] AGH ^ GHD.

Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles (').

Si deux droites parallèles AB, CD {fig- 29) sont rencontrées par une troisième droite ^¥, elles feront avec~^ celle-ci : 1° des angles alternes-internes égaux AGH, GHD; 2" des angles dirigés dans le même sens (correspondants) égaux EGB, GHD; ?>^ des angles intérieurs d'un même côté supplémentaires BGH, GHD.

1° Si les angles AGH, GHD étaient inégaux, soit AGH ^ GHD. On aurait alors, en ajoutant de part et d'autre BGH [ax. 4],

AGH + BGH > BGH + GHD.

Or

AGH + BGH rr^ 2 dr. [pr. 13],

et par suite

BGH -f- GHD < 2 dr.

(') Toutes les propositions établies jusqu'ici se démontrent sans le secours de l'axiome 11. On pourrait encore joindre à ces propositions le théorème démontré par Legendre, que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne ne peut surpasser deux angles droits (voir Note VI, p. 80). Les théorèmes qui suivent s'appuient sur l'axiome 11. Il est aisé, d'après cela, de se rendre compte de l'ordre dans lequel Euclide a rangé ses propositions. Il a voulu séparer nettement toutes celles qui sont indépendantes de laxiome 11, et celles qui lui sont subordonnées, afin sans doute que les objections qui pourraient s'élever contre ce nouveau principe n'atteignissent que les théorèmes qui en dépendent nécessairement, les vingt-huit premières propositions restant hors de cause.

11 s'ensuivrait donc [ax. 11] que AB et CD, prolongées, se rencontreraient et ne seraient pas parallèles [déf. 35] , ce qui est contraire à l'hypothèse. Par conséquent, AGH et GHD ne peuvent être inégaux. Donc AGH = GHD.

2° Puisque l'on a

AGH + GHD et AGH = EGB [pr. 15],

il en résulte

EGB = GHD.

3° Puisque EGB = GHD, on a, en ajoutant BGH de part et d'autre [ax. 2] ,

Or

Donc aussi

EGB + BGH = BGH -+ GHD.

EGB + BGH = 2 dr. [pr. 13].

BGH -H GHD = 2 dr. (<).

Deux droites AB, CD {Jig. 3o), parallèles à une troisième EF, sont parallèles entre elles.

Fig. 3o.

Coupons ces trois droites par 4a droite GI. Puisque AB et EF sont parallèles, on a AGI = GIF [pr. 29] . De même, puisque CD et EF sont parallèles, on a GIF = GHD. Donc AGI = GHD, et par suite AB et CD sont parallèles [pr. 27] .

( ' ) Il eût été peut-être plus naturel de commencer par établir ce troisième cas, qui n'est qu'un autre énoncé de l'axiome 11, pour en déduire ensuite les deux autres.

DES ÉLÉMENTS D'eUCLIDB. 30

Par un point donné A {fi g' 3i) mener une droite parallèle à une droite donnée BC.

Fig. 3i.

Sur BG prenons un point quelconque D, et menons AD. Construisons l'angle DAE = ADC [pr. 23], et prolongeons EA vers F. La ligne EF sera parallèle à BG [pr. 27] (<).

Si Von prolonge un côté BG {fig- Sa) d''un triangle ABC, i" V angle extérieur ainsi formé AGD est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents GAB, ABC ; i° la somme des trois angles ABC, BGA, GAB du triangle est égale à deux angles droits.

Fig. 32.

1° Par le point G, menons CE parallèle à AB [pr. 31], Les parallèles AB, CE étant coupées par AC, on a [pr. 29, i"] BAC = AGE. Ces mêmes parallèles étant coupées par BD, on a [pr. 29, 2°] ABC = EGD. Donc [ax. 2]

BAC + ABC == ACE + EGD = AGD.

(') Celte proposition aurait été mieux placée avant la proposition 29. ( Voir la Note relative à la proposition 28.)

4o PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

2" Puisque BAG + ABC = ACD, on a, en ajoutant ACB de part et d'autre [ax. 2],

BAC -h ABC ■+- ACB = AGD + ACB.

Or

ACD+ACB= 2dr. [pr.l3 .

Donc aussi

BAC 4- ABC + ACB = a dr ,

La Géométrie est fondée sur la notion indéfinissable et expérimentale de Idi solidité ou de Y invariabilité des figures {*).

Elle emprunte, en outre, à Vexpérience un certain nombre de données que l'on ' appelle axiomes. — Nous verrons que les axiomes de la Géométrie peuvent se réduire à quatre.

On appelle surface la limite de deux portions de l'espace.

Nous nous élevons à l'idée abstraite de surface par la considération d'une enveloppe ou cloison matérielle, dont nous réduisons indéfiniment l'épaisseur.

La limite de deux portions de surface s'appelle ligne.

Deux surfaces qui se rencontrent se limitent réciproquement.

L'intersection de deux surfaces est donc une ligne.

On s'est élevé à l'idée abstraite de ligne, soit par la considération d'une tige très mince, soit par celle de la rencontre de deux cloisons, ou de la trace laissée sur la superficie d'un corps par le contact d'une autre surface.

La limite de deux portions de ligne s'appelle jooi'n^.

Une ligne peut être limitée par sa rencontre avec une surface ou avec une autre ligne.

(') Voir Note!.

Ainsi l'intersection de deux lignes on d'une surface et d'une ligne est un point.

L'intersection de trois surfaces est aussi un point.

L'idée de point est venue de la considération d'un corps, dont les dimensions étaient indéfiniment réduites.

Nous avons défini les mots surface, ligne, point, en partant de l'idée de surface pour arriver jusqu'au point.

On peut suivre l'ordre inverse, en introduisant plus explicitement l'idée de mouvement (*).

On dira alors, en partant de l'idée de point, comme idée primitive, qu'une ligne est l'ensemble des positions occupées successivement dans l'espace par un point qui se meut.

De même, on peut considérer une surface comme l'ensemble des positions occupées successivement par une ligne qui se déplace, et qui en même temps peut changer de forme.

Toutes ces idées peuvent être rappelées par les représentations matérielles qui leur ont primitivement donné naissance.

L'élude des lignes et des surfaces constitue l'objet de la Géométrie.

On donne le nom de figure à un ensemble quelconque de points, de lignes ou de surfaces, considéré comme invariable de forme.

Axiome L — Trois points suffisent, en général, pour fixer dans l'espace la position d'une figure.

L'expérience nous apprend cependant que, lorsqu'une figure se meut en tournant autour de deux de ses points, supposés fixes,

(') Voir Noie II.

il y a un ensemble de points, situés sur une certaine ligne, qui restent immobiles pendant que les autres se déplacent.

Ces points sont disposés sur la route que suivrait un rayon lumineux pour passer de l'un des points fixes à l'autre (en supposant ces deux points situés dans un même milieu homogène).

La ligne qui contient tous ces points, et qui nous apparaît comme la trajectoire habituelle des rayons lumineux, s'appelle la ligne droite. Donc :

AxroME II. — Il existe une ligne, appelée ligne droite, dont la position dans l'espace est complètement fixée par les positions de deux quelconques de ses points, et qui est telle que toute portion de cette ligne s'applique exactement sur une autre portion quelconque, dès que ces deux portions ont deux points communs ( ^ ).

Ainsi, d'un point à un autre, on ne peut mener qu'une seule ligne droite [^).

Deux lignes droites qui ont deux points communs coïncident dans toute leur étendue, quelque loin qu'on les prolonge au delà de ces deux points.

En d'autres termes, on admet qu'une ligne droite peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens, et qu'elle ne peut l'être que d'une seule manière.

Si, enjoignant deux points d'une surface par une ligne droite, la partie de la droite comprise entre ces deux points se trouve d'un certain côté de la surface, on dit que la surface est concave de ce côté, ou connexe du côté opposé.

L'expérience nous montre certaines surfaces, comme celle des eaux tranquilles, qui ne sont concaves d'aucun côté, et sur lesquelles une ligne droite, menée entre deux de leurs points, s'applique dans toute son étendue.

Une telle surface s'appelle une sur/ace plane ou un plan.

(«) Voir Note III.

O C'est, soui une autre forme^ l'axiome 12 d'Euclide*

Soient A, B, G [^fig> 33) trois points d'une surface plane. Si l'on joint le point G à un point quelconr|iie A de Ja droite AB, la droite GA sera, ainsi que la droite AB, comprise tout entière

Fig. 33.

dans la surface. Si l'on fait mouvoir le point A lotit le long de la droite AB, la ligne GA prendra une infinité de positions, qui par leur ensemble engendreront la surface.

Ainsi la surface plane peut être considérée comme engendrée par le mouvement d'une droite tournant autour d'un point fixe, et glissant le long d'une droite fixe qui ne passe pas par ce point.

Si l'on fait tourner un plan autour de deux de ses points A et B, ou, ce qui revient au même, autour de la droite AB comme charnière, jusqu'à ce qu'un point G du plan, non situé sur la droite AB, vienne rencontrer l'ancienne position du plan en un point G', situé de l'autre côté de AB par rapport à G, l'ancienne position pouvant être considérée comme engendrée par le mouvement de G'A le long de AB, et la nouvelle par le mouvement de GA le long de la même droite AB, il est clair que ces deux positions ne formeront qu'une seule et même surface, puisque leurs lignes génératrices coïncident dans chaque position; en sorte que la surface retournée coïncidera avec sa position primitive.

En général, si l'on donne à deux plans trois points communs, non en ligne droite, le même raisonnement fait voir que les deux plans coïncideront dans toute leur étendue. Donc : .

Axiome III. — // existe une surface telle qu'une ligne droite, qui passe par deux quelconques de ses points, y est renfermée tout entière, et qu'une portion quelconque de cette surface peut être appliquée exactement sur la surface elle-même, soit directement, soit après qu'on Va retournée, en lui faisant faire

une de mi- révo talion autour de deux de ses points. Cette surface est le PLAN.

Par trois points non en ligne droite, ou par une droite et un point situé hors de cette droite, ou encore, par deux droites qui se coupent, on peut toujours faire passer un plan, et l'on n'en peut faire passer qu'un.

Lorsque deux droites se rencontrent, on dit qu'elles forment un angle.

On peut se représenter un angle comme la quantité plus ou moins grande dont il faut faire tourner une droite autour d'un de ses points pour la faire passer d'une position à une autre, en supposant que le mouvement s'accomplisse dans le plan mené par les deux positions.

On peut passer de la position AB {fig» 34) à la position A(j, en

Fig. 34.

tournant dans un sens ou dans l'autre : l'angle décrit n'est pas généralement le même dans les deux cas.

Pour aller d'un point A à un autre point B, en suivant une ligne droite, il faut connaître : i" la direction de cette droite; 2° la longueur de la portion de cette droite comprise entre les deux points.

Pour déterminer la direction d'une droite, on commence par imaginer un plan passant par les deux points A, B, et dans ce plan une droite fixe AC, menée par le point A. La direction de la droite AB sera connue, si l'on donne Vangle CAB qu'elle fait avec la droite fixe AG, c'est-à-dire la quantité dont il faut tourner,

dans le plan ABC, suivant un sens convenu, pour passer de la position AG à la position AB.

Si l'on donne ensuite la distance AB, c'est-à-dire la quantité dont on doit s'avancer sur la droite AB, on aura enfin la position du point B.

Il est facile de s'expliquer pourquoi l'on a pris la ligne droite pour mesurer les distances, le plan pour mesurer les angles.

i" C'est que d'abord, par deux points donnés, on peut toujours mener une ligne droite, de même que, par deux droites concourantes données, on peut toujours faire passer un plan. — Il pourrait n'en plus être de même si l'on prenait une ligne courbe ou une surface conique de forme donnée.

2° En second lieu, toute portion de ligne droite ou de plan peut être superposée à une ligne droite ou à un plan, de sorte que l'on peut constater immédiatement l'égalité ou l'inégalité de deux dislances ou de deux angles.

Lorsqu'une droite, après avoir tourné toujours dans le même sens, revient à son ancienne position, on dit qu'elle a accompli un tour entier.

Lorsque la droite vient se placer sur son prolongement, on dit qu'elle a fait un demi-tour.

Lorsqu'elle s'arrête de manière à former avec sa première position et le prolongement de celle-ci deux angles égaux, elle a décrit un quart de tour ou angle droit, et sa nouvelle position est à.\le perpendiculaire à la première.

Le prolongement de la perpendiculaire est aussi une perpendiculaire.

La première droite est aussi perpendiculaire à la seconde.

Tous les angles droits sont égaux.

On a pris pour unité de mesure angulaire le quart de tour ou angle droit (').

(•) Voir Noie V.

On appelle cercle une ligne courbe tracée sur un plan, et dont tous les points sont à la même distance d'un point fixe, appelé centre.

Si l'on fait tourner une droite dans un plan autour d'un de ses points, chacun des autres points de la droite décrira dans ce mouvement un cercle.

La distance constante d'un point du cercle au centre s'appelle rayon.

Si l'on fait tourner un cercle dans son plan autour de son centre, le cercle ne cessera pas de coïncider avec lui-même.

Un diamètre est une droite passant par le centre, et terminée de part et d'autre au cercle.

Si l'on fait faire à un cercle un demi-tour autour de son centre et dans son plan, de telle sorte qu'un diamètre donné revienne coïncider avec son ancienne position, on voit que l'une des deux parties du cercle viendra coïncider avec l'autre. Donc un diamètre divise le cercle et la portion de plan qu'il entoure, chacun, en deux parties égales.

Si l'on fait faire à un cercle un demi-tour autour d'un de ses diamètres, jusqu'à ce que son plan revienne coïncider, par retournement, avec son ancienne. position, le cercle coïncidera encore avec lui-même, ce qui montre que les deux moitiés, du cercle peuvent se superposer de deux manières différentes.

Deux cercles de même rayon coïncident nécessairement, dès que l'on fait coïncider leurs plans et leurs centres.

Tandis qu'une droite tourne autour d'un de ses points, supposé fixe, considérons le cercle décrit par un quelconque des points mobiles de la droite.

Pendant que la droite accomplit un tour entier, elle parcourt le cercle entier.

Lorsqu'elle fait un demi-tour, elle parcourt le demi-cercle.

Si on la fait tourner d'angles égaux à partir de deux posi-

lions AB, AB' {fig. 35), les arcs décrits BC, B'C seront égaux. — Car, si l'on fait tourner le cercle autour de son centre jusqu'à ce que AB' vienne se placer sur AB, l'égalité des angles fait voir

que AC tombera sur AC, et par suite les arcs BC, B'C devront coïncider.

Si un angle est égal à la somme ou à la différence de deux autres, l'arc correspondant au premier angle sera égal à la somme ou à la différence des arcs correspondants aux deux autres angles.

De là résulte que :

1° Un angle droit comprend entre ses côtés un qirart de cercle ou quadrant ;

2" Si un angle est multiplié par un nombre entier quelconque, l'arc correspondant est multiplié par le même nombre entier;

3° Si un angle est divisé par un nombre entier quelconque, l'arc correspondant est divisé par le même nombre entier;

4° Si deux angles ont entre eux un rapport quelconque, les arcs correspondants ont entre eux le même rapport.

Donc l'arc compris entre les côtés d'un angle varie proportionnellement à cet angle (♦).

Si l'on veut donc comparer un angle à son unité, pour arriver à sa représentation numérique, il revient au même de comparer l'arc correspondant à cet angle avec l'arc correspondant à l'unité d'angle, et que l'on prend naturellement pour unité d'arc.

(') En d'autres termes, si l'on prend pour unité d'arc l'arc correspondant à l'unité d'angle, en exécutant les opérations nécessaires pour l'évaluation numérique de l'angle, on se trouvera exécuter en même temps les opérations qui conduisent à l'évaluation numérique de l'arc, et l'on arrivera de part et d'autre au même réfultat.

L'unité d'angle étant l'angle droit, l'unité d'arc sera le quadrant.

On exprime cette correspondance en disant qu'un angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

L'avantage de la substitution des arcs de cercle aux angles consiste à offrir une représentation plus facile à saisir, et à faciliter les opéi^ations graphiques que l'on doit exécuter sur les angles.

Une droite AD {ftg' 36), qui en rencontre une autre, (ait avec les deux parties AB, AG de celle-ci deux angles dont la somme est l'angle CAB = un demi-tour ou deux angles droits.

Fis. 36.

Ces deux angles sont dits supplémentaires, et chacun d'eux est le supplément deTautre.

Si l'on ajoute deux angles supplémentaires, il est clair que leurs côtés non communs seront en ligne droite.

Si deux droites se traversent mutuellement, les angles opposés par le sommet sont égaux, comme ayant même supplément. — On pourrait encore démontrer cette égalité, en retournant la figure de manière que chacun des côtés de l'angle supplémentaire commun vînt coïncider avec l'ancienne position de l'autre côté, auquel cas les deux angles en question seraient amenés à coïncider (M,

On peut encore énoncer la même proposition, en disant que les deux arcs de cercle compris entre deux rayons et entre les prolongements de ces rayons sont égaux entre eux.

(') Nous ferons un continuel usage de ce procédé de retournement toutes les

fois qu'il s'agira de démontrer l'égalité de deux parties d'une même figure. On

peut présenter ce procédé autrement, en concevant que l'on plie en deux la figure

autour de son axe de symétrie, qui est ici la bissectrice de l'angle supplémentaire.

HoiJEL. — Essaù {,

5o EXPOSITION DES PRINCIPES

Deux droites quelconques, rencontrées par une troisième, iorment avec celle-ci huit angles, égaux deux à deux et supplémentaires deux à deux, et auxquels, pour les désigner plus facilement, on a donné les noms de correspondants, à' alternes-internes , à' internes cV un même côté, etc.

Si l'on suppose qu'une quelconque des cinq relations suivantes

ait lieu :

1° Angles correspondants \

a" alternes-internes > égaux,

3" alternes-externes J

40 Angles internes d'un même côté j supplémentaires,

5" externes )

les quatre autres relations ont nécessairement lieu.

Lorsque ces cinq relations existent, les droites CD, EF ne peuvent avoir aucun point commun {fig. 3;). Concevons, en effet,

Fig. 37.

que la moitié de gawîhe de la figure soit rendue mobile, et qu'on lui fasse faire un demi-tour, dans son plan, autour du milieu I de la droite AB. Lorsque le point A sera arrivé en B et le point B en A, on voit aisément que les deux moitiés de la figure coïncideront dans tous leurs points, quelque loin que l'on suppose les droites prolongées. Il ne saurait donc y avoir un point de concours des droites dans une des moitiés de la figure, sans qu'il en existât un autre dans l'autre moitié; et comme l'existence simultanée de deux points de rencontre est contraire à la nature de la ligne droite, il s'ensuit que les deux droites n'ont aucun pomt

commun.

Donc, si l'on fait glisser un angle, de grandeur invariable, le long d'un de ses côtés, supposé fixe, le côté mobile se détache en-

DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENT AIRE. 5l

tièrement de son ancienne position, et ne conserve plus avec elle aucun point commun.

Deux droites situées dans le même plan, et ne pouvant se rencontrer, si loin qu'on les prolonge l'une et l'autre, sont dites parallèles.

Ainsi deux droites qui forment avec une troisième des angles satisfaisant à l'une des cinq conditions ci-dessus sont parallèles.

En particulier, deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles.

En d'autres termes, par un point donné hors d'une droite, on ne peut pas mener plus d'une perpendiculaire à cette droite.

Il résulte de ce que nous venons de dire que, par un point pris hors d'une droite, on peut toujours mener une parallèle à cette droite (*).

La parallèle étant menée, si on la fait tourner tant soit peu autour de l'un de ses points, elle finira par atteindre la première ligne, lorsqu'on les prolongera suffisamment l'une et l'autre; de sorte que la position de parallélisme est unique.

C'est là un nouveau principe, qui n'est pas reniermé dans les axiomes précédents, et que nous énoncerons ainsi :

Axiome IV. — Par un point donné on ne peut mener qu'une seule parallèle à une droite donnée.

Il résulte de là que :

1° Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entrt. elles ;

2° Deux droites parallèles étant rencontrées, par une sécante, les angles formés satisfont aux cinq relations du paragraphe précédent.

En particulier, toute perpendiculaire à l'une des parallèles est perpendiculaire à l'autre.

Donc, par un point donné hors d'une droite, on peut toujours mener une perpendiculaire à cette droite. Car, si AB {fîg. 38)

(') FbiV Note VII.

est une perpendiculaire menée à la droite donnée en un quelconque de ses points, la parallèle à AB, menée par le point donné G,

Fi g. 38.

sera la perpendiculaire demandée. Nous avons d'ailleurs vu, dans le paragraphe précédent, que cette perpendiculaire est la seule qui puisse être abaissée du point G sur la droite donnée.

Deux angles qui ont les côtés parallèles et dirigés dans le même sens sont égaux. On le voit en les comparant à l'angle formé par l'intersection de leurs côtés prolongés.

Réciproquement, deux angles étant égaux et leurs côtés dirigés dans le même sens, si leurs premiers côtés sont parallèles, leurs seconds côtés seront aussi parallèles.

Il résulte de là que, étant donné un système quelconque de droites, si l'on transporte ce système dans son plan, de manière qu'une des droites du système reste constamment parallèle à son ancienne position, chacune des autres droites restera également parallèle à son ancienne position.

On dit, dans ce cas, que le système a subi un rnôui>étJient de translation parallèlement à lui-même.

Plus généralement, si les deux côtés d'un angle tournent, dans le même sens, chacun d'une même quantité angulaire, autour de deux quelconques de leurs points, la grandeur de l'angle n'aura pas changé. Et réciproquement, si l'on transporte un angle dans son plan, sans le retourner, chacun des côtés de l'angle fera le même angle avec son ancienne position.

En particulier, deux angles qui ont les côtés perpendiculaires, chacun à chacun, sont égaux ou supplémentaires.

Si l'on fait tourner un système de droites dans un plan, autour

DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. Oo

d'un point quelconque qui lui soit invariablement lié, toutes les droites feront avec leurs anciennes positions respectives des angles égaux, dont la valeur commune est dite Vangle de rotation du système.

Deux droites concourantes forment avec une troisième des angles alternes-internes inégaux, dont le plus petit est celui qui est dirigé vers le point de concours.

En d'autres termes, si l'on prolonge un côté d'un triangle, l'angle extérieur ainsi formé est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

Cette proposition est presque évidente, si l'on s'appuie sur l'axiome IV. En effet, si, de la position de parallélisme, on fait passer la droite AB {fig. 89) à la position A'B', en la faisant tour-

Fig. 39.

ner autour du point G, de manière qu'elle rencontre la droite DE en G, il est clair que, dans ce mouvement, l'angle BCF aura augmenté, tandis que son alterne-interne GFD sera resté constant. Donc, puisqu'on avait, avant le mouvement, BCF = GFD, on aura, après le mouvement, B'CF>CFD. De même, A'GF<CFE.

On voit en même temps que la valeur commune des différences B'CF — GFD, GFE — A'GF est égale à l'angle G que font entre elles les droites A'B' et DE. Donc l'angle extérieur, formé par le prolongement d'un côté d'un triangle, est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents, et la somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits.

Si la manière précédente d'établir le théorème sur l'inégalité des angles alternes-internes formés par des droites concourantes est la plus directe et la plus simple, on ne peut nier cependant qu'elle

ne s'appuie sur un axiome dont ce théorème ne dépend pas nécessairement, et il semble alors plus logique de l'établir sans le secours de cet axiome. C'est ce qu'a fait Euclide [pr. 16], et sa démonstration peut être présentée comme il suit :

Soit ABC {^fig- ^o) le triangle donné. Je dis que l'angle ACD est plus grand que son alterne-interne BAC. En effet, joignons

Fi g. 4o.

B au milieu E de la droite AC, et faisons tourner le triangle EBA autour du point E, jusqu'à ce que EA vienne s'appliquer sur son prolongement EC, et par suite le point A sur le point C. L'autre côté EB de l'angle BEA viendra s'appliquer sur son prolongement. La ligne BA partira donc du point C pour aller rencontrer BEF dans l'intérieur de l'angle ACD. Donc l'angle ECF ou BAE sera contenu dans l'angle ACD. Donc enfin l'angle A est moindre que son alterne-interne ACD.

Par la même raison, les deux droites AB, AC étant coupées par BC, l'angle ABC sera moindre que son alterne-interne BCG, ou que son correspondant ACD = BCG.

Donc l'angle extérieur ACD est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

En d'autres termes, dans un triangle, chaque angle est moindre que le supplément de l'un quelconque des deux autres.

Donc la somme de deux quelconques des angles d'un triangle est moindre que deux angles droits.

Tout triangle a au moins deux angles aigus.

Deux droites partant d'un même point ne peuvent avoir une perpendiculaire commune.

Si l'on mène, d'un même point à une droite donnée, une perpendiculaire et une oblique, l'oblique fera un angle aigu avec la partie de la droite qui va du pied de l'oblique au pied de la perpendiculaire.

Après avoir établi ces inégalités indépendamment du quatrième axiome, on démontrera, comme Euclide [pr. 32] , les théorèmes d'égalité fondés sur cet axiome.

Si l'on prolonge un côté d'un triangle, l'angle extérieur est égal à la somme des deux intérieurs non adjacents.

La somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Deux angles d'un triangle, étant donnés, déterminent le troisième.

Du TRIANGLE isoscÈLE. — Soit ABC {fig' 4^) un triangle isoscèle, dans lequel AB = AG. Retournons le plan de ce triangle,

en lui faisant faire une demi-révolution autour de la bissectrice AD de l'angle A; ou, ce qui revient au même, plions la figure en deux, en faisant tourner une des moitiés autour de AD

comme charnière. On voit alors que les deux moitiés de la figure se recouvrent parfaitement.

Si l'on ne veut pas d'abord introduire la bissectrice, on commencera par faire voir que le triangle retourné A'B'C peut se placer sur sa première position ABC. Alors la bissectrice de l'angle C'B' A' coïncide avec celle de l'angle BAC, le milieu de C'B' avec le milieu de BC, etc. Donc :

Théorème. — Dans un triangle isoscèle : i° les angles opposés aux côtés égaux sont égaux; 2° la bissectrice de l'angle au sommet est perpendiculaire à la base; 3° elle partage cette base en deux parties égales.

Autre énoncé. — Si d'un point pris hors d'une droite, on mène à cette droite une perpendiculaire et deux obliques égales entre elles : 1" ces obliques s'écartent également du pied de la perpendiculaire; 2"^ elles sont également inclinées sur la perpendiculaire; 3" elles sont également inclinées sur la base donnée.

Donc tout point à égale distance des extrémités d'une droite appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite.

Si donc chacun des deux points A et B de la droite AB {fig. 43) est équidistant des extrémités G et C de la droite CC, AB sera perpendiculaire sur le milieu de CC.

Autre énoncé. — Si l'on joint, dans un cercle, le centre aux deux extrémités d'une .corde : i" les deux rayons ieront avec la corde des angles égaux; 2° la bissectrice de l'angle des deux rayons (laquelle est aussi la bissectrice de l'arc) est perpendiculaire à la corde; 3° elle partage cette corde en deux parties égales.

Donc, si deux cercles ont deux, points communs, la ligne des centres est perpendiculaire sur le milieu de la corde commune.

Remarque. — La bissectrice de l'angle A {fig- 40 satisfait à quatre conditions :

i" Elle passe au point A;

n" Elle partage l'angle A en deux parties égales ;

3" Elle passe au milieu D de BC ;

4° Elle est perpendiculaire à BC.

Or deux de ces quatre conditions, combinées convenablement, déterminent complètement la droite AD. De là résultent autant

de réciproques du théorème précédent. Ainsi, dans un triangle ïsoscèle :

La droite qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire à cette base, et bissectrice de l'angle au sommet;

La perpendiculaire abaissée du sommet sur la base partage cette base et l'angle au sommet, chacun en deux parties égales 5

La perpendiculaire élevée sur le milieu de la base passe au sommet, et partage l'angle au sommet en deux parties égales.

On peut énoncer encore ces réciproques comme il suit :

Dans un cercle, la droite qui joint le centre au milieu d'une corde est perpendiculaire à la corde et bissectrice de l'arc ;

La perpendiculaire abaissée du centre sur une corde est bissectrice de la corde et de l'arc ;

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de l'arc.

Considérons maintenant un triangle qui a deux angles égaux, ces deux angles étant nécessairement aigus.

En retournant le triangle et l'appliquant sur son ancienne position; ou encore, en pliant la figure autour de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la base (*), on voit que les deux moitiés de la figure coïncident l'une avec l'autre; par conséquent, le triangle est isoscèle.

Autre énoncé, — Deux obliques également inclinées sur la base sont égales, et par suite s'écartent également du pied de la perpendiculaire.

Autre énoncé. — Si deux droites, coupées par une troisième,

( internes ) forment avec celle-ci des angles \ \ d'un même côté

externes

i correspondants ] alternes-internes \ supplémentaires, les alternes-externes ) trois droites forment un triangle isoscèle.

(') Cette perpendiculaire rencontre les deux côtés au-dessus de la base (axiome IV et corollaires).

Dans ce cas, on désigne souvent les deux premières droites sous le nom à'' anti-parallèles par rapport à la troisième.

Soit enfin un triangle, dans lequel le sommet se trouve sur la perpendiculaire élevée au milieu de la base.

En retournant la figure, ou en la pliant autour de la perpendiculaire, on voit que le triangle est isoscèle.

Ainsi un triangle dans lequel la perpendiculaire élevée au milieu de la base passe par le sommet est isoscèle.

Autre énoncé. — Tout point de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est équidistant des deux extrémités de cette droite.

Autre énoncé. — Deux obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales.

De cette proposition, jointe à sa réciproque du § 20, il résulte que la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le lieu géométrique des points équidistants des deux extrémités de cette droite.

En d'autres termes, c'est le lieu géométrique des centres des cercles qui passent par les extrémités de la droite.