L'ENSEIGNEMENT DE LA TRIGONOMÉTRIE

PAR M. J. IIOUEL

Professeur de Malhémati(iues à la Faculté des sciences de Bordeaux.

La Trigonométrie peut être enseignée à deux points de vue différents, dont le mode habituel d'exposition adopté aujourd'hui pour cette science est un mélange, ne présentant ni la simplicité de Tun, ni la fécondité de Tautre.

On peut, suivant l'esprit de l'ancienne Géométrie, définir le sinus, le cosinus, la tangente, etc., comme étant les rapports deux à deux des côtés d'un triangle rectangle, ce qui restreint d'abord ces définitions au cas de l'angle aigu. On fait voir ensuite comment le besoin de généraliser certaines formules relatives au calcul des triangles peut conduire à attribuer des sinus, des cosinus, etc., aux angles obtus, en introduisant l'emploi des quantités négatives et justifiant cette introduction a posteriori. Enfin, on reconnaît, à l'occasion des problèmes analogues à ceux de l'Astronomie, que la généralisation doit encore s'étendre au

(•) Cette Note a été publiée pour la première fois dans le Giornale di Matematiche, t. XIII, 1875, et elle a été reproduite, depuis, dans d'autres recueils étrangers, et incomplètement dans un journal français. Malgré cette publicité multiple, lesremar ques qui font le sujet de cette Note ne semblent pas être parvenues à la connaissance des lecteurs français à qui elle était principalement destinée. C'est ce qui m'engage à la réimprimer aujourd'hui, en prolltant de l'hospitalité que la Société des Sciences physiques et naturelles yeut bien lui accorder.

T. V (2^ Série). 12

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cas des angles compris entre deux et quatre quadrants, et enfin aux angles de grandeur quelconque, positive ou négative.

Cette méthode, essentiellement synthétique, a l'inconvénient de ne donner aucune lumière sur la nature des quantités négatives, qui se présentent ici comme des symboles conventionnels, conduisant au but par des compensations d'absurdités. De plus, elle ne prépare pas l'esprit aux méthodes générales de la Géométrie analytique, dont la Goniométrie n'est cependant qu'un cas particulier : l'étude des relations entre les arcs d'un cercle et les coordonnées de leurs extrémités.

Il y aurait, croyons-nous, un avantage considérable à se placer tout d'abord au point de vue de la méthode cartésienne. La Goniométrie, ainsi présentée, prendrait une forme plus simple et plus intuitive. Elle offrirait un premier exemple de la discussion des coordonnées des points d'une courbe; on pourrait la prendre comme point de départ pour l'explication de la vraie théorie des quantités négatives, et cette explication serait alors bien plus lumineuse que celle que l'on rencontre invariablement dans les Traités d'Algèbre, et dont le thème constant est le fameux problème des courriers.

On commencerait par remarquer que la direction d'un rayon mobile autour d'un point fixe est déterminée quand on connaît le point où ce rayon coupe une circonférence quelconque, décrite du point fixe comme centre, et dont on peut, pour plus de simplicité, supposer le demi-diamètre égal à funité de longueur. On détermine, en même temps que celte direction, l'angle que fait le rayon mobile avec un demi-diamètre fixe du cercle, dont la direction sera prise pour Xorigine des angles^ de même que le point où ce demi-diamètre rencontre la circonférence sera dit Xorigine des arcs.

Un angle peut être défini comme l'ensemble de deux droites de directions différentes et invariables Tune par rapport à l'autre; ou encore — et c'est le point de vue qui tend à prévaloir dans la Géométrie moderne — un angle est le symbole chine opération consistant à faire tourner un rayon mobile autour d'un point, de

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manière qu'il passe d'une direction donnée à une autre direction donnée.

Nous avons expliqué ailleurs comment les rotations exprimées par ce symbole sont susceptibles de signes, et doivent être considérées comme positives ou comme négatives ^ suivant que le sens de la rotation est direct ou rétrograde.

Il en est de même pour les distances comptées sur des axes fixes, et qui sont positives ou négatives, suivant qu'on les considère comme des symboles de déplacements rectilignes effectués dans le sens direct ou rétrograde.

Deux angles différant entre eux d'un nombre entier de tours, parcourus soit dans le sens direct, soit dans le sens rétrograde, sont déterminés par le même point du cercle. Il suffit donc, pour déterminer toutes les directions possibles dans un plan, de savoir déterminer tous les angles compris entre zéro et quatre angles droits.

On y parvient par la connaissance des projections du point correspondant de la circonférence sur le diamètre origine des angles ou axe horizontal^, et sur un autre diamètre, que Ton choisit, pour plus de simplicité, perpendiculaire au premier, et qu'on nomme axe vertical. Pour fixer chacune de ces projections, il suffit de déterminer sa position relativement au centre.

Concevons un point partant du centre, et marchant d'abord sur Taxe horizontal, par exemple, vers l'origine des arcs. Les chemins parcourus dans ce sens s' ajouter ont ^ suivant la signification arithmétique de ce mot. Si, après avoir parcouru une certaine partie du rayon du cercle, le point se met à marcher dans le sens opposé, sa distance au centre sera diminuée (dans l'acception arithmétique) de la quantité dont le point aura reculé, et cela aussi longtemps que le point n'aura pas atteint de nouveau le centre. Lorsque le point atteint le centre et le dépasse (sur le prolongement, en arrière du centre, de Taxe origine des angles), la distance recommence à croître, mais en sens opposé. De là une complication des divers cas qui pourront se produire, lorsqu'on voudra combiner entre elles des positions du point non

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situées toutes les deux sur la direction même de Torigine des arcs. 11 faut, pour s'y reconnaître aisément, avoir un moyen de distinguer non seulement la grandeur des distances, mais en outre le sens dans lequel elles devront être portées.

On évitera cette complication en cessant de séparer les deux notions de grandeur et de sens des chemins parcourus, et les incorporant en une seule, au moyen d'une définition plus générale de Taddition et de la soustraction.

^ Nous appellerons addition d'une distance l'opération qui consiste à déplacer un point mobile d'une quantité égale à celte distance dans un sens convenu, vers la droite, par exemple. Nous appellerons de même soustraclion d'une distance l'opération (inverse de la précédente) qui consiste à déplacer le point mobile de cette distance dans le sens contraire, soit vers la gauche. D'après cela, l'origine étant le point qui correspond à une distance égale à zéro, toute distance a comptée à droite de l'origine sera 0 + a ou simplement + a ou a; toute distance à gauche sera 0 — a, ou simplement — a.

Une discussion très simple conduit aux règles de l'addition et de la soustraclion des polynômes algébriques.

On appliquera de même la notion de signe aux distances comptées sur l'axe vertical.

Cela posé, tout point du cercle est déterminé par les deux distances du centre aux deux projections du point sur les deux axes, les deux distances devant être de signes donnés, et l'une au moins de grandeur donnée. En effet, la somme des carrés des deux dislances devant être égale à l'unité, la grandeur de l'une déterminera celle de l'autre, tandis que les signes seront indépendants entre eux.

Ces deux distances sont dites les coordonnées du point du cercle, et on les distingue par les noms de cosinus et de sinus.

Le rapport des deux coordonnées est représenté, à l'aide d'unô construction fort simple, par un point de la tangente au cercle menée à l'origine des arcs, et ce point se trouve au-dessus ou audessous de l'axe horizontal, suivant que les deux coordonnées

REMARQUES SUR L'ENSEIGNEMENT DE LA TRIGONOMÉTRIE. 20i

sont de même signe ou de signes contraires. En donnant un signe à la distance de ce point à l'origine des arcs, comme on l'a fait pour les distances comptées sur les deux axes, et ayant égard à la corrélation qui règne entre la position du point et les signes des coordonnées, on arrive à la règle des signes pour la division, et par suite pour la multiplication. De même pour le rapport inverse de la tangente (cotangente), et pour les inverses du cosinus et du sinus {sécante et cosécante).

La projection d'une longueur sur un axe quelconque étant déterminée en grandeur et en direction par le produit de la ligne multipliée par le cosinus qu'elle fait avec la partie positive de l'axe, on obtient immédiatement les formules pour le cosinus et le sinus de la somme de deux angles, et, par suite, toutes les autres formules goniométriques et leurs applications à la mesure des triangles, sans qu'il y ait lieu à les soumettre à une nouvelle discussion.

L'enseignement de la Trigonométrie est compliqué bien inutilement par l'habitude traditionnelle d'introduire dès le début l'usage de Tables donnant, non les valeurs numériques des fonctions angulaires, mais leurs logarithmes. Il serait infiniment préférable de commencer par exposer la construction des Tables des valeurs naturelles de ces fonctions, et cela avec très peu de détails techniques, en se fondant uniquement sur la méthode de la bissection successive des angles. Ce serait un excellent exercice pour les élèves de construire eux-mêmes, d'après les prescriptions indiquées, une petite Table trigonométrique, à deux ou trois décimales, et dont les intervalles seraient assez rapprochés pour rendre l'interpolation facile. Celte Table, revue avec soin, devrait être la seule que Ton mît entre leurs mains; avec son aide, en y joignant le secours de la règle à calcul, ils seraient à même de résoudre promptement toutes les questions de Trigonométrie avec une approximation bien supérieure à l'exactitude de leurs constructions graphiques, et beaucoup plus promptement que par

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l'emploi des logarithmes, surtout quand on complique les formules d'angles auxiliaires, en vue, suivant la phrase adoptée, de les rendre calculables par logarithmes.

L'usage prématuré des logarithmes trigonométriques, dans un enseignement s'adressent à des jeunes gens encore peu experts dans la pratique du calcul, ne peut que retarder leurs progrès dans cet art et leur en fermer l'intelligence. Le mal est grave surtout lorsqu'on met dans leurs mains novices les grandes Tables qui conviennent seulement aux praticiens exercés, et dont le maniement n'apprend rien de plus, au point de vue de la théorie, que celui des Tables à trois ou quatre figures. On fausse en même temps leurs idées, en leur laissant supposer qu'une approximation à un dix-millionnième près de la valeur d'un résultat correspond aux cas ordinaires de la réalité. Aussi voit-on des élèves qui ne manifestent aucun étonnement lorsqu'on leur demande de calculer le diamètre de h Terre à un centimètre près. De pareils exercices, conséquence logique de l'emploi des grandes Tables, sont-ils propres à initier les jeunes gens à la solution des questions pratiques, comme on en a la prétention? Il est permis d'en douter.

Ce vice capital de la méthode s'étend à tout ce qui se rapporte à l'enseignement du calcul numérique. Au lieu d'occuper durant tant de mortelles heures les pauvres écoliers à transcrire des nombres à sept figures (le nombre sept est, paraît-il, un nombre sacré en Mathématiques comme ailleurs), et de noyer leurs idées dans des flots de chiffres, ne serait-il pas mieux de faire plus souvent appel à leur intelligence et à leur bon sens, et de leur montrer que Vart du calcul, loin d'être une routine aveugle et abrutissante, fournit, au contraire, au calculateur des occasions continuelles de développer les ressources de son esprit d'invention, en lui offrant des sujets d'expériences aussi variés qu'intéressants, et donnant lieu à l'emploi de procédés plus ou moins exacts, plus ou moins expéditifs? Loin de là, dans les Traités même les plus en vogue, on ne trouve pas un seul mot pour avertir l'écolier que l'on perd absolument son temps en prenant avec sept figures le logarithme d'un nombre connu seulement à un centième ou un

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millième près de sa valeur, et qu'il est insensé de conserver dans une addition plus de chiffres dans une partie des termes qu'il n'en existe dans le terme qui en a le moins. Il n'est pourtant pas besoin de réfléchir longtemps pour se convaincre de l'absurdité de semblables pratiques!

Là où des fautes aussi grossières passent inaperçues, il ne faut pas s'étonner de l'absence de toute indication sur la manière de calculer, au moyen des différences tabulaires, la limite supérieure de l'erreur du résultat, de quelque utilité que soit cette détermination, tant pour l'appréciation de l'exactitude de la valeur obtenue que pour la comparaison des avantages respectifs des diverses méthodes qu'on peut employer pour un même calcul.

Disons maintenant quelques mots sur l'usage des angles auxiliaires employés pour transformer à tout prix les formules proposées en expressions monômes, quelque laborieuse que doive être celte transformation. Nous montrerons sans peine que les formules ainsi obtenues ne sont pas en général les plus aisément calculables par logarithmes, et que, la plupart du temps, la simplicité apparente des valeurs auxquelles on parvient n'est qu'un leurre et une illusion d'optique.

Personne d'abord ne niera que la recherche d'un logarithme dans les Tables trigonométriques, si perfectionnées qu'elles soient, exige beaucoup plus de temps et d'attention que la recherche analogue dans les Tables des logarithmes des nombres : la moindre pratique du calcul suffît pour faire apprécier la différence. La substitution de la Table trigonométrique à la Table des logarithmes des nombres ne peut donc être avantageuse qu'autant qu'elle diminue notablement le nombre des /edttre^. Or, c'est précisément le contraire qui arrive dans la plupart des cas.

Considérons, par exemple, les formules pour la résolution d'un triangle sphérique dont on connaît deux côlés a, h et l'angle compris G. Ces formules, telles qu'elles se présentent immédiatement, sont les suivantes :

/ colasin b — cotAsin G = ces & ces G, (1) )cot6sina — colB sinC = cosacosG,

( CCS c = CCS a ces & + sin a sin 6 ces G , .

204 j. iioiir.L.

Les formules, dites calculables par logarithmes, qu'on en déduit sont celles-ci :

sinçtangC,

tang? = tangacosC, langA = (2) < tang(]> rotang t CCS C, tangB =

sin(6 — ç) sJn(|;langC.

sin(fl — tl^)

cosacos(6 — ç) cos6cos(a — 4') CCS c = ^ — = ■ ^ — '

COSo COS(|»

L'emploi des formules (2) exige 16 lectures, pour obtenir successivement

logcosC,

logtanga,

sinç,

logtang&,

sint}',

logtangC,

logsin(fc — ç),

logsin(a — <]>), B

logcosa,

logcos(6— f),

logcosç,

[ou bien logcos&,

logcos(a— (^),

lOgCOS!]^],

plus 2 soustractions d'angles pour obtenir b — ç et a — <L. Or, tant que la routine s'obstinera à conserver la division sexagésimale du cercle, toute opération sur les angles devra être considérée comme exigeant le même travail qu'une lecture. Les formules (1) étant mises sous la forme

ces c — CCS a cos & (1 + tang a lang b cos A) ,

cotA = H^.îîi^A-î^cosc), (3) } lang a smc \ lang 6 /

, tang a cos a/, lang 6 ^\

cet B = - — 2^ • - — ( 1 5 cos C ,

tango smc\ lang a /

leur calcul n'exige que 15 lectures, dont 6 dans la Table des nombres, pour obtenir

logcosa, logtanga, logcos&, loglangfc,

logées C, logsinC,

.^ lang a ^., langft n ^^> , , u n N = — 2^cosC, N = — ^^cosC, Ps= lang a lang 6 cos C, tangft ' larigrt ' é o >

log(l-N), log(l-N'), log(i-hN"), A, B, C, et aucune soustraction d'angles.

REMARQUES SUR l'ENSEIGNEMENT DE LA TRIGONOMÉTRIE. 205

Voici le tableau complet des calculs de l'exemple numérique, que M. Serret a développé à l'aide des angles auxiliaires dans son

Traité de Trigonométrie (p

sinC

ces a CCS b

cosc ...—1,867 5240 c=137°.29'. 4", 63

cosC .

tanga .

tang6 .

tang b tanga CCS 6 sinC

cet A ... — 1,694 5773 A= 116° 20*2', 21

sinG

cotB ...—1,427 6175 B = 104° 59' 8',38

Nous avons inscrit dans ce tableau tous les calculs qu'un opérateur un peu exercé ne doit pas faire de tête ou à l'aide de la règle à calcul. Le nombre des lectures serait encore diminué de 3, si l'on faisait usage des Tables de logarithmes d'addition et de soustraction.

On peut maintenant juger de la différence de longueur entre les calculs actuels et les opérations faites d'après les méthodes artificielles, où l'on emploie les angles auxiliaires, ou même celles qui, comme les analogies de Neper ou les formules de Delambre et Gauss, exigent un assez grand nombre d'additions et de soustractions d'angles.

Nous concluons de là que l'usage direct des formules fondamentales de la Trigonométrie sphérique est de tous les procédés de calcul le plus expéditif, et c'est une pure illusion de croire que l'on gagne quoi que ce soit à transformer ces formules en expressions monômes, soit à l'aide d'angles auxiliaires, soit même à l'aide de formules qui se prêtent d'elles-mêmes à cette transfor-

206 J. HOÛEL.

mation. Il convient donc de rayer des livres d'enseignement cette locution, aussi mal choisie que la méthode qu'elle sert à désigner : «Rendre une formule calculable par logarithmes ».

Il se rencontre, nous en convenons, des cas spéciaux où l'emploi des angles auxiliaires est avantageux; mais ces cas ne se présentent jamais dans les théories qui constituent les Éléments de Trigonométrie. Tout au plus conviendrait-il de donner, comme simples exercices, quelques exemples de ces transformations, et de saisir par là une occasion pour en faire ressortir, non les avantages, mais les inconvénients.

Les résultats des calculs trigonométriques peuvent être affectés de deux causes d'erreur tout à fait distinctes, dépendant l'une de l'inexactitude nécessaire des Tables logarithmiques, l'autre des erreurs auxquelles sont sujettes les données de la question. On peut toujours, par le choix de Tables assez étendues, faire en sorte que Terreur due à la première cause disparaisse devant celle qui provient de la seconde.

Supposons un élément x d'un triangle, déterminé au moyen des éléments connus p,q,... ou de leurs fonctions angulaires, par la formule

f{x) désignant une fonction algébrique ou angulaire. Les logarithmes pris immédiatement dans la Table sont sujets à une certaine erreur maximum rfw, qui peut se trouver doublée pour les logarithmes calculés par interpolation, et portée ainsi à une unité du dernier ordre décimal. Si l'on suppose les éléments dont dépendent p, 7,... exactement connus, et la fonction c^{p,q,...) calculée au moyen des logarithmes, l'erreur tabulaire ± do, affectant le logarithme de la quantité /), équivaudra à une erreur

dp=± ^-r^ affectant la fonction p elle-même (M étant le module M

des logarithmes décimaux), et par suite elle produira dans ç(p)

REMARQUES SUR l'ENSEIGNEMENT DE LA TRIGONOMÉTRIE. 207

une erreur égale à ± -tt./j ^; et de même pour les autres fonc- ^ M dp

tions q, Donc Terreur totale commise sur log9(p,^,...)

sera

9iP,1^'--)

et, si on désigne par K la somme des valeurs absolues des termes de la parenthèse, le maximum de celte erreur sera

Kdt

Celte erreur étant égale à celle de \ogf{x), c'est-à-dire à — j—^ — on aura donc, à cause de f{x) =^ o(p,q, • ■ •)»

dx =

Mf\x)

Si Ton vient à changer la forme de la relation constante qui existe entre les quantités x,p,q,..., les expressions de K et de f'{x) changeront, et par suile aussi la valeur de dx. Dans ce cas donc il y a lieu d'examiner quelle est la forme de cette relation qui, pour une étendue donnée des Tables, donnera pour dx la valeur minimum correspondante à tel ou tel système de valeurs dep,q,....

Considérons, par exemple, les deux formules, équivalentes entre elles,

ces a

cosc

ces 6'

tang ^c= Klang * (a + b) lang {{a — b). La première, mise sous la forme

log ces c = log CCS a — log ces b , donne, pour maximum de l'erreur que l'on peut commettre sur c,

dc = — cotc.dco.

208 J. HOÛEL.

L'autre formule donne de même

dc = — s\nc.d(ù, M

et Ton voit qu'elle est plus avantageuse que la première, quand c

2 ces c doit être un petit angle, le rapport des deux erreurs étant . , ,

ou à peu près -^. Ainsi, si Ton suppose dans la première formule

a = 50®, b = 49°, la différence tabulaire du logarithme de cos c à 7 figures étant 43 pour 10", une erreur d'une unité sur la

dernière décimale entraînera une erreur de -^ ou d'environ O^SS

sur la valeur de l'angle c; tandis que, si l'on prend la seconde

formule, une erreur d'une demi-unité sur la valeur de log tangue

ne donnera sur l'angle qu'une erreur égale à . 1.10'

Mais il en est tout autrement quand on considère les erreurs provenant des données. Dans ce cas, l'inconnue x étant liée aux données a,b,... par une relation

la valeur de l'erreur, prise sans tenir compte de l'inexactitude des Tables,

f {x) \da do J

ne changera pas de grandeur de quelque manière que l'on transforme la relation. Dans ce cas donc, on ne peut rien gagner, au point de vue de l'exactitude, à choisir une formule plutôt qu'une autre, et l'on ne devra songer qu'à prendre la plus simple.

REMARQUES SUR l'eNSEIGNEMENT DE LA TRIGONOMÉTRIE. 209

En prenant le même exemple que tout à l'heure, supposons chacun des angles a,b sujet à une erreur de V.

l" Formule.

Erreur possible.

2« Formule.

Erreur possible.

CCS a

langK« + 6)... 0,068 5011.

cosb

langi(a— 6)...3,940 8584.

cosc

somme 2,009 35§o .

. ir,4

tang|c 1,004 0798.

ic= 5°.46'.19',365...

c=ll°.32'.38',73 ...

,.lo^2

On voit que les deux formules donnent la même approximation, et que la première a sur la seconde l'avantage d'une plus grande simplicité.

?lf

fî

FàAScl

Lobachevskii, Nikolai Ivanovibh