COS 11(6)
cosn(c),
COS n (a) ^ '
il vient
tang^-^ n(c) := lang -^ n(c — p) tang ^Vi(<^ 4 p).
P étant ici un nombre arbitraire, puisque Ton peut choisir à volonté Tangle Il(^) du cOlé a avec le côté c, entre les limites 0 et -ic, et par suite § entre les limites 0 et », on en conclura, en faisant successivement p = c, 2c, 3c, . . . , que l'on a, pour toute valeur positive du nombre n,
tang" -^n(c) — tang-^n (ne).
Considérons maintenant n comme le rapport de deux lignes X et c, et admettons que Ton ait
col Y-n(c) — e :
on trouvera que, pour toute ligne x en général, positive ou négative, on a
lang-^nO*') ~ <^~^
e pouvant être un nombre quelconque plus grand que Funité, puisque l'on a U{x) = 0 pour a; = oo.
Comme l'unité qui sert à mesurer les lignes est arbitraire, on peut faire en sorte que e représente la base des logaiithmes de Neper.
37. Parmi Ibs équations trouvées plus haut [prop. 36], il sutïil de connaître les deux suivantes :
.sinn(c) ^ sinn(ff) sinn^ft), sinn(a) = sinn(/;j cosn(^),
en appliquant la dernière aux deux côtés de l'angle droit a et 6, pour déduire de leur combinaison les deux autres équations du n° 35, sans qu'il y ait ambiguïté dans les signes algébriques, tous
les angles étant ici aigus. On parvient d'une manière semblable aux deux équations
tangil(c) = sinn(«) tangn(a),
cos n(a)=; cosn(c) (OS n(|S).
Considérons maintenant un triangle rectiligne ayant pour côtés a, bf c ifig. 35), et pour angles respectivement opposés A,B, C. Si Fig.35. A et B sont des angles aigus, la perpendicu-
laire p, abaissée du sommet C sur le côté opposé c, tombera dans l'intérieur du triangle, et partagera le côté c en deux parties : soit X celle -de ces parties qui est adjacente à l'angle A, c — x celle qui est adjacente à l'angle B. On formera ainsi deux triangles rectangles qui donneront, en appliquant l'équation (1), les relations
tangn(a) = sinB tangn(j9),
tang n (6) = sin A tang n (p) ;
et ces relations continueraient de subsister lors même qu'un des angles, B, par exemple, serait droit {jig. 36), ou obtus {fig. 37). On a donc généralement, pour un triangle quelconque.
sinA tang n (a) = sinBtangn(6).
Dans un triangle dont les angles A et B sont aigus {fig. 35), on a encore [équation (2)]
cosll(ir) = cos A cosll(&),
cos n (c — £P) := cos B COS II (a),
équations qui subsistent encore pour un triangle dans lequel Fi?. 36. un des angles A, B serait fik. 37.
droit ou obtus. Ainsi, pour
B ~ -X {fig. 30), on devra
prendre ic = c; la première
équation se change alors
dans celle que nous avons trouvée plus haut [équation (2)]; l'autre se vérifie d'elle-même.
PourB>-Tc (Jig. 37), la première équation n'est pas altérée, tandis que la seconde devient
CCS n (a; — c) = ces {n— B) ces n (a).
Or, on a cosn(a;— c) = — cosn(c— a;) [prop. 23], et d'ailleurs cos(tc— B) — — cosB. Si l'angle A est droit ou obtus, on remplacera X par c — X et c — x par x, pour ramener ce cas au précédent. Pour éliminer x entre les deux équations, remarquons que Ton a [prop. 37]
1 — tang:^n(c— aî) cosn(i;— a?) =
1 + tang*jn(c— a?) 1 - e"-''
1 — tang*-5-n(c) cot"n(a;)
l-4-tang*-in(c)cot*|n(a;) cosii(c)— cosn(a7)
1— cosn(c)cosn(,T) En mettant pour cos II(a;), cos n(c — x) leurs valeurs, il vient
cosll(fl) cosB + cosll(&) cos A ^ ^ " l-H-cosll(a)cosll(&) cos A cosB *
d'où résulte
„, . cosil(c) — cosAcosn(&)
cosn(a)cosB = T ^ — ttt — wr-ry
^ ' i— cosAcostt(o)cosn(c)
et enfin
sin*n(c) = [l — cos B cos n(c) cosn(a)] [l — cos A cos II (6) cos n (c)l ,
On trouvera de môme
(4) sin*n(a) = [* — cos G cos n(a) cos n(6)l [l — cos B cos n (c) cos n (a)] > 8in*n(6)=ri — cosA cos 0(6) cosll(c)] [l — cosCcosil(a) cosn(6)] .
3^ ÉTUDES GÉOMftTRIQUKS
De ces trois équations on tire encore
sin*n(6) sin*n(c) . ,
= I — ces A cosn(6) cosn(c) .
sin*n(a) ^ ■■•
(1n conclut de là, sans ambiguïté de signe,
^Mv » „/,x „/ N sinn(6) sinn(c) ,
(5) CCS A CCS n (b) ces n (e) H . „, , = 1 .
^ ^ ^ ' ^ ^ sinn(a)
Kn sulDstituanl ici poupn(c) sa valeur, conformément à Téquation (3),
sinll(c) = . ^ tangll(fl) cosll(c),
il vient
„, . cosll(a) sinC
ces n (C) ::^ ^— .
^ ^ siiiA sinll(ft) -t- cosA sinC cos0(fl) cosll(fe) *
Si Ton remplace maintenant cosn(c) par cette expression dans l'équation (4), on a
(6) cet A sin C sin n {h) + ces C = ^^^^ij^\ .
.cosll(a)
L'élimination de sin n(^) au moyen de l'équation (3) doime
cosn(a) - , cosA . ^ . „, s
— ;;7iT-cosC ~ i r-^smC smn(a).
cosn(6) smB ^ ^
D'ailleurs, Téquation (6) donne, par des échanges de lettres,
=Trr= cotB sinC sinn(a) -h cosC.
cosll(o) ^ ^
On conclut des deux dernières équations
,, » T» n sin B sin C
(7) cosA 4- cosB cosC =
ëinn(a)
Les quatre équations qui exprimeront les relations entre les côtés a, b, Cf et les angles opposés A, B, C, dans un triangle recUligne 'seront d'après cela [équations (3), (5), (6), (7)]
SUR LA THÉORIE I>BS PARMLÉLES. 33
sin À tang n (a) = sin B tang n (&) ,
cosA cosn(6) cosn(c) h . , ^ = 1,
^ ^ ' smn(a)
^^< cotAsinCsinn(6) -h cosC = 7-4-'
Gosn(a)
. „ , sin B sin C
cosA -h cosBcosC =
sin U{a]
Si les côtés du triangle sont très petits, on pourra se contenter des déterminations approchées [prop. â6]
sin n (a) = 1 — -jfl* cosn {a)=^ Oj
et de même pour les autres côtés 6, c. Pour un tel triangle, les équations (8) deviennent donc
6sinA = asinB, a* = t* -h €* — 2decos A, asin(A + C) = b$înky ces A + cos(B + C)=^0.
Les deux premières de ces A équations sont celles que fournit la géométrie ordinaire. Les deux dernières, combinées avec les premières, conduisent à la relation
