SUR LA

mALISATION SUCCESSIVE DE L'IDÉE DE QUANTITÉ

DANS L'ANALYSE MTHÉMATIQUE PAR M. J. HOÙEL

Prolosseur de Malhématiques à la Faculté des sciences de Bordeaux.

Les calculs abstraits qui font l'objet des Mathématiques pures sont des combinaisons de certaines opérations fondamentales, dont l'emploi plus ou moins réitéré suffit pour déterminer les inconnues d'une question, soit avec une exactitude rigoureuse, soit avec une approximation illimitée.

Les opérations sont possibles sous certaines conditions, et dépendent de la nature des objets qui leur sont soumis et du champ de variation plus ou moins restreint où elles doivent avoir lieu.

On appelle en général quantité tout ce qui peut être l'objet d'une opération mathématique.

La définition de la quantité comprend non seulement les objets réels, considérés au point de vue du nombre et de la grandeur, mais encore les signes d'opération eux-mêmes.

Ainsi, un nombre est le symbole de l'addition de plusieurs quantités, considérées, par définition, comme identiques entre elles et que l'on nomme unités. Les opérations sur les nombres sont entièrement indépendantes de la nature des unités, et elles ne s'appliquent qu'au symbole de l'opération de la numération, en vertu de laquelle les groupes d'unités sont connus.

T. V {i" série). 10

ISO J. HOiÏEL.

Une portion de ligne droite peut être considérée comme le signe du déplacement d'un point ou d'une infinité de points, que l'on transporte à une distance donnée et dans une direction donnée. On désigne ce signe de déplacement sous le nom de vecteur.

Un angle, au lieu de signifier l'écart existant entre deux directions fixes, deviendra le symbole de la rotation autour d'un point fixe d'une droite qui passe d'une direction donnée à une autre, en entraînant tous les points liés invariablement avec elle. Considéré sous cet aspect, le signe de l'opération de la rotation correspondante à un angle donné prend le nom de verseur.

Celte conception de la quantité tend à prévaloir de plus en plus dans les Mathématiques, de môme que la méthode fondée sur l'étude génétique des quantités finira par l'emporter, au point de vue de l'enseignement et des recherches scientifiques, sur les anciennes mélhodes contemplatives, qui régnent encore presque sans partage dans les Traités de Géométrie élémentaire.

D'après ce que nous venons de dire, il faut se garder de confondre, comme on le fait trop souvent, la notion de quantité avec celle de grandeur, qui correspond à un cas très particulier de la quantité ('). Nous conserverons au mot grandeur sa signification habituelle, tandis que nous entendrons le mot quantité dans son sens le plus large.

Les règles de la combinaison des opérations mathématiques dépendent uniquement de certaines propriétés essentielles de ces opérations, que l'on pourrait appeler propriétés comhinatoires.

Ce n'est pas d'après les effets physiques auxquels elles corres" pondent, ou d'après les moyens matériels qui servent à les eff'ectuer que l'on classe les opérations. Leurs définitions générales expriment seulement l'ensemble des propriétés combinatoires

(') Le mot de quantité lui-même, en ayant égard à son élymologie, ne représente pas exactement l'idée que nous y attachons. Mais nous avons reculé devant l'introduction d'un néologisme de plus.

GÉNÉRALISATION DE l'iDÉE DE QUANTITÉ. \^i

qu'elles possèdent, et l'on appelle du même nom des opérations qui, tout en présentant des dissemblances apparentes dans leurs applications comme dans leurs moyens d'exécution, ont le même ensemble de propriétés essentielles.

Nous commencerons l'étude des opérations fondamentales de l'Analyse par le cas le plus simple, celui qui a servi de type aux cas plus compliqués, et dans lequel on peut reconnaître immédiatement l'existence des propriétés combinatoires des opérations. En passant ensuite aux cas plus généraux, nous désignerons par les mêmes noms les opérations qui jouiront des mêmes propriétés combinatoires, et c'est la condition de la permanence de ces propriétés qui nous servira de guide dans le choix des définitions des opérations généralisées. C'est en cela que consiste ce que Hankel a nommé le principe de permanence des règles du calcul.

Il peut arriver que, dans certains cas, la nature même de la généralisation appliquée à l'idée de quantité rende impossible la conservation de certaines propriétés des opérations. C'est ce qui a lieu lorsqu'on veut étendre les règles du calcul aux opérations de la Géométrie à trois dimensions, et de là proviennent les difficultés que l'on rencontre dans le Calcul des Quateniions.

Considérons d'abord une multitude d'objets, désignés tous par une même dénomination, qui exprime une qualité commune quelconque. Chacun de ces objets sera une unité.

En faisant abstraction de toute autre qualité que la qualité commune, toutes les unités seront considérées comme égalrs entre elles.

Si avec ces unités on forme divers groupes, ces groupes, au point de vue où nous sommes placés, ne différeront entre eux que par le nombre des unités dont chacun est composé.

Le nombre est une propriété primordiale et indéfinissable, et l'on n'ajoute guère à la clarté de cette idée en disant que le nombre est la loi de formation d'une collection d'unités au moyen des unités individuelles.

bÊPARTMENT OF MATHEMAT' UNIVERSITY OF TORCÎ !T

d52 J. HOÛEL.

On a inventé, pour distinguer les nombres, des noms et des signes spéciaux, comme un^ deuxj trois, etc., ou 1,2, 3, etc. Ces noms et ces signes ont été conçus d'une manière plus ou moins systématique, susceptible d'une plus ou moins grande extension. La méthode suivie dans cette nomenclature porte le nom de numération.

Toutes les méthodes systématiques de numération, les seules qui puissent s'étendre aux nombres un peu considérables, reposent sur le groupement successif des unités élémentaires en unités d'ordres de plus en plus élevés. Ces groupes étant formés, on considère le nombre total comme le résultat de la fusion de tous ces groupes partiels en un groupe unique, c'est-à-dire comme le résultat d'une addition de ces groupes.

\^ addition est, en général, l'opération qui consiste à réunir deux ou plusieurs groupes d'unités en un seul, et, connaissant les nombres d'unités de chaque groupe partiel, à en conclure le nombre d'unités du groupe total.

Dans la numération ordinaire, on défmit un nombre quelconque comme étant le résultat de l'addition de groupes des divers ordres successifs. D'après cela on peut dire que l'opération de la numération est un cas particulier de l'addition. Donc la numération jouira de toutes les propriétés de l'addition.

Nous commencerons par étudier les propriétés de l'addition dans le cas le plus simple, celui oii les unités sur lesquelles on opère sont des objets réels et distincts.

Nous n'avons pas à nous occuper des moyens par lesquels on réalise physiquement cette réunion des groupes d'unités en un seul. Ces moyens varient avec la nature des unités; ainsi Ton opère soit en comptant les unes à la suite des autres les unités contenues dans les groupes successifs, soit en portant les unes au bout des autres les diverses unités de longueur qui composent plusieurs longueurs données, etc. Nous n'avons ici à nous occuper que des opérations faites au moyen des nombres.

Dans chacun des cas que nous venons de citer, le nombre des objets ne peut varier lorsqu'on les compte dans le même ordre,

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 1S3

sans en introduire de nouveaux et sans en supprimer. Donc Taddition est une opération conduisant à un résultat unique et déterminé, ce que Ton exprime en disant que

1° L'addition est une opération uniforme.

Pour que l'addition d'un nombre à un autre n'altère pas la valeur de cet autre, il faut et il suffit que le premier nombre soit nul, ce que l'on désigne par le symbole zéro.

Si nous convenons d'appeler module d'une opération la valeur qu'il faut donner à l'un des termes de l'opération pour que l'introduction de ce terme n'ait pas d'influence sur le résultat, nous pourrons dire que

2*^ Le MODULE de l'addition est zéro.

Si, en comptant une à une, à la suite les unes des autres, les unités qui composent deux groupes a et b, on commence une première fois par le groupe a, une seconde fois par le groupe b, on aura compté les mêmes unités, seulement dans un ordre différent, ce qui ne peut influer sur le nombre total, puisque les unités sont considérées comme identiques entre elles. Donc, dans l'addition de deux nombres, on peut intervertir l'ordre des termes. On verrait pareillement qu'il en est de même pour l'addition de plusieurs nombres. Cette propriété de l'addition s'énonce en disant que

3° L'addition est une opération commutative.

Si, dans l'addition d'un nombre quelconque de groupes, on remplace deux ou plusieurs groupes par leur somme, on verrait encore de la même manière que le changement de situation des unités n'en peut altérer le nombre. Donc on peut associer deux ou plusieurs groupes pour en former un seul, c'est-à-dire que

4° L addition est une opération associative.

Telles sont les quatre propriétés fondamentales de l'addition, sur lesquelles reposent toutes les règles relatives à cette opération.

Nous appellerons addition toute opération possédant ces quatre propriétés.

154 J. IIOÛEL.

L'addition est toujours possible, lorsque le champ de variation de la grandeur de même espèce que les grandeurs ajoutées est illimité, comme Test, par exemple, la série des nombres. Mais il y a des cas où l'opération devient impossible, si le champ de variation de la grandeur est restreint. Ainsi l'on ne pourrait porter sur une longueur de 6 mètres la somme de deux longueurs, l'une de 3 mètres et l'autre de 4 mètres.

On nomme opération inverse d'une opération donnée, considérée comme directe, une autre opération ayant pour but de trouver un des termes de l'opération directe, connaissant tous les autres termes et le résultat de cette dernière opération.

L'opération inverse de l'addition, la soustraclioiij a ainsi pour but, connaissant la somme c = a + 6 de deux nombres et l'un de ces nombres a, de trouver l'autre nombre b.

La soustraction est, comme l'addition, une opération uniforme; mais elle ne jouit pas des autres propriétés de l'addition.

La somme c, dont a et 6 sont les parties, est dite phis grande que chacune de ces parties; ou, ce qui revient au même, chacune des parties a ei b est dite moindre que la somme c.

Étant donnés deux nombres a, c, l'opération de la soustraction c — a sera toujours possible si c est plus grand que a ou tout au moins égal à a. Dans ce dernier cas, le reste sera égal au module zéro de l'addition.

Si c est plus petit que a, la soustraction c — a est impossible, et le symbole c — a est absurde.

Si un polynôme a ses termes les uns additifs, les autres soustractifs, on obtiendra sa valeur en effectuant les opérations dans l'ordre indiqué, ce qui donne le même résultat que si l'on retranchait la somme des termes soustractifs de celle des termes additifs; mais, pour que cette dernière opération soit possible, il faut que la somme des termes additifs surpasse celle des termes soustractifs. Dans ce cas, on pourra intervertir à volonté l'ordre des termes du polynôme, en conservant à chacun d'eux son signe,

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 155

et considérant chaque terme soustractif conime devant être retranché indifféremment des termes additifs qui le précèdent ou de ceux qui le suivent.

D'après cela, si l'on ajoute ou qu'on retranche à chacun des nombres a, h un même nombre d, tant que d sera moindre que 6, la différence {a — d) — {h — d) =^a' — b' sera égale à a — h, et l'on aura a — d '> h — d ou a' > 6'. Mais si le nombre d surpasse 6, le reste h — d prendra la forme négative — {d — h), sans que le résultat final ait cessé d'être égal à a — &. On continuera, dans ce cas, à écrire a' > h' ou a' — 6' > 0, h' étant le nombre négatif — {d — h). Donc, au point de vue de l'addition et de la soustraction, on devra considérer les symboles d'opération appelés nombres négatifs comme étant moindres que tout nombre positif et que zéro, et comme d'autant plus petits que leur valeur numérique est plus grande.

L'addition de plusieurs quantités numériques égales entre elles se nomme multiplication; la valeur commune des quantités ajoutées est dite le multiplicande; le nombre des quantités ajoutées est le multiplicatenrj, et le résultat est le produit.

L'addition, étant généralement une opération uniforme, l'est encore dans le cas particulier des termes égaux. Donc

i° La multiplication est une opération uniforme.

En vertu de la commutativité et de l'associativité de l'addition, on peut remplacer l'addition des nombres égaux au multiplicande par celle des unités qui les composent, puis associer ensemble toutes les premières unités de chaque groupe, puis toutes les deuxièmes unités, et ainsi de suite. Il en résultera autant de groupes qu'il y avait d'unités dans le multiplicande, chaque groupe étant formé d'autant d'unités qu'il y en avait dans le multiplicateur. Il résulte de là que le produit n'est pas altéré lorsqu'on échange entre eux les rôles du multiplicande et du multiplicateur.

On verrait de même, en considérant un produit de trois

156 i. HOÛEL.

l'acleurs {a X b) X c, ou, comme on écrit plus simplement a X b X c, que Ton peut intervertir Tordre des deux derniers facteurs. Il suffit de considérer a X b comme un groupe de nombres a, et de réunir les c premiers nombres a de chaque groupe, puis les c deuxièmes nombres a, etc., jusqu'aux c ^yûmes nombres a, ce qui donnera b groupes de c fois a, c'està-dire a X c X b.

De même pour le cas d'un nombre quelconque de facteurs.

Par conséquent,

:2° La miiUiplication est une opération commiitative.

On démontre de même que

3" la multiplication est une opération associative.

Le produit de a par l'unité, ainsi que le produit de l'unité par a étant l'un et l'autre égaux à a, il en résulte que si l'un des facteurs d'une multiplication est l'unité, le produit sera égal à l'autre facteur. Donc

4° Le module de la multiplication est Tunité.

Si le multiplicande est le module zéro de l'addition, le résultat est évidemment nul.

Pour que la multiplication ne perde pas dans ce cas sa propriété commutative, et que l'on ait encore a X 0 = 0 X et, il suffit de convenir que la multiplication de a par zéro est une autre manière d'écrire 0 X «• Dès lors on pourra dire que

5° Si Vun des facteurs dun produit est zéro, le produit est aussi zéro.

Si le multiplicande est un polynôme

et que l'on effectue l'addition de m quantités égales à ce polynôme, on trouvera pour résultat un polynôme ayant pour termes ceux du multiplicande multipliés chacun par m et précédés chacun de son signe primitif. Donc

On énonce cette proposition en disant que

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 157

6° La muliiplication est une opération distributive relativement à V addition et à la soustraction.

L'opération inverse de la multiplication est la division, qui a pour but, connaissant un produit et l'un de ses facteurs, de trouver Vautre facteur. En vertu de la commutativilé de la multiplication, cette définition peut se ramener à dire que la division consiste à trouver combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Ce nombre se nomme quotient ou rapport des deux nombres donnés.

Cette opération est le plus souvent impossible, tant que Ton n'introduit dans les calculs que les nombres entiers; car, sur n nombres entiers consécutifs, un seul est divisible par n.

Mais l'Arithmétique enseigne à trouver dans tous les cas combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende, c'està-dire à déterminer entre quels multiples consécutifs du diviseur le dividende est compris. On dit alors que le quotient est connu à moins d'une unité près.

Si l'on a a = 6 X c, on en tire, d'après les propriétés de la multiplication, n étant un nombre quelconque,

aXw = (6Xw) Xc.

Donc on aura

On ne change donc pas le rapport de deux nombres en multipliant ces deux nombres par un même nombre arbitraire.

Un nombre quelconque c peut être représenté par le rapport de deux nombres a et b, tels que a soit égal k b X c. D'après ce que nous venons de voir, ces deux nombres a^ b peuvent être remplacés par des équimultiples quelconques. On peut aussi supposer

158 J. HOÛEL.

que ces deux nombres représentent des unités d'une même espèce quelconque.

L'égalité de deux rapports

s'appelle une proportion.

En multipliant les deux rapports par le produit b X b'^ on en déduira l'égalité des produits de chacun des dividendes par le diviseur de l'autre.

Réciproquement, si a est un multiple de b, l'égalité

(2) aXb' = a'Xb

entraînera la proportion (1).

Si a était divisible par a', la même égalité (2) donnerait aussi la nouvelle proportion

Le produit de m facteurs égaux à a est dit la m'^'" puissance de a, et l'on désigne celte puissance par le symbole a"', a étant la base et m Vexposant.

Des propriétés de la multiplication résulte la règle pour la multiplication de deux puissances, exprimée par l'égalité

On en tire réciproquement, en posant m -{- n = p, h règle pour la division des puissances,

Pour p = n, le quotient a" : a" devient égal à l'unité, tandis que la formule précédente donne

On fera rentrer ce cas dans le cas général, en convenant quo

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 189

le symbole a" désigne l'unité, quel que soit a. Ainsi, tout nombre élevé à une puissance d'exposant égal au module zéro de l'addition représentera le module 1 de la multiplication.

Si l'on fait le produit de n puissances de même exposant m, on aura

On trouve encore l'égalité

fjtnn + m'n +m''n+ ...f

^(m + m' + m<'+ ...]Xn-

Ces deux relations expriment des propriétés de l'élévation aux puissances analogues à la commutativité et à la distributivité dans la multiplication des exposants.

L'élévation aux puissances a*, ne jouissant pas de la commutativité relativement à ses deux termes a et b, donnera lieu à deux opérations inverses distinctes, répondant aux deux problèmes suivants :

4° Étant donnés la puissance a^ = c et l'exposant b, trouver la base a ;

2° Étant données la puissance a* = c et la base a, trouver l'exposant b.

Les cas de possibilité de ces deux opérations sont encore plus restreints que ceux de la division.

L'Arithmétique nous enseigne à trouver la racme a' de la plus grande 6'^"' puissance contenue dans c, et aussi l'exposant b' de la plus haute puissance de a contenue dans le même nombre c. La solution de ces deux problèmes fournit ensuite les moyens d'obtenir d'autres solutions indéfiniment approchées.

Les résultats que nous venons d'obtenir pour les nombres absolus, qui représentent des objets isolés, inertes et invariables,

s'appliquent également au cas où les unités sont des portions égales d'une même grandeur continue, telle qu'une ligne droite indéfinie, une grandeur angulaire, un temps, etc.

Si l'on juxtapose à la suite les unes des autres des unités de longueur, par exemple, ces unités formeront une ligne unique, que l'on pourra représenter par le nombre des unités juxtaposées. Si l'on place de même les unes au bout des autres plusieurs des longueurs ainsi obtenues, on formera une ligne contenant un nombre d'unités égal à la somme des nombres des unités contenues dans les diverses parties, et l'on appellera cette ligne la somme de ces mêmes parties.

11 existera ainsi une correspondance exacte entre l'addition des nombres abstraits d'unités et la juxtaposition des segments représentés par ces nombres. D'après cela, cette juxtaposition pourra être désignée par le même nom d'addition que l'opération arithmétique, et il est facile de vérifier qu'elle possède toutes les propriétés que nous avons reconnues dans l'addition des nombres d'unités d'espèce quelconque.

Il en sera de même pour la soustraction des longueurs, tant que l'on considérera celles-ci comme des grandeurs existantes et invariables. On ne pourra, par exemple, soustraire une plus grande longueur d'une plus petite.

Maintenant, au lieu de considérer les lignes comme ayant des grandeurs existantes, et susceptibles d'augmentation indéfinie, mais ne pouvant décroître au delà de zéro, introduisons dans nos symboles l'idée de variation et de mouvement, et, au lieu de cette forme immobile de la ligne considérée en elle-même, substituons-y la notion d'un symbole d'opération, d'un vecteur indiquant qu'un point mobile doit se transporter à une certaine dislance, sur une certaine droite et dans un certain sens. Tout ce que nous avons dit jusqu'ici sur le calcul des qudiniliés positives subsistera; mais nous pourrons maintenant généraliser les opérations que nous avons décrites, et arriver à faire disparaître par ce moyen les cas d'impossibilité que nous avons rencontrés.

Étant donnée une droite indéfinie dans les deux sens, si un

GÉNÉRALISATION DE l'iDÉE DE QUANTITÉ. 161

point, mobile sur celte droite, se déplace une première fois d'une distance de a unités dans un certain sens, que nous appellerons le sens direct pour le distinguer du sens opposé ou sens rétrograde; s'il se déplace une seconde fois de b unités dans le même sens direct, Teffet définitif de ces deux déplacements successifs sera identique à celui qui résulterait d'un déplacement unique, dans le même sens, et d'une distance de a + 6 unités de longueur.

Si l'on étudie maintenant les propriétés de cette opération de déplacement, on reconnaît que :

l*» Le résultat de ces deux déplacements combinés sera uniforme, comme celui de l'addition des nombres a ei b;

2° Si l'on permute l'ordre des déplacements, le résultat ne changera pas;

3° Si l'on considère plusieurs déplacements successifs, on pourra remplacer deux ou plusieurs d'entre eux par le déplacement correspondant à la somme de leurs longueurs;

4° Si l'un des déplacements est nul, le déplacement total se réduira à l'autre déplacement partiel.

Donc l'opération de la combinaison de plusieurs déplacements de même sens jouit des mêmes propriétés qile l'addition des nombres, et pourra, par conséquent, recevoir le nom d'addition des déplacements.

Considérons maintenant deux déplacements de sens contraires. Si nous supposons, pour fixer les idées, que le premier ait lieu dans le sens direct et le second dans le sens rétrograde, il est clair que le résultat de ces deux déplacements équivaudra à un déplacement unique, dirigé dans le même sens que celui des deux premiers qui a la plus grande longueur, et ayant lui-même une longueur égale à la différence des longueurs des déplacements combinés. Ainsi, si a et 6 sont les longueurs données, le déplacement résultant sera,

pour a>&, un déplacement de longueur a — b dans le sens direct,

162 J. HOÛKL.

et, pour a<b, un déplacement de longueur b — a dans le sens rétrograde.

Donc, si dans le calcul on se sert de symboles représentant uniquement la longueur sans indiquer la direction, ce cas le plus simple de la combinaison de deux déplacements opposés présentera deux solutions différentes, qui non seulement seront ex primées par deux notations différentes, a — 6 et 6 — «, mais qui exigeront, de plus, qu'on y joigne la désignation du sens dans lequel doit être compté le résultat.

Pour trouver le moyen de remédier à ces inconvénients, remarquons d'abord que l'opération en question, considérée en elle-même, quel que soit le sens du résultat, jouit des mêmes propriétés que l'addition. En effet,

1° Le résultat d'un déplacement a, direct ou rétrograde, suivi d'un déplacement b, direct ou rétrograde, équivaudra à un déplacement unique et déterminé, soit direct, soit rétrograde;

2" Le résultat ne change pas si l'on effectue le déplacement b avant le déplacement a, en leur conservant leurs sens respectifs;

3° Si l'on considère trois déplacements successifs a, b, c, déterminés chacun en grandeur et en sens, on pourra obtenir le résultat de leur combinaison soit en combinant a avec b, et le résultat avec c, soit en combinant a avec le résultat de 6 et de c;

4° Le résultat est égal à a, si 6 est de longueur nulle.

On reconnaît ici les propriétés fondamentales de l'addition des nombres, et l'on est dès lors conduit à donner le nom d'addition à la combinaison des déplacements de sens différents, en convenant de faire représenter aux lettres a, b, c, ..., non plus seulement les longueurs des déplacements, mais encore leurs sens respectifs.

Dès lors le symbole a + 6 ne signifiera plus que la longueur a doit être augmentée de la longueur b, mais que le déplacement a, de longueur et de sens donnés, doit être suivi du déplacement b, de longueur et de sens donnés. Cette nouvelle opération pourra indifféremment correspondre à une addition ou à une soustraction des longueurs a et &.

GÉINÉRALISATION DE l'iDÊE DE QUANTITÉ. d63

Si nous désignons par c le résultat des deux déplacements a et b, nous pourrons écrire, l'opération directe étant commutative,

a+ h:=c, ou h + a^=c.

L'opération inverse, qui consiste, étant données la somme c et l'une des deux composantes a ou 6, à déterminer l'autre composante, portera naturellement le nom de soustraction, et s'indiquera par le même signe que la soustraction des nombres. On aura ainsi

a=zc — b, ou b:=c — a.

Or, celte soustraction, qui change le résultat du déplacement c = a -{- b dans le seul déplacement a, s'opère évidemment en faisant succéder au déplacement c un déplacement égal et de sens contraire au déplacement b. Nous pouvons donc considérer le symbole de soustraction — b comme représentant un déplacement égal et de sens contraire à 6; de sorte que le signe — peut être interprété comme un symbole indiquant le renversement du sens d'un déplacement.

Dans le cas particulier oij a et 6 sont deux déplacements d'égale longueur et de sens opposés, la- succession de ces deux déplacements ramènera le point décrivant à sa place primitive, et par suite le déplacement résultant ne changera pas la position initiale; ce déplacement sera donc égal au module de l'opération, c'est-à-dire à zéro. On aura donc dans ce cas

L'opération inverse de cette addition donnera

a = 0 — b, ou b = 0 — a,

ce que l'on peut écrire plus simplement

a := — b, ou 6 = — a.

D'après cela, l'addition du déplacement a peut être remplacée par la soustraction du déplacement b, et vice versa. Cela revient à incorporer au symbole a ou 6 le signe + ou — dont il est

164 J. HOÛEL.

précédé, et alors tout polynôme à termes additifs et souslractifs deviendra, par celte incorporation, un polynôme à termes tous additifs. Ainsi a — h — c + c? pourra être considéré comme représentant la résultante des déplacements a, — h, — c, d, c'est-à-dire comme égal à a H- ( — 6) + ( — c) -\- d, où Ton peut remplacer — 6 et — c par 6' et c', ce qui donne

On voit que, dans le cas des quantités dirigées, c'est-à-dire des quantités pouvant croître indélSniment dans deux sens opposés, telles que les déplacements sur une ligne droite indéfinie, les quantités angulaires, le temps, etc., l'addition et la soustraction ne constituent plus, au fond, qu'une seule et même opération, appliquée dans l'un ou l'autre des deux sens, et que la soustraction, pouvant toujours se transformer en addition, pourra participer alors aux propriétés fondamentales de l'addition.

Ainsi, dans le cas, où nous sommes placés, d'un champ de variation illimité dans les deux sens, la soustraction, comme l'addition, sera toujours possible.

Pour abréger le langage, on convient d'appeler quantités positives les symboles qui représentent des déplacements dans le sens direct, et quantités négatives les symboles qui représentent des déplacements dans le sens rétrograde.

On prend généralement, pour représenter les quantités positives ou négatives, des segments de l'axe fixe pris dans le sens direct ou dans le sens rétrograde à partir de l'origine des distances.

Nous désignerons à l'avenir par le nom de vecteurs ces symboles de déplacement d'un point mobile.

L'addition de m vecteurs égaux entre eux (en longueur et en direction) s'appelle la rmdtiplication de Tun de ces vecteurs par m. Le produit sera de même signe que le multiplicande.

Les deux nombres qui représentent le multiplicande et le multiplicateur sont conimutatifs entre eux, c'est-à-dire, par

GÉNÉRALISATION DE l'iDÉE DE QUANTITÉ. 165

exemple, qu'un mobile parcourt la même distance en marchant pendant 6 secondes avec une vitesse de 2 mètres, ou pendant 2 secondes avec une vitesse de C mètres.

On peut donc procéder à la multiplication des vecteurs de la même manière que pour les quantités abstraites, la nature des unités étant déterminée par des considérations étrangères aux règles de l'Arithmétique.

On peut aussi étendre la commutativité aux signes. Ainsi, si l'on a à multiplier un vecteur négatif — a par m, le produit sera formé de a X wi unités négatives, et peut être exprimé par — (a X *w)> c'est-à-dire par un vecteur de longueur égale à a X w unités portées dans le sens négatif. Or on parviendrait au même résultat en multipliant le vecteur changé de signe + a par le mulliplicaleur — m changé de signe, pourvu que l'on définît la multiplication par — m comme consistante multiplier le multiplicande par le nombre m, et à changer ensuite le signe du produit. On satisfait de cette manière au principe de permanence des règles de calcul.

Ce dernier résultat ne changera pas, si l'on échange entre elles les natures des facteurs en même temps que leurs signes. Ainsi le vecteur — a, multiplié par le nombre m, donnera le même produit que le vecteur — m multiplié par le nombre a.

On peut donc maintenant appliquer cette nouvelle opération de la multiplication par un nombre abstrait négatif au cas où le vecteur considéré — b serait négatif, et le produit par — m s'obtiendra en multipliant d'abord — b par m, puis en changeant le signe du produit — (6 X wi), ce qui donnera + (6 X 'ni) pour le produit de — 6 X — : wi. De là la règle des signes dans la multiplication.

Les propriétés de la multiplication des vecteurs sont les mêmes que pour les nombres absolus, et conduisent aux mêmes règles pour la multiplication de deux polynômes, l'un ayant pour termes des vecteurs, l'autre étant composé soit de nombres absolus, soit

T. V (a*- Série). 11

166 J. HOÛEL.

de nombres positifs et négatifs, qui se comportent comme des vecteurs.

Nous avons vu que la nature de chacun des deux facteurs d'un produit n'influe en rien sur la manière d'obtenir la valeur numérique du produit. On peut donc, à volonté, faire représenter aux symboles qui désignent les facteurs et le produit soit des nombres abstraits, soit des unités de nature quelconque, pourvu que les nombres ne soient pas altérés.

D'après cela, la division de deux vecteurs ne différera de la division des nombres absolus que par la règle qu'il faudra observer pour les signes et qui coïncide avec celle que nous avons trouvée pour la multiplication.

De même que nous avons pu représenter un nombre absolu, d'une infinité de manières, par le rapport de deux grandeurs absolues, de même tout nombre abstrait, positif ou négatif, pourra, d'une infinité de manières, être représenté par le rapport de deux vecteurs, le signe de l'un de ces vecteurs pouvant être choisi à volonté.

Toutes les propriétés des rapports démontrées pour les nombres absolus (n° 7) s'étendent aussi aux vecteurs, en ayant égard aux signes.

De la généralisation de la multiplication découle celle de l'élévation aux puissances.

Le produit d'un nombre pair de facteurs, tous positifs ou tous négatifs, est toujours positif.

Le produit d'un nombre impair de facteurs, tous positifs ou tous négatifs, est de même signe que chacun des facteurs.

De là résulte que :

1° Toute puissance de degré pair d'un nombre, soit positif, soit négatif, est positive ;

2° Toute puissance de degré impair d'un nombre, soit positif, soit négatif, est de même signe que ce nombre.

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 167

Il s'ensuit de là, réciproquement, que la puissance de degré pair a^" peut provenir de Télévation à la puissance 2w soit du nombre -f- a, soit du nombre — a. Donc l'extraction de la racine (2?^)'*'"" d'un nombre positif n'est pas une opération uniforme, puisqu'elle peut être représentée par deux nombres différents + a et — a.

L'extraction de la racine (2 n)'*"" d'un nombre négatif quelconque est une opération impossible, aucun nombre, soit positif, soit négatif, ne pouvant répondre à la question.

L'extraction d'une racine de degré impair 2n + l d'une puissance parfaite a-""^^ est possible et l'est d'une seule manière, quel que soit le signe de celte puissance.

L'autre problème inverse de l'élévation aux puissances, la recherche de l'exposant est, comme l'exlraction des racines, sujet à des exceptions sur lesquelles nous reviendrons plus tard.

Jusqu'ici l'opération inverse de la multiplication n'a été possible que dans des cas particuliers, ceux où le dividende est un multiple exact du diviseur.

Celte impossibilité est absolue, toutes les fois que les unités que l'on considère sont, par leur nature, indivisibles. Ainsi il est absolument impossible de distribuer dix hommes en trois groupes égaux. Une roue dentée ayant 35 dents, on ne pourra jamais déterminer le nombre des dents de la roue à laquelle elle transmet le mouvement, de manière que celle-ci tourne quatre fois plus vite.

Mais, dans le cas des nombres d'unités appartenant à des grandeurs continues, comme les distances, les temps, etc., et dans le cas des signes d'opération représentés par ces grandeurs, le choix de l'unité étant essentiellement arbitraire, on pourra toujours concevoir cette unité divisée en autant de parties égales que l'on voudra, et prendre une de ces parties pour nouvelle unité. Cette division de l'unité s'opère par des moyens spéciaux à chaque espèce de quantités, soit exactement, soit avec une approximation indéfinie.

168 J. HOilEL.

Dans cette hypothèse, si Ton propose de diviser un i (mhre par un nombre b, on commencera par partager chacune des unités de a en 6 parties égales. Les a unités contiendront ensemble a X ^ de ces parties, et par suite, la quantité représentée par le nombre a d'unités primitives le sera maintenant par le nombre a X ^ de nouvelles unités.

Ce nombre étant à présent divisible par b, le quotient de la division sera représenté par a nouvelles unités. Puisque chacune de celles-ci est le résultat de la division de Tancienne unité par b,

on pourra la représenter par le symbole r • Donc l'ensemble des

a nouvelles unités sera égal à a fois la quantité t j ou à 7 X « >

relativement à l'ancienne unité.

Donc le résultat de la division de a par b est égal à a fois la jième partie de l'ancienne unité, c'est-à-dire que Ton aura

ce que l'on exprime en disant que le quotient de deux nombres est une fraction ayant le dividende pour numérateur et le diviseur pour dénominateur.

Nous emploierons désormais la notation j pour désigner la valeur commune des résultats de ces deux opérations.

On peut facilement vérifier que cette fraction j X «, étant

multipliée par b, reproduit le dividende a. Si b est un nombre absolu, t sera de même signe que a; si b

est un nombre négatif, r sera de signe opposé à celui de a,

comme cela résulte des règles de la multiplication de (y X «)

par b.

La multiplication qui donne 7 X « pourra être considérée

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 169

comme étant commutative, si dans le produit a X t on définit la

multiplication par t comme équivalente à la division par b.

1 ci

Si, au lieu de multiplier - par a, on multipliait t ou t X c

par a, on voit facilement que l'on aurait les diverses égalités

(lxc\xa = j^X{cXa) = -^-X{aXc) = (-^Xa]Xc c .^ . cX a aX c a .^

Il s'ensuit de là que l'expression t X «^ pourra être remplacée

par a X 7' si Ton définit le produit d'un nombre entier par une fraction comme étant obtenu en multipliant l'entier par le numérateur de la fraction, et en divisant le produit par le dénominateur de cette même fraction.

Si l'on remplace maintenant l'entier a par une fraction -, il

(i c résulte de la même définition que le produit de -: par t est égal

a, X c à . • De même pour un plus grand nombre de facteurs.

La multiplication des fractions se ramenant à deux multiplications de nombres entiers, l'une et l'autre commutatives et associatives, on voit que la multiplication des fractions jouit également de ces deux propriétés.

De l'égalité - = a X j il résulte que toute division par un

nombre b peut être changée en une multiplication par la fraction T • b

De même ^X^=(<ïXdx(cX^j=aXTXcX

Donc, à l'aide des fractions on peut changer toutes les divisions en multiplications.

De légalité I - X 3 ) X - = r on conclut que t X j est le

, , ,. . . , et d . , , , ,

quotient de la division de v par -, ce qui donne la règle connue

de la division des fractions.

Qi C fl X C

De la formule j X -,= rrri on conclut, en faisant d = c, ''«"5 = 0 = '''

a aXc h~Vxc

De là on tire les règles pour la réduction au même dénominateur et pour la simplification des fractions.

OasL-^+j = -,Xa+-Xb = -Xia + b) = —-r-, d ou l on d d d d d d

conclut aisément la propriété dislributive de la multiplication des fractions par rapport à Taddition.

j\ = r;;;» CtC.

Tous ces résultats subsistent lorsqu'on remplace les quotients de nombres entiers par des quotients de nombres fractionnaires.

Les nombres entiers et les nombres fractionnaires s'appellent d'un nom commun nombres rationnels.

Les règles pour l'élévation aux puissances des nombres rationnels sont les mêmes que pour les nombres entiers. On a, m et n désignant des entiers positifs,

a"* X «" = tt™^"- Il en résulte, pour p > n,

or Pour p = n, le quotient serait l'unité, tandis que la règle