Lorsque trois aplatis se coupent deux à deux suivant des

droites parallèles, la somme des trois angles dièdres est égale à

deux angles droits.

Soient AA', BB', CC {fig. 20), les trois parallèles formées par

j.^ 20. '^^ intersections des trois plans

[prop. 25]. Prenons à volonté sur

ces droites trois points A,B,C, et

imaginons que Ton mène par ces

W^^^^^^^^^jM points un plan qui coupera les

Wf^^B^K^^KÊ pl^i^s d^s parallèles suivant les "^^ droites AB, AC, BG. Menons, de

plus, par la ligne ÂG et par un point quelconque D de la ligne BB' , un nouveau plan qui coupera le plan des parallèles AA' , BB ' suivant la droite AD, et le plan des parallèles CG', BB' suivant la droite CD, et qui fera avec le troisième plan des parallèlles AA' , GG' un angle que nous désignerons par w. Soient X, Y, Z les angles dièdres des trois plans, suivant les arêtes AA ' , BB ' , GG ' respectivement. Soient enfin les angles plans BDG = a, ADG — h, ADB = c. Imaginons que, du point A comme centre, on décrive une surface sphérique dont les intersections avec les droites AG, AD, AA' déterminent un triangle sphérique ayant pour côtés p, q, r, pour surface a, et pour angles w opposé au côté q, X opposé au côté r, et par suite x -f- 2a — w—X opposé au côté p [prop. 27]. De même GA, GD, GG' couperont la sphère de centre G, en déterminant un triangle de surface ^ dont les côtés seront /> ' , g ' , r ' , et les angles w opposé à g ' , Z opposé àr', et par suite TC 4-2p-—i(;—Z opposé à p'. Enfin DA,DB,DG détermineront sur une sphère de centre D un triangle spiiérique dont les côtés l, m, n auront pour angles respectivement opposés w -i-Z — 2§, ■w + X— 2 a, Y, et dont la surface sera par conséquent J=—(X-|- Y +Z — lî) — a — ^-i-w. Lorsque w diminue, les surfaces des triangles a et ^ diminuent en même temps, de telle sorte que a-t-g — w peut être rendu moindre que toute quantité donnée. Dans le triangle ^, les côtés / et m peuvent également être rendus indéfiniment petits [prop. 21]. Donc le triangle d avec un de ses côtés, / ou w, peut être porté autant de fois que Ton voudra sur un grand cercle de la sphère, sans que l'hémisphère se trouve complètement couvert; par suite, â s'évanouit en

même temps que w, d'où résulte que Ton doit avoir nécessairement

29. Dans un triangle rectiligne, les perpendiculaires éleuées sur les milieux des côtés ou ne se rencontrent pas, ou se rencontrent toutes en un même point.

Supposons que dans le triangle ABC {fig. 21), il y ait intersection Fig.2i. au point D entre les deux perpendiculaires

ED, DF, élevées aux milieux E, F des côtés AB, BC. Menons aux sommets du triangle les lignes DA,DB,DG.

Dans les triangles égaux ADE, BDE [prop. 10], on a AD = BD; par une raison analogue, BD = CD. Le triangle ADG est donc isoscèle, et par conséquent la perpendiculaire abaissée du point D sur la base AG tombera au milieu G de cette base.

La démonstration n'éprouve aucun changement lorsque le point d'intersection D des deux perpendiculaires ED, FD se trouve soit sur la ligne AC elle-même, soit en dehors du triangle.

Donc, dans le cas où l'on admet que deux de ces perpendiculaires ne se coupent pas, la troisième ne pourra pas non plus rencontrer les deux autres.

30. Les perpendiculaires élevées aux milieux des celés d'un triangle rectiligne seront toutes les trois parallèles entre elles, toutes les fois que l'on en supposera deux parailèles.

Soient les perpendiculaires DE, FG, HK (flg. 22} élevées sur les milieux D, F, H des côtés du triangle ABC. Supposons d'abord que les deux perpendiculaires DE, FG, qui rencontrent AB en L et en M, soient parallèles, et que la perpendiculaire HK se trouve entre les deux autres. A l'intérieur de l'angle BLE, tirons à volonté du point L la ligne LG, qui devra rencontrer FG quelque part en G, quelque petit que soit l'angle d'écart GLE [prop. 16], Puisque, dans le triangle LGM, la perpendiculaire HK ne peut pas rencontrer MG [prop. 29], il faut donc quelle coupe LG quelque part en P, d'où l'on conclut que HK doit être parallèle à DE [prop. 16] et àMG[prop. 18et25§.

Si l'on représente les côtés p£ir

BC = 2a, AC = 26, AB = 2c,

et que Ton désigne par A, B, G les angles respectivement opposé, à ces côtés, on a, dans le cas considéré,

comme il est aisé de s'en convaincre, à l'aide des lignes AA' , BB' , ce ' , menées par les points A, B, G, parallèlement à la perpendiculaire HK, et par suite aussi aux deux autres perpendiculaires DE, FG[prop. 23 et 25].

Supposons maintenant que les deux perpendiculaires HK, FG soient parallèles , alors la troisième perpendiculaire DE ne pourra pas les rencontrer [prop. 29] ; donc ou elle leur sera parallèle, ou elle coupera AA' . La dernière hypothèse revient à dire que Tangle C > Il(a) + n(6). Si l'on diminue cet angle jusqu'à ce qu'il devienne égal à n (a) -p 11(6), en donnant à la ligne AG la nouvelle position GQ {fig. 23), et si l'on désigne la longueur du troisième Fig 23. côté BQ par 2c', alors l'angle CBQ, qui se

trouvera augmenté, devra être égal, d'après ce qui a été démontré plus haut, à U{a) — D(c') > n (fl) — n(c), d'oii il résulte c' > c [prop. 23]. Mais, dans le triangle AGQ, les angles A et Q sont égaux; donc, il faut que dans le triangle ABQ, l'angle en Q soit plus grand que l'angle en A, d'où résulte AB > BQ [prop. 9], c'est à dire c>c' .

31 . Nous appellerons courbe-limite (horicycle) la ligne courbe, située dans un plan, et telle que toutes les perpendiculaires élevées sur les milieux de ses cordes soient parallèlei entre elles.

Gonfonaémentà cette définition,on peut concevoir que la courbelimite soit engendrée comme il suit : étant donnée une droite AB {fig. 24), par un point A, pris par cette droite, on mène, sous divers angles GAB = II(a), des cordes AG = 2a, L'extrémité G de chacune de ces cordes sera située sur la courbe-limite, dont on

pourra ainsi déterminer successivement tous les points. La perpendiculaire DE, élevée sur le milieu de la corde AC, sera paral- Pig. 2.J lèle à la ligne AB, que nous nomme-

rons axe de la courbe- limite. De même toute perpendiculaire FG, élevée sur le milieu d'une corde quelconque AH, sera parallèle à AB. Donc cette propriété devra aussi appartenir en général à toute perpendiculaire KL, élevée au milieu K d'une corde quelconque CH, quels que soient les points C, H de la courbe-limite qui forment les extrémités de celte corde [prop. 30]. De telles perpendiculaires devront donc recevoir, sans distinction, comme AB, le nom d'axes de la courbelimite,

32. Un cercle dont le rayon va en croissant se change en une courbe-limite* Soit AB (fig. 25) une corde de la courbe-limite. Par les extré- Fig. S5. mités A et B de la corde, menons deux

axes, AC, BD, qui feront avec la corde des angles égaux BAC = ABD = a [prop. 31]. Sur un de ces axes AC, prenons un point quelconque E comme centre d'un cercle, et menons l'arc de cercle AF depuis l'origine A de l'arc AC, jusqu'à sa rencontre en Pavec l'autre axe BD. Le rayon FE du cercle, correspondant au point F, formera d'un côté, avec la corde AF, l'angle AFE == p, et de l'autre côté, avec l'axe BD, l'angle EFD = y. L'angle compris entre les deux cordes BAF = a — p<P+y — a

[prop. 22], d'où résulte a — ^<-y. Or, comme l'angle y peut décroître jusqu'à zéro, soit lorsque le point E se meut dans la diirection AC, F restant fixe [prop. 21], soit encore lorsque F s'approche de B sur l'axe BF, le centre E conservant sa position [prop. 22]; il s'ensuit que, l'angle y décroissant ainsi, l'angle a — ^, ou l'inclinaison mutuelle des deux cordes AB-, AF, et par suite aussi la distance du point B de la courbe-limite au point F du cercle.

SUR LA THÉORIE DES PARALLÈLEd. ^

tendront vers zéro. Donc on peut appeler la courbe-limite un cercle de rayon infiniment grand,

33. Soient AA ' = BB '= a; (fig. 26) deux droites parallèles entre Fis. 26. elles dans la direction de A vers A ' , et suppo-

sons que les parallèles à ces droites servent d'axes aux deux arcs de courbes-limites AB = 5, A'B'=5'. Onaura

s' =i se ,

e étant indépendant des arcs 5, *' , et de la droite x, distance des arcs s et s ' .

Pour le démontrer, admettons que le rapport des deux arcs s, s' soit égal à celui des deux nombres entiers n, m. Entre les deux axes AA ' , BB ' , menons un troisième axe GG ' qui retranche de l'arc AB une partie AG =•• t, et de Tare A ' B ' une partie A ' G ' = r , située du même côté que t. Supposons que le rapport de ^ à 5 soit. égal à celui des deux nombres entiers p, q, de sorte qu'on ait

Partageons maintenant l'arc s par des axes en nq parties égales;

il y aura mq de ces parties sur s' et np sur /. A ces parties égales

de 5 et de / correspondent aussi des parties égales de 5' et de /';

on a par consénuent

il — il t ~~ s '

D'après cela, de quelque manière que l'on prenne les deux arcs t,t' entre les deux axes AA ' , BB ' , le rapport de / à f ' restera toujours le même, tant que la distance x entre ces arcs restera la même. Si donc on pose, pour x = \, s = es' , on aura, pour une valeur quelconque de x,

S =1 se (*).

(*) En efTet, si l'on suppose la dislance des axes AA', CC inflniment petite, d'où t — ds, <'=: ds', l'équation précédente donne

d9 ds* .

Le nombre e étant un nombre inconnu soumis à la seule condition e > 1, et d'un autre côté Tunité qui mesure la ligne x pouvant être prise arbitrairement, on pourra, pour simplifier le calcul, choisir cette unité de telle sorte que le nombre e devienne égal à la base des logarithmes de Neper.

On peut encore remarquer que s'= 0 pour x = ao. Donc non seulement la distance de deux parallèles va en diminuant [prop. 24], mais encore, lorsqu'on prolonge les parallèles dans le sens du parallélisme, cette distance finit par s'évanouir. Les lignes parallèles présentent donc le caractère des asytnptotes.

SA. Nous appellerons surface-limite (horisphère) la surface engendrée par la révolution de la courbe-limite autour d'un de ses axes, lequel sera aussi, comme tous les autres axes de la courbelimite, un axe de la surface-limite.

Une corde de longueur donnée est inclinée d'un angle constant sur les axes menés par ses exlrémitéSy quels que soient les deux points de la surface-limile que l'on prenne pour les extrémités de cette corde.

Soient A, B, G \fig. 27] trois points de la surface-limite, AA' l'axe de révolution, BB' et CC deux autres axes, et par suite AB et AG des cordes sur lesquelles les axes sont inclinés d'angles égaux A'AB = B BA, A'CA^G'CA [prop. 31]. Les deux axes BB' et CC', menés par les extrémités de la troisième corde BC, sont également parallèles et situés dans le même pian [prop. 25]. Une perpendiculaire DD ' , élevée au milieu de la corde, dans le plan des deux parallèles AA', BB', sera parallèle aux trois axes AA', BB', ce [prop. 23 et 25]; une perpendiculaire EE% n:>enée

ds donc — est constant, quel que soit œ, et l'on a, en considérant s comme

s fonction de x,

, ds

d'où, C et C* étant des constantes arbitraires,

ds „. Cas

— —Cdoj, *-=C'« .

De plus, s décroît lorsque x croit [prop. 24]. Donc Ce doit être moindre que J'unilé. En représentant ce nombre par e-"*, e étant > l, on a l'équation qu'il s'agissait de démontrer. .{Note du trad.)

Fis. 27.

de la même manière sur le milieu de la corde AC, dans le plan des parallèles AA' , CC ' , sera parallèle aux trois axes AA' , BB' , CC ' et à la perpendiculaire DD' . Désignons maintenant par n(a) l'angle compris entre le plan qui contient les parallèles AA', BB', et le plan du triangle ABC, a pouvant être positif, négatif ou nul. Si a est positif, élevons, à l'intérieur du triangle ABC et dans le. plan de ce triangle, la droite FD = a, perpendiculaire au milieu D de la corde AB. Si a était un nombre négatif, on mènerait FD = a extérieurement au triangle, de l'autre côté de la corde AB. Si a était nul, le point F coïnciderait avec D. Dans tous les cas, on obtient deux triangles rectangles égaux AFD, DFB, et par conséquent FA = FB. Élevons maintenant en F la ligne FF' perpendiculaire sur le plan du triangle ABC.

Puisque l'angle D DF = Il (a) et queDF = a,FF' sera parallèle à DD' et à la droite EE', qui est située dans le même plan perpendiculaire au plan du triangle ABC. Imaginons maintenant que, dans le plan des parallèles EE' , FF' , on abaisse sur EF la perpendiculaire EK. Cette droite EK sera aussi perpendiculaire sur le plan du triangle AEC [prop. 13] et sur la ligne AD située dans ce plan [prop. 11]; par conséquent, AE, qui est perpendiculaire sur EK et sur EE' , sera aussi perpendiculaire sur FE [prop. 11]. Les triangles AEF, FEC sont donc égaux, parce qu'ils sont rectangles et ont les côtés de l'angle droit égaux; donc on a AF = FC =^ FB. Une perpendiculaire abaissée du sommet F du triangle isoscèle EFC sur la base BC passera par le milieu G de cette base. Un plan mené par celte perpendiculaire FG et par la ligne FF' devra être perpendiculaire sur le plan du triangle ABC, et coupera le plan des parallèles BB' , CC suivant la ligne GG' , qui sera encore parallèle à BB et à ce [prop. 25]. Or, CG étant perpendiculaire sur FG, et par suite aussi sur GG', il s'ensuit que l'angle C'CG = B'BG [prop. 23].

De là résulte que, dans la surface-limite, chacun des axes peut être considéré comme un axe de révolution. Nons appellerons 'plan principal tout plan mené par un axe de

la surface-limite. D'après cela, tout pla7i principal coupe la surface-limite suivant la çourbe-limitc, tandis que, pour toute autre position du plan sécant, cette intersection est un cercle. Trois plans principaux qui se coupent deux à deux forment entre eux de» angles dont la somme est égale à x [prop. 28]. Nous considérerons ces angles comme les angles du triangle de la surface-limite, qui a pour côtés les arcs de courbes-limites, formés par les intersections de la surface-limite avec les trois plans principaux. Les triangles de la surface-limite ont donc, entre leurs angles et leurs côtés, les mêmes relations que Ton démontre exister dans les triangles rectilignes en géométrie ordinaire.

35. Dans ce qui va suivre, nous représenterons par une lettre accentuée, telle que a?' , la grandeur d'une ligne, pour indiquer que celte ligne est liée à une autre ligne, désignée par la même lettre X saBs accent, par la relation exprimée par féquation

Soit maintenant ABC {fig. 2^) un triangle rectiligne rectangle Fig.28. ayant pour hypolénuse AB — c, pour

côtés de l'angle droit AG = 6, BC — #, et pour angles opposés à ces derniers BAC = II(a), ABC = n(p). Au point A, élevons la perpendiculaire AA' au plan du triangle ABC, et par les points B et C menons BB ' et CC ' parallèles à AA ' . Les plans qui renferment deux à deux ces trois parallèles forment entre eux l'angle n(a) suivant AA' , un angle droit suivantCC [prop. 11 et 13], et par suite l'angle n(a') suivant BB' [prop. 28].

Les intersections des lignes BA, BC,

BB' avec une surface sphérique, décrite

du poîat B comme centre, déterminent un triangle sphérique dont

les côtés ^nt mn = n(c), kii =- n(§), mk =■ U(a), et les angles

respectivement opposés n(6), Il(a'), ji:.

D'après- cela, l'existence d'un triangle rectiligne, ayant pour

côtés a, b, c, et pour angles opposés n(a), n(P), jiî, entraîne aussi celle d'un triangle sphérique {fig. 29) ayant pour côtés n(c), II(§), Fie. 23. n (of) » et pour angles op-

poses n(6),n(a'),-x.

Outre ces deux tri- ;ingles, l'existence du triangle sphérique entraîne aussi réciproquement celle d'un triangle, rectiligne pouvant avoir pour côtés a, a', p, et pour angles respectivement opposés n(6'),n(c),{x.

On peut ainsi passer de a, b, c, a, §, à bya,c, p, «^ et aussi à fl, a', p, b' ,c.

Imaginons que par le point A (fig. 28), en prenant AÂ' comme axe, on mène une surface-limite qui coupe les deux autres axes BB', ce en B" et C, et dont les intersections avec les plans des parallèles forment un triangle de surface-limite ayant pour côtés B"(}"=p, C"k = q, B"A = r, et pour angles respectivement opposés n(a), n(a'), -i:. On aura, par conséquent [prop. 34],

;; — r sin n(a). ^ = r ces n («).

Détruisons maintenant le long de la ligne BB {fig. 30) la liaison ^2^^^^^ des trois plans principaux, et étalons-les de façon qu'ils viennent tous les trois, avec toutes les lignes qu'ils contiennent, s'appliquer sur un même plan, sur lequel les arcs p, q, r se réuniront en un seul arc de courbelimite, passant par le point A, et ayant pour axe ÂA' ; de telle sorte que, d'un côté de AA' seront situés : les arcs ç et jj; le côté b du triangle, lequel est perpendiculaire en A sur AA' ; l'axe CC mené par l'extrémité de b parallèlement à AA' et passant par le point C" de réunion des arcs p e\.q\\e côté a, perpendiculaire sur ce- au point C; et l'axe BB' , mené par l'extrémité de a parallèlement à AA', et passant par

Textrémité B" de l'arc j9; — de l'autre côté de AA' seront situés : le côté c, perpendiculaire à AA' au point A, et l'axe BB' , parallèle à AA' , et joignant l'extrémité de 6 à l'extrémité de B" de l'arc r. La grandeur de la ligne CC" dépend de b, et nous exprimons cette dépendance par l'équation CG"= f{h). On aura de mêmeBB"==/'(c). Si, en prenant CC pour axe, on décrit une nouvelle courbe-limite, à partir du point C, jusqu'à l'intersection D de cette courbe avec l'axe BB' , et que l'on désigne l'arc CD par /, on aura

BD = f{a), BB» - BD 4 DB' =80 + CC",

et par suite,

m --- f{a) -r fih).

Remarquons, de plus, que l'on a [prop. 32]

«^p/'" = rsmnW./'"

Si la perpendiculaire au plan du triangle ABC {fig. 28), au lieu d'être élevée au point A, l'avait été au point B, les lignes c et r seraient restées les mêmes; les arcs qeitse seraient changés en t et q; les droites a et 6, en b et a, et l'angle n(a) en I1(P). On aurait, par conséquent,

g = rsin n(|3). Z^"^, d'où résulte, en substituant pour q sa valeur,

CCS n(a) = sin n(^). e *, et, en changeant a en 6' , p en c,

sin n(6) = sin n(c). e ", d'où, en multipliant par /^ '>

sin n(b). e = sin n(c). e \

Il en résulte aussi

sm n(a). e — smn(&). e .

Or, les droites a et h sont indépendantes l'une de l'autre, et de plus, pour 6 = 0, on* a

Donc, pour toute droite o, on a

e~ ° = sin n(a), ce qui donne

siii n(c) = sin n(a) sin n(6), sin n(|3) = CCS il(a) sin n(fl).

On tire encore de là, par des échanges de lettres,

sin n(K) = ces n(j5) sin n(6), Gos u{b) =■ ces n(c) ces n(a), cos ii(fl)= ces n(c) ces n(p).

Si, dans le triangle sphérique rectangle (fig. 29), on désigne les côtés n(c), n(^), n(a), avec les angles opposés n(6), Il (a ), par les lettres a, b, c, A, B, les équations précédentes prendront la forme des équations connues que Ton établit, en trigonométrie sphérique, pour les triangles rectangles, savoir :

sin a = sin c sin A, sin b = sin c sin B, cos A = cos a sin B»

cos B = cos 6 sin A, cos c = cos a cos 6,

équations au moyen desquelles on peut passer à celles qui sont relatives aux triangles sphériques quelconques. Donc la trigonométrie sphérique est indépendante de ce que, dans un triangle rectiligne, la somme des trois angles est ou n'est pas égale à deux angles droits.

36. Considérons maintenant de nouveau le triangle rectiligne ABC {fig. 31), ayant pour côté a, b, c et pour angles respectivement opposés n (a),

n(P), — X. Prolongeons l'hypoténuse c au

delà du point B, et prenons BD = ^; au point D, élevons sur BD la perpendiculaire DD' , qui sera parallèle au prolongement BB' du côté a au delà du point B. Par le point A, menons encore à DD' la parallèle AA' , qui sera en même temps

parallèle à CB' [prop. 25]. Par conséquent Tangle A' AD =

n(c-r ^), A'AC -- n(6), d'où

Fiff. 3«.

Fig. 32.

'ÎÊTUbES GÉOMÉTRIOCES

Portons p à partir du point B sur Tiiypotënuse c; à Textrémité D (fig. 32), élevons sur AB, à Fintérieur du triangle, la perpendiculaire DD' , et par le point A menons à W la parallèle AA'; la ligne BC,isivec son prolongement €G' sera la troisième parallèle. Alors l'angle CAA ' = n (b), DAA ' =- n{c — p), d'où

Cette dernière équation subsiste encore lorsqu'on a c = ^ ou c <^. Si V6h % '^~ ;p (fiff. 33), la perpendiculaire AA', élevée Fis. 3». siirX'B au point A, sera pa- Fig. si

ralléle au côté BC — - </,avec son prolongement CC ; par conséquent n(a) H- ri(ô) --- —X, tandis que l'on a aussi n{c — p) = — - -j:

[prop. 23}.Si rohac<p, l'extrémité de ^ tombera au delà du point A, en D {fig. 34), sur le prolongement de rbypolénuse AB. La perpendiculaire DD élevée sur AD, et la parallèle AA', menée parle point A à celte perpendiculaire seront toutes deux parallèles an côté BG — a et à son prolongement CC. Ici, l'angle DAA = U(p— c); donc [prop. 28]

n (a) + U(h) = n: - Hf^ — c) -^ II (C — P).

La combinaison des deux équations trouvées donrie

2 n(b) = u{e — f) -h n[c -h fî), 2n(«)=:n(c — ^)-n(c4-i5),

d'où résulte

eos n(6) cos [4-n(c — p) + 4 ^(^ +- P)] ces n(«) cos J-~n (c — j3) — ^ n(c + f)i

En substituant ici la valeur [prop. 35]