GÉNÉRALISATION DE L'IDÉE DE QUANTITÉ

précédente donnerait pour ce quotient l'expression a\ Pour que la règle subsiste, il suffit de définir, comme nous l'avons déjà fait au n° 8, la puissance d'exposant zéro d'un nombre quelconque, positif ou négatif, entier ou fractionnaire, mais différent de zéro, comme représentant l'unité.

Pour p <C n,\e quotient — est égal à

tandis que la règle ci-dessus donnerait

Cette règle subsistera donc, si l'on définit une puissance négative a~"' comme représentant l'unité divisée par a".

On peut aisément s'assurer que, d'après ces conventions, les règles établies plus -haut pour le calcul des puissances positives s'appliqueront toutes aux puissances à exposants négatifs.

On pourra ainsi mettre une fraction sous la forme du produit de son numérateur par la puissance de degré — 1 de son dénominateur.

On voit maintenant comment l'introduction des fractions permet d'étendre généralement aux proportions entre nombres fractionnaires toutes les propriétés que nous avions établies, avec des restrictions, pour le cas des nombres entiers.

Les résultats des quatre premières opérations sur les nombres entiers ou fractionnaires peuvent désormais s'exprimer exactement par des fractions.

On peut aussi transformer, si l'on y trouve avantage, un résultat fractionnaire en un autre résultat, soit exact, soit approché, exprimé au moyen de fractions d'espèce choisie d'avance.

Quant aux racines des nombres entiers, à la recherche desquelles se ramène l'extraction des racines des fractions, on démontre que celles qui ne sont pas exprimables en nombres entiers ne le sont pas non plus en nombres fractionnaires. Mais on peut, à

172 J. HoiiEL.

Taide des fractions, trouver des valeurs dont les m'^™"' puissances différeront aussi peu que Ton voudra d'un nombre donné quelconque, sauf restriction dans le cas où le nombre proposé serait négatif et la racine cherchée d'indice pair.

D'après ce que nous venons de voir, il n'existe aucun nombre fractionnaire qui, élevé à la u'^"" puissance, reproduise un nombre entier ou fractionnaire, pris au hasard, en dehors des exceptions, relativement très rares, que présentent les nombres qui sont des puissances exactes.

Mais nous venons de voir aussi qu'il existe une infinité de fractions dont les puissances n**'"'"' approchent d'un nombre donné a, les unes formant une série croissante de valeurs dont les n''"""" puissances approchent de a par défaut, les autres formant une série décroissante donnant des approximations par excès, et cela de telle sorte qu'un terme de la pretTiière série pourra différer aussi peu que l'on voudra d'un terme de la seconde, sans que cette différence puisse jamais devenir nulle.

Cela lient à ce que la série des nombres fractionnaires peut croître par degrés aussi rapprochés que l'on voudra, mais en laissant toujours des lacunes qu'il est impossible de remplir; tandis qu'une grandeur continue, comme une ligne, un angle, un temps, etc., ne peut varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

On peut donc, lorsque la série numérique fait défaut, employer, comme mode de représentation, des grandeurs linéaires, par exemple, au moyen desquelles il est possible, comme on l'a déjà vu, d'exprimer les nombres soit entiers, soit fractionnaires.

Par exemple, si l'on considère, dans un carré ABDC, le côté AB et la diagonale BG, une construction très simple montre que le carré ABDC est divisible en quatre triangles égaux, tandis que le carré construit sur BG contient huit de ces triangles; d'où l'on conclut que le carré de la diagonale est double de celui du côté. Le rapport des aires de deux rectangles, dont les bases sontcommen-

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 173

surables entre elles ainsi que les hauteurs, étant égal au produit du rapport des bases par celui des hauteurs, il en résulte que les aires de deux carrés dont les côtés sont commensurables entre eux auront pour rapport la deuxième puissance du rapport des côtés. Si Ton compare le carré de AB à un carré dont le côté a pour rapport avec AB une quelconque des fractions dont le carré approche de 2 par défaut ou par excès, ce nouveau carré aura une aire qui approchera autant que Ton voudra de Taire 2 du carré de la diagonale, et celui-ci sera dit la limite du carré variable correspondant tour à tour aux fractions approchées.

On démontre que, si deux séries de grandeui's, l'une croissante, l'autre décroissante, sont telles que la différence d'un terme de la première avec un terme de la seconde puisse décroître indéfiniment, ces grandeurs ne peuvent pas s'approcher indéfiniYnent de deux limites différeates, de sorte que la limite commune des deux suites est connue dès que l'on peut trouver une quantité qui soit à la fois plus grande que chacune des quantités de la série croissante et plus petite que chacune des quantités de la série décroissante.

Dans l'exemple actuel, les lignes dont les carrés approchent indéfiniment du double du carré de AB ont pour limite commune la diagonale AD. Les fractions que représentent ces lignes n'ont pas de limite exprimable en nombres. Si cette limite était exprimable en nombre, on la désignerait par V^. Bien qu'aucun nombre ne puisse représenter la diagonale, si l'on interprète géométriquement les opérations d'arithmétique, la construction du côté du carré double sera possible, et comme cette construction correspond à Textraction de la racine carrée arithmétique toutes les fois que celle-ci est possible, on pourra la désigner, pour le cas actuel, par le signe |/2.

Or l'Arithmétique permettant de calculer deux suites de nombres correspondant aux deux séries de longueurs approchées, le symbole \/^ exprimera quelles sont les opérations à faire pour obtenir les deux suites de nombres représentant des longueurs dont la limite est le résultat de l'opération géométrique k^l.

Ces considérations sont indépendantes de la possibilité de la

174 J. HOilEL.

construction géométrique de la limite des deux suites de valeurs approchées. Il suffît que l'existence de ces deux suites soit démontrée, et que Ton puisse soit construire, soit calculer leurs termes. Faute d'une détermination directe et exacte de la limite, on aura toujours dans la connaissance de ces deux suites un moyen pour comparer cette limite inconnue avec une grandeur donnée, et Ton constatera que cette grandeur diffère de la limite, lorsqu'on pourra trouver un terme de la suite croissante plus grand ou un terme de la suite décroissante plus petit que cette grandeur. Si, au contraire, on reconnaît qu'il n'y a aucun terme de la suite croissante qui soit plus grand, ni aucun terme de la suite décroissante qui soit plus petit, alors la grandeur proposée sera la limite elle-même.

On désignera par un même symbole quelconque et la grandeur continue qui est la limite des valeurs approchées, .et la suite indéfinie des nombres rationnels qui représentent ces mêmes valeurs approchées. Ce symbole, qui rappelle la loi de formation des valeurs approchées d'une quantité incommensurable avec l'unité, se nomme, pour abréger, un nombre incommensurable.

Cette imperfection de l'Arithmétique, qui ne peut représenter exactement qu'une partie infiniment restreinte des quantités continues, est sans inconvénient aucun dans les applications à l'étude de la nature, puisque les opérations d'approximation numérique peuvent toujours être poussées assez loin pour que l'erreur commise échappe à nos moyens d'observation.

L'introduction des nombres incommensurables rendra toujours possibles les deux opérations inverses de celle de l'élévation aux puissances pour des valeurs entières ou fractionnaires de la base. En effet, l'Arithmétique fournit les moyens de trouver les valeurs de X qui satisfont à l'une ou l'autre des équations

ûc"' = b, a^ = b,

la première pour m entier (et pour b positif si m est pair), la seconde pour a positif ainsi que b.

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 173

Si Texposant m est divisible par n, la racine ?i'^°' de a'" sera

a" = C'a/", puisque \a^') = a" "== a"\ Le principe de permanence des règles de calcul nous conduit à continuer l'emploi de la formule

ya'"= an,

quels que soient les entiers m et n, et d'introduire ainsi l'emploi des exposants fractionnaires comme équivalent à celui des radicaux. On vérifierait aisément que les règles relatives aux puissances entières ont lieu également pour les puissances

fractionnaires.

m On peut même considérer — comme étant une quelconque des

fractions qui convergent vers un certain nombre incommensu-

rable, et l'on verra qu'en même temps a" convergera vers une certaine limite déterminée, qui sera une puissance de a d'exposant incommensurable, et qui pourra, dans certains cas, être elle-même un nombre commensurable.

Une puissance d'exposant incommensurable d'une base positive a une seule valeur. Si la base est négative, la même puissance n'est plus exprimable en nombres commensurables ou incommensurables.

Si la base a est positive, ainsi que la puissance b, l'équation a' = b est toujours résoluble, et d'une seule manière. Si a > 1, l'exposant x sera positif ou négatif, suivant que b lui-même sera > 1 ou < 1 ; l'inverse aura lieu pour a < 1 .

Ainsi, à l'aide des nombres positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires, commensurables ou incommensurables, on peut dans tous les cas exécuter les opérations d'addition et de soustraction, de multiplication et de division, d'élévation aux puissances sur les nombres de toutes les espèces désignées.

Il y a encore toutefois exception pour l'extraction des racines, lorsque, la puissance ayant une valeur négative, l'indice de la

176 J, HOÛEL.

racine est un nombre pair ou un nombre incommensurable. Il en peut être de même pour la recherché de l'exposant, lorsque Téquation a"" — b, et que a et 6 ne sont pas tous les deux positifs.

De plus, l'extraction des racines peut admettre, selon les cas, 2, 1 ou 0 solutions.

Ces irrégularités, analogues à celles que nous avons vues disparaître dans les cas traités jusqu'ici, grâce aux extensions apportées à la notion de quantité, nous font soupçonner encore cette fois la nécessité d'apporter à cette notion une généralisation nouvelle.

Jusqu'à présent, nous avons considéré les nombres dirigés, c'est-à-dire les symboles représentant des quantités telles que les déplacements rectilignes, qui peuvent se faire parallèlement à une droite donnée et dans deux sens opposés.

Considérons maintenant des déplacements rectilignes dirigés d'une manière quelconque dans le plan, et que l'on pourra représenter par une longueur rectiligne faisant un angle donné avec une direction fixe, prise pour origine des angles. Nous donnerons encore le nom de vecteurs à ces symboles de déplacement.

L'opération du déplacement d'un point d'une position à une autre peut être désignée de plusieurs manières, dont la plus simple est celle qui consiste à employer deux nombres, l'un exprimant la longueur du déplacement, et l'autre exprimant l'angle que fait la direction du déplacement avec l'origine des angles, ce second nombre étant placé sous forme d'indice à la droite du premier. Ainsi le déplacement dont la longueur est r et qui fait avec l'origine des angles un angle p, compté dans le sens des angles croissants, sera représenté, du moins provisoirement, par le symbole r^. Le nombre r est dit la longueur ou le module du vecteur; p est son argument.

Si l'on suppose une portion quelconque du plan liée invariable-

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 177

ment avec le point décrivant du vecteur, et entraînée avec ce point de manière que la droite indéfinie dont le vecteur r^ faisait d'abord partie soit assujettie à glisser le long de r^, tous les points du plan décriront des droites égales et parallèles à r^, de sorte que le vecteur Vp ne représente pas seulement le déplacement déterminé d'un point, mais encore le déplacement d'une portion de plan, parcourant une longueur donnée r, parallèlement à une droite d'inclinaison donnée p.

On voit, par conséquent, que, si l'on considère le déplacement Vp sous ce dernier point de vue, la ligne Vp pourra être remplacée par toute autre droite égale, parallèle et de même sens.

Si l'on fait parcourir au point décrivant d'abord une ligne AB, puis une seconde ligne BG (le sens du parcours étant indiqué par l'ordre des lettres), ce point sera finalement transporté de A en G, comme il l'aurait été par le déplacement unique A G. Donc, la combinaison de deux déplacements successifs AB, BG pouvant être remplacée par le déplacement A G, on aura le droit de la définir comme égale à A G.

Examinons maintenant quelles sont les propriétés de cette combinaison de déplacements.

1° Gette combinaison est uniforme.

2° Le vecteur A G se réduit à AB, lorsque la longueur de B G se réduit à zéro, quelque direction que l'on puisse attribuer à la longueur évanouissante. De même, si AB s'évanouit, A G se réduit à BG. Donc le module de l'opération est zéro.

3° Etant donnés deux vecteurs a et b, si le point mobile parcourt une première fois a, puis b, et une seconde fois b, puis a, il aura parcouru les côtés d'un parallélogramme, pour arriver chaque fois d'une extrémité à l'autre de la même diagonale. Donc l'opération est commutative.

4° Si l'on parcourt d'abord A B et B G, ce qui revient à parcourir AG, puis, que Ton parcoure CD; si, d'autre part, on parcourt AB, puis le résultat BD des déplacements BG et GD; on aura, dans

178 J. HOÛEL.

les deux cas, pour résultat final le même déplacement AD. On en conclut que Topera tion est associative.

Donc Topération de la combinaison des déplacements consécutifs possède toutes les propriétés caractéristiques de l'addition. Elle pourra donc être appelée elle-même addition des vecteurs, et représentée par le signe +.

L'opération inverse de l'addition AB + BC = AG consiste à trouver un déplacement BG qui, ajouté à AB, reproduise A G. Or, si l'on désigne par GB le vecteur de même longueur que BG, mais de sens opposé, on aura, d'après la définition de l'addition AG + GB = AB. Si Ton représente par le signe — l'opération inverse de l'addition, on aura donc AG — BG = AG + GB = AB. Donc la soustraction s'effectue en ajoutant au terme additif le terme soustractif pris en sens contraire. Ainsi, comme nous l'avons déjà vu dans la théorie des déplacements positifs ou négatifs, l'addition d'un vecteur se change en soustraction, et vice versa, lorsqu'on renverse le sens dans lequel ce vecteur est parcouru.

Ge renversement du sens d'un vecteur équivaut à l'augmentation ou à la diminution de son argument de deux angles droits, de sorte que

rp+7t — — Vp.

En général, un vecteur r^ ne change pas lorsqu'on augmente son argument d'un multiple pair, positif ou négatif, de la demicirconférence ; il changera seulement de signe, si l'on augmente son argument d'un multiple impair quelconque de la demicirconférence; c'est-à-dire que l'on a

^j) -t- 2 fc iT -— rp , ou, en réunissant ces deux formules en une seule.

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 179

Si Ton a plusieurs vecteurs de même argument à combiner ensemble par addition ou par soustraction, on se retrouvera dans le même cas que dans l'addition des lignes dirigées, et si l'on opère par la même règle que celle que nous avons suivie pour l'addition des quantités positives et négatives, on obtiendra pour résultat un vecteur ayant pour longueur l'excès de la somme des longueurs des vecteurs dont la direction répond à l'angle p, diminuée de la somme des longueurs des vecteurs de direction opposée, cette longueur pouvant être positive ou négative.

Cela revient à introduire des vecteurs de longueur négative, que l'on pourra changer en vecteurs de longueur positive en augmentant l'argument d'une demi-circonférence. Ainsi pour changer le signe d'un vecteur, il suffira de changer sa longueur de signe, ce qui équivaut à augmenter l'argument de deux angles droits,

L'addition et la soustraction des vecteurs parallèles à une même droite donne donc pour résultat

fp + fp — r; ± ... r= fp + Tp + (— r")p ± . . . - z={r + r' — r' ± ...)p.

La multiplication d'un vecteur r^ par un nombre entier p, revient à l'addition de p vecteurs égaux à r^,, ce qui donne

Le résultat est le même, comme on le voit facilement, dans le cas où 0 est fractionnaire ou incommensurable.

Si l'on porte sur l'origine des angles l'unité de longueur 0 1 et la longueur Op dont le rapport à 01 est le nombre p, on

Oo

obtiendra le produit du vecteur OA = r^ par p = -^ en construisant sur la base Op, homologue à 01, un triangle OpB

180 J. HOÛEL.

semblable au triangle 01 A; le côté OB du nouveau triangle représentera le vecteur OA X p-

Si Ton fait maintenant tourner le triangle OpB autour de 0 d'un angle 9 — cOp' = BOB', les vecteurs p et OB =(rX pf seront changés en p^ et (r X p)p+3>- Examinons les propriétés de celte nouvelle opération.

1° Elle est uniforme.

2° Le résultat (r X pX^+y étant donné [par deux opérations commutatives et indépendantes entre elles, une multiplication de longueurs et une addition d'arguments, l'opération est commutalive.

3° Si l'on introduit un autre opérateur de plus pj,. le résultat des deux opérations consécutives sera (r X p X ^')p+cf+f- Les opérations qui donnent la longueur et l'argument étant associatives, l'opération finale l'est aussi. Donc la construction est une opération associative.

4° Si l'un des vecteurs a une longueur égale à l'unité et un argument nul, c'est-à-dire s'il se réduit à l'unité absolue, le résultat se réduit à l'autre vecteur. Donc le module de cette opération est Yunité.

5° Si la longueur de l'un des vecteurs s'annule, la longueur du vecteur résultant sera nulle aussi. Donc le résultat sera égal au module zéro de V addition.

6° Considérons deux vecteurs AB, BC, et leur somme AG. Si on les soumet tous les trois à l'opération en question relativement au vecteur p^, il faudra d'abord multiplier leurs modules par p, ce qui donne un triangle AB'C semblable à ABC et semblablement placé. Ensuite on fera tourner ce triangle de l'angle ç, ce qui augmentera de 9 les arguments des trois vecteurs. Donc pour opérer sur la somme AB + BG = AC, on ajoutera les résultats obtenus en opérant sur les deux parties. Donc l'opération est distributive relativement à l'addition.

Il résulte de là que l'opération en question, jouissant des propriétés fondamentales de la multiplication, doit être assimilée à cette dernière opération. Donc la multiplication de deux ou

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 181

plusieurs vecteurs s'effectue en multipliant entre eux les modules et ajoutant les arguments, de sorte que l'on a

fp X 1^ p' ^^^ \f ^ f )p +p' •

L'opération inverse, qui prendra le nom de division, consistera dans la division des longueurs accompagnée de la soustraction des arguments, de sorte qu'on aura

On peut donner à cette opération la forme d'une multiplication, en écrivant

L'élévation aux puissances se fait en élevant la longueur du vecteur à la puissance proposée m, et en multipliant l'argument par m, d'où

Cette formule est vraie pour m entier, quels que soient r et p.

La première des deux opérations inverses de l'élévation des vecteurs aux puissances, l'extraction des racines, sera toujours possible; en d'autres termes, l'élévation d'un vecteur à une puissance fractionnaire quelconque peut toujours s'effectuer.

Soit, par exemple, un vecteur r,, dont nous supposerons

d'abord la longueur r positive, et soit m = - un nombre fractionnaire quelconque, positif ou négatif. On aura

Si la longueur r était négative, on la changerait en une longueur positive en augmentant l'argument j) d'une demi-circonférence, ce qui donnerait

[{-r)pV = {rp^^y = \r'h

c(P+îtj

En particulier, si l'on suppose r négatif et p = 0, ou, ce qui

T. V (2' Série). 12

revient au même, r positif et ]3 = t, et que l'exposant soit une fraction de dénominateur pair, on aura

Ainsi on a

La racine carrée de — 1 est donc représentée par un vecteur de longueur 1, faisant un angle droit avec l'origine des angles. On voit, en effet, qu'en faisant subir deux fois de suite à un vecteur de longueur + 1 Topération désignée par 1„, et qui

consiste en une rotation d'un quadrant, on change ce vecteur en un autre égal à — 1 ; donc (Ï^X = — 1, et par conséquent

in = y^i-

On désigne généralement ce vecteur 1^ par la lettre i.

Lorsqu'un vecteur est défini géométriquement, par la seule considération du résultat final de l'opération, nous avons vu que ce résultat n'est pas changé si l'on altère l'argument d'un multiple quelconque de 2x. Donc la racine w'"'"'' d'un vecteur défini géométriquement a un module de longueur déterminée, mais elle admet une infinité d'arguments différents, qui déterminent n directions distinctes, convenant toutes au vecteur cherché. Ainsi l'on a, quel que soit l'entier k,

Les extrémités de tous ces vecteurs sont situées sur un cercle de rayon Kr, qu elles partagent en n parties égales. Deux solutions sont ou ne sont pas identiques de position, suivant que les nombres 2/c et 2/c' qui leur correspondent sont ou non congrus suivant le module n. Si l'on a

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 183

c'est-à-dire

k' ^k (mod. îi),

alors - — - et "■ différeront par un multiple de 2ir, et les

rayons correspondants à ces valeurs coïncideront.

Si nous comparons ce résultat à celui que nous avons trouvé pour Topera tion analogue relative aux nombres positifs ou négatifs, on voit que les irrégularités et les cas d'impossibilité ont maintenant disparu.

D'abord l'extraction des racines est maintenant une opération multiforme, dont le nombre de solutions est constamment égal à l'indice de la racine, ou, plus généralement, au dénominateur de l'indice fractionnaire réduit à sa plus simple expression.

Ensuite cette opération est toujours possible, quels que soient

la quantité r^ et l'indice — de l'exposant fractionnaire.

Si l'exposant a était incommensurable, on pourrait le considérer comme la limite d'une fraction de dénominateur infiniment grand, et les côtés du polygone dont les sommets correspondent aux diverses solutions de la question se réduisant à zéro, un

point quelconque de la circonférence de rayon r^ pourrait représenter la puissance (r^,)'^. Cette puissance n'a donc que son module qui soit déterminé, son argument étant quelconque.

Il en serait autrement si l'argument p n'était plus défini seulement par une direction dans le plan, mais par le nombre fractionnaire ou incommensurable de circonférences qu'il renferme. Dans ce cas, l'élévation aux puissances devient une opération uniforme, quelle que soit la nature de l'exposant, entier ou fractionnaire, rationnel ou irrationnel, comme c'est le cas lorsqu'on donne non seulement la position du point r^ sur le plan, mais encore le nombre de fois qu'il a fait le tour de l'origine, dans chacun des deux sens, pour parvenir du point de départ à la position finale.

184 J. HoiiEL.

Ainsi, lorsque Texpression r^ est employée pour désigner un point du plan, abstraction faite de la nature du chemin parcouru pour y arriver, l'opération de Télévation aux puissances est multiforme ou wfiniliforme suivant que l'exposant est fj-actionnaire ou incommensurable. Dans les deux cas, les points correspondants aux solutions sont situés sur un cercle, où ils occupent soit les sommets d'un polygone régulier, soit la circonférence entière.

Au contraire, si r et p sont l'un et l'autre des nombres donnés, la valeur de p fera connaître combien de fois, dans le déplacement correspondant à r^,, le point décrivant aura fait le tour de l'origine dans un sens plus que dans l'autre. L'opération est alors possible, et cela d'une seule manière, comme dans le calcul des nombres positifs.

Il nous reste à nous occuper de la seconde opération inverse de l'élévation aux puissances, c'est-à-dire de la recherche de l'exposant ou du logarithme, étant données la hase et la 'puissance. Mais il faut auparavant présenter quelques remarques sur l'expression des verseurs sous la forme de puissances.

La fonction r^, peut se décomposer dans le produit de deux facteurs, savoir la longueur ou le modale r, et le coefficient de rotation ou verseur ij>. Pour l'élever à une puissance m, on élève à cette puissance le facteur r, et dans l'autre facteur ip on multiplie par m l'argument p.

Si l'on veut étendre aux quantités r,, la règle pour l'élévation aux puissances des produits de facteurs numériques, il faut pouvoir mettre 1^, sous la forme d'une puissance dont l'exposant contienne p en facteur. Soit e la base de cette puissance; on aura alors (1) ip = e'',

d'où

rp = re, (Vp)"' = f"srp.

Pour avoir la valeur de l'indéterminée e, faisons, dans l'égalité

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 185

précédente (1), p = '-.L?i valeur de 1^, sera alors \^ = i. Donc

et par suite, en élevant les deux membres à la puissance -

Maintenant on aura, pour une puissance quelconque de s,

Donc la quantité e ou i* peut être considérée comme la base d'un système de logarithmes. Ces logarithmes, considérés comme des angles évalués en parties du rayon, seront les exposants des puissances de la base e qui représentent les verseurs correspondants à ces angles.

Si Ton voulait prendre i pour base, on aurait les nouveaux

logarithmes en multipliant les anciens par - , de sorte que le

logarithme d'un verseur 1^ serait égal à la valeur numérique de l'angle p évaluée en parties du quadrant.

Ainsi toute quantité de longueur 1 peut se mettre sous la forme d'une puissance de la base i, de même que toute quantité d'argument nul peut s'exprimer par une puissance de la base e.

Mais l'usage simultané de ces deux bases dans les calculs conduirait à des complications inextricables. Nous verrons bientôt comment on peut éliminer l'une d'elles et exprimer les verseurs, aussi bien que les longueurs, au moyen des puissances de l'autre.

Les quantités que nous désignons sous le nom de vecteurs ont été jusqu'à présent représentées par un symbole composé des deux coordonnées polaires du point du plan qu'elles déterminent. Nous allons maintenant introduire un autre mode de représentation.

Étant donné un vecteur r^,, on peut le décomposer en deux

i86 J. IIOÛEL.

autres vecteurs, d'arguments choisis à volonté, et dont les longueurs s'obtiennent par la construction d'un parallélogramme ayant r^ pour diagonale.

Le mode de décomposition le plus important est celui dans

lequel les arguments des deux composantes seront zéro et ^, les

modules pouvant être, suivant les cas, positifs ou négatifs.

En désignant ces modules par x et î/, le vecteur aura pour expression

ou enfin

r^ = x, + yl = xA,-{-yA^,

rp = x + iy.

Considéré sous cette forme, un vecteur prend le nom de quantité complexe, qui rappelle que le vecteur est la somme de deux composantes irréductibles entre elles. A l'avenir nous emploierons concurremment les deux dénominations.

Si l'on suppose maintenant la longueur r égale à l'unité, la valeur de Vp se réduira au verseur \p, et les coordonnées x ei y ne dépendront plus que de l'angle p. Ces deux fonctions de p, ainsi définies géométriquement, sont connues sous les noms de cosinus et de sinus de l'angle p.

Dès lors l'égalité (1) deviendra

(2) ip = cosp + isïnp,

et de cette nouvelle forme donnée à 1^ on peut, à l'aide des principes précédents, joints à un autre principe nouveau, déduire toutes les formules de la Trigonométrie. Ce principe nouveau, qui n'a pas d'analogue dans l'Algèbre des quantités dirigées, est le principe de décomposition. Il consiste en ce que, si deux quantités complexes sont égales entre elles, leurs composantes rectangulaires doivent être égales chacune à chacune. Ainsi de l'équation

a + ib = a' + ib'