Recherches historiques sur la première explication sèculaire du moyen mouvement de la Lune d'après le principe de la gravitation universelle
En lisant les deux pages 35g et 36o du 5.*”' Volume de la Mécanique Céleste, dans lesquelles, Lapi.acf. , expose l’histoire de cette mémorable découverte, on y voit Lagraxge cite uniquement pour avoir tente, sans succès, de trouver la cause et la loi de ce phénomène dans sa Pièce qui a remporté le prix de Mathématiques pour l’année 1 774- Effectivement, c’est un fait incontestable que, à cette époque, Lagraxge, croyait à l’impossibilité de dériver cette équation séculaire des équations ordinaires du mouvement de trois corps, formées en considérant les centres du Soleil, de la Terre et de la Lune comme trois centres d’action; centres desquels émane, suivant la loi primordiale, la résultante de leurs masses attractives censées composées de couches parfaitement sphériques.
Mais en s’écartant de la figure sphérique, Lagrange avait modifiées les équations primitives , et s’est attaché à examiner , si l’influence des nouveaux termes, introduits par la figure non sphérique de la Terre, pouvait offrir l’explication demandée par l’Académie des Sciences de Paris; ce qui l’a conduit à démontrer qu’il était impossible de la tirer de cette source.
RECHERCHES HISTORIQUES ETC
Quelques années plus tard (en 1780) Lagrange a considéré la même question sous un autre point de vue dans la dernière section de son célèbre Mémoire Sur la théorie de ta Libration de la Ijine publié dans le Volume de l’Académie de Berlin pour cette année. Et là, par une analyse savante et profonde , il démontre qu’il est impossible de faire ressortir l'équation séculaire de la Lune de la considération des termes dûs à la figure non-spliériquc de sa masse.
Après des recherches aussi éloignées de la cause ordinaire, Lagrange croyait avoir épuisé toutes les hypothèses admissibles, et il a exprimé sa conviction sur celte impossibilité d’une manière qui ne laisse pas la moindre part au doute; car son opinion est ainsi conçue: « J’ai fait » voir ailleurs que cette accélération ne pouvait être produite pur la a non-sphéricité de la Terre; mais il était nécessaire d'examiner en par- » ticulier l’effet de la non-sphéricité de la Lune, à cause de la circons- 11 tance de l’égalité entre la rotation et la révolution de cette planète; » et cet examen achève de prouver l'impossibilité d'expliquer l'équation » séculaire de la Lune par la Théorie de la gravitation n ( page a 1 8 du Vol. cité). Une telle conclusion devenait alors d'autant plus accablante qu’elle était conforme à celle exprimée par Euler peu d’années auparavant dans sa Pièce, qui a remporté le prix de l’année 1770. Car il la finissait en disant: » La nouvelle Théorie de la Lune, que j’ai l’honneur >1 de présenter ici à l’Académie, fixe absolument toutes 1 rs inégalités de » ce satellite; il n’y en a aucune qui soit restée incertaine, et mainteu nant il |>arail bien constaté , que l’équation séculaire du mouvement » de la Lune ne saurait être produite par les forces de t attraction. »
Ainsi , les efforts réunis de ces deux grands Géomètres n’avaient pas réussi, ni en 1770, ni en 1780, à faire cesser tout-à-lâit lu justesse de l’épigraphe Erranlemque canit Luttant, empruntée par Euler à Virgile ilaus sa Pièce couronnée.
En présence de cette difficulté, des hommes doués d’une aussi puissante pénétration, ne laissaient pas de penser, ou que le problème en question était par lui-même très-difficile, ou qu’il y avait dans la conception des causes agissantes l’oubli complet de quelque circonstance, qui, jusque là, n’avait |ias été prise en considération. Mais dans cette vue on jiouvait encore s’égarer; et le même Euler, enlrainé probablement par les résultats de son fils Jean Albert, et par ceux obtenus dans le même temps par Bossut dans sa Pièce couronnée de l’année 176a, ne s’est
[mis fait scrupule de déclarer dans sa Pièce de l'année 1773, que « san» » aucun doute , l’équation séculaire de la Lune était l'effet de la résistance » du milieu dans lequel les planètes se meuvent. » D’Alembert quelques années auparavant (en 1768) s'était borné à confirmer la conclusion antérieure de Bossut en disant, que cette cause peut expliquer d’une manière plausible l’équation séculaire , sans toutefois pousser la fausseté de l’application au point de dire comme Bossut u qu’il ne fallait pas » chercher celle cause ailleurs que dans la résistance de l’éther ( Voyez la page 430 du Tome V de ses Opuscules).
Quoique cette force passive ne soit nullement correspondante à l’effel dont il est ici question, il ne faudrait pas en conclure que l’existence d’une matière éthércc est inadmissible. Les phénomènes de la lumière , et probablement la résistance opposée au mouvement des corps très-peu denses et d’un fort grand volume, comme le sont' ceux des comètes, autorisent à croire que l'éther remplit l’immensité des espaces célestes.
Sur ce point , Lagrange a exprimé positivement son opinion peu de temps ayant sa mort, lorsqu'il appliquait ses formules aux variations séculaires des éléments des planètes produites par la résistance d’un milieu très-rare. Il commence cette application par ces mots: « Pour ne rien ■1 laisser à désirer sur les variations séculaires des planètes, nous devons >■ encore considérer l’elfet d'un milieu peu résistant dans lequel il est » possible qu’elles se meuvent, et où elles devraient nécessairement se » mouvoir, si la lumière était due aux oscillations d'un lluide » (Voyez la page i 65 du second Volume de la Mécanique Analytique , édition de 181 5 ). C'est vers le meme temps qu’il a consigné dans ce Volume (aux pages 147, i 48 et i 5 i) son opinion, contraire à celle de La place, sur la |>ossibililé d’un accroissement illimité des inclinaisons des orbites , cl des excentricités des planètes dont les masses sont lbrt petites.
Depuis 1780, Lagraxgf. avait en quelque sorte abandonné la Théorie de la Lune proprement dite, et avait dirigé ses recherches sur lu Mécanique Céleste vers la Théorie des variations se'cu/aires des éléments des Planètes , afin d’achever celle , bornée aux variations séculaires des inclinaisons et des noeuds, qu’il avait envoyée au mois d’octobre de l’année 1774 à l’Académie des Sciences de Paris. En rapprochant cette théorie de celle que le même Laura sur avait donnée en 17G6 dans sa Pièce .SW' Ai 'lhéorie des Satellites de Jupiter, on voit qu’il avait fait des progrès immenses dans cet intervalle; qu’il avait lui-même démontré
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la vérité de son épigraphe Multum adhuc restât operis empruntée à Sénèque; et on reconnaît, que le don du génie ne dispense pas du pénible et continuel exercice de ses facultés.
Le nouveau Mémoire, dont nous parlons, développe toute la fécondité du principe général qu’il avait découvert en 1 776 pour démontrer l’invariabilité séculaire des grands axes des orbites elliptiques des planètes: il a été publié dans son ensemble dans les deux Volumes de l'Académie de Berlin pour les années 1781-1781.
La pi. ace a donné une courte analyse de ce Mémoire à la page 3 i 8 du 5 .*"' Vol.' de sa Mécanique Céleste (Livre XV) sans y faire mention de la continuation publiée par Lagrange dans le Volume de la même Académie de Berlin pour l’année 1783 (publié en 1785). Cependant, celte continuation se compose de deux Mémoires tout-à-fliil dignes de fixer l'attention , et d'être non-seulement cités mais appréciés dans une histoire des progrès de la Mécanique Céleste.
Le titre du premier est Théorie des variations périodiques des mouvements des planètes; celui du second est Sur les variations séculaires des mouvements moyens des phmètes. Ils sont l’un et l’autre fort remarquables à plusieurs égards.
Dans le premier (page 170) il y a l’idée originale des variations périodiques, qui , quoique dépendantes de la configuration des planètes , peuvent être sensibles et avoir une fort longue période en raison d'une commensurabilité approchante dans le rapport de leurs moyens mouvements , comme Jupiter et Saturne en ont offert depuis un exemple frappant par la découverte de Laplace annoncée le 10 mai de l’année 178B à l’Académie des Sciences.
Dans le second, que Lagrange qualifie comme un Supplément à sa Théorie générale des variations séculaires, il y a, explicitement, la focmule propre à calculer les variations séculaires de l’élément désigné par époque dans le mouvement elliptique des planètes , parce qu’il en détermine la position à l’origine du temps.
Il est démontré par là: 1.* que ces variations sont nulles en bornant l'approximation à la première puissance des excentricités et des inclinaisons des orbites: 1.° que la destruction mutuelle des termes séculaires cesse d'avoir lieu en portant l’approximation jusqu’aux quantités de l'ordre du carré des excentricités et des inclinaisons des orbites, inclusivement.
Voici celte foi-mule donnée à la page a 16 du Volume de l’Académie
de Berlin pour l'année 1^83. Soient
nt-4-i =J ndt-+-!—{
la longitude moyenne d'une planète 7 ] dont — r désigne le rapport de
sa masse T à celle du Soleil représentée par S; et a sa moyenne distance au Soleil. Nommons de meme
n't + t'=jn'
dt-^-e'ssp' , et a'
les quantités analogues relatives à une planète perturbatrice T' ; sa masse
par rapport au Soleil étant -ç- . Si l’on suppose développée la fonction
ja* — nia'. cos. (p— p’)-*-a" J ‘ , par une série de la forme
(a, <t') -+-(a, «') 1 .cos.(/)— /)')-t-(«,a') a .cos. a (p — />')■*" cto. ,
Lagrange démontre, que le coefficient différentiel
de de
Hp~ ndt
de l’époque, sera exprimé de manière, que e, e' étant les excentricités des deux orbites; sr, n' les longitudes de leurs aphélies; $, 6 ' les longitudes de leurs nœuds; 9, 9' leurs inclinaisons par rapport à un plan fixe, l’on aura l’équation
( L ) ^ = ^- t =(o)H-(i)e‘-t-(a)e'*-4-(3)ee'cos.(B' — u)
où l’on a fait;
s = tang. 9. sin. S ; jr' = tang. 9'. sin. 6' «
u — laug. 9 . cos. Ô ; u'=lang. 9'. co». 5' ;
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^°) = T \ 3a> ( a ’ a ')— aaV(a,a')»| ;
(,) -Tj 8 («■-«'■) ;
T' i (3a*a' — i5«‘a ,3 ).(a, a’) — (a s -^6a i a , ‘ — 5aa'<)(«, a') i /
Kl pour déterminer les deux coefficients {a, a'), (a, a') i , Lagrange fait Ma ’ . 6Na'
fl obtient pour M , V les deux séries
qui sont toujours convergentes, en établissant les dénominations de manière que l’on ait ^ < i . On sait d’ailleurs que ces séries sont sommables par des transcendantes elliptiques (Voyez le second Volume de Lecendrf. Sur les Fonctions elliptiques, page 54 1 et suivantes).
En outre on sait, que, en désignant par
[a,a']-t-[u,a'] i .cos .(p — //)-t-[a, a'] a . cos. i(p — p')-*-elc. ,
le développement du radical
l’on a ;
^ a* — a a «'cos. (p — p*)~*-a" ,
, i, K«'l / i* 3nfa, a'] i
ce qui fait dépendre le calcul des fonctions (a, a') , (a, a') i des mêmes transcendantes qui entrent dans les équations différentielles linéaires qui
déterminent les inégalités séculaires des excentricités , des aphélies, des inclinaisons et des noeuds des orbites ( Voyez les pages 198 et 3 1 o du 1." Volume de la Mécanique Céleste).
J'ai corrigé l’erreur qui s’était glissée dans la valeur du eocflicient (a) en y écrivant n’a' au lieu de a' a", ainsi que cela résulte des équations qui précèdent le N." 3a dans ce Mémoire de Lagrange. Il n'est pas superflu d'ajouter que les coefficients (o), (1), (3), ( 3 ) sont donués auv pages ao 3 et 3 1 3 du même Volume sous la forme avec laquelle ils oui été publiés en 1803 dans le 3 .*" Volume de la Mécanique Céleste (p. là); toutefois il faut observer que dans celte page on doit remplacer la troisième ligue ]>ar
aa'B M j. j(/P — p)'-+-(q' — q)*\ -t-etc. ,
ainsi que cela a été fait par Lapi.ace en i 8 o 5 à la page 53 du 4.*"*' Volume de la Mécanique Céleste.
Au reste, la formule (L) est conforme à l’équation plus générale
lie ,,
i du \
mit '
[<la)
UJ
trouvée en 1808 par Lagrange et Lapi.ace après la découverte de l'équation
</e = (/ et . ( 1 — y 1 — e ‘ ) + ja‘ ) nt ^ t
faite par Poisson (Voyez la page 6 du Supplément à la Méc.' Céleste).
On sait que cette formule générale comprend les termes séculaires et les termes périodiques : elle remplace avec avantage la formule connue antérieurement pour ce double objet, sur laquelle il est intéressant de lire les remarques exposées par La place aux pages 365 et 366 du 1." Volume Je la Mécanique Céleste.
Cela posé, il est évident que, en appliquant la formule (L) à un cas particulier pour lequel la partie séculaire des termes
(o) ; (i)e‘ ; (3)ee'cos. (b — a') ; (a)j(x— r')*^-(«— n')*j
serait séparément nulle, l’on aurait en intégrant
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Or, en prenant seulement le premier terme des séries M et iV, Ton a :
ou bien
■en
Donc en supposant la fraction assez petite |K>ur pouvoir la né-
gliger comparativement à limité, l’on aura
3 TT fa y
ce qui réduit l'équation ( L') à celle-ci ;
Maintenant, il faudra substituer ici la valeur séculaire du carré e'* de l’excentricité de la planète perturbatrice, censée préalablement déterminée en tenant compte de l’action de toutes les planètes qui auront concouru à la production de la valeur séculaire de e' ; ce qui donne pour c“ une expression de la forme
e'* — j A sin. ( kt-\- fi )-t-^'sin. (k't -4-j3')-+- etc. |*
-4- | A cos.( k t -4- fi ) + A r cos. (k r t ■+• fi' ) -t- etc. | j
où le nombre des coefficients A , A', A", etc. sera m -+- i , si m est le nombre des masses perturbatrices T”, T'" j 7"”, etc., qui agissent sur la planète T'.
Lagrange a appliqué la formule (L") à Jupiter troublé par Saturne, ce qui lui a donné une quantité insensible : résultat bien différent de celui qu’il avait trouvé en i^65 par ses premières recherches sur le même sujet publiées dans le 3.*”" Volume des MisceUanea Taurinensia. Préoccupé de l’idée que l’équation séculaire de la Lune ne pouvait pas
PAU J. Pl.ANA
cire déduite du principe de la gravitation universelle , il n'a pas senti , ni soupçonné, que sa même formule (L") était capable de la lui donner d’une manière fort satisfaisante. Car, rien n’empêche de l’appliquer à toute masse T circulante autour d’une autre masse S beaucoup plus grande, et troublée par une troisième masse T', qui serait elle-même troublée dans son mouvement elliptique autour du corps S par d’autres masses T", T"', etc. : c’est dans cette dernière considération que consiste l’essence de la cause de l’équation séculaire de la Lune , qui échappait ici à Lagrange , comme elle lui avait échappé dans ses autres recherches, toujours bornées à l’action directe et réciproque de trois corps seulement. En elfet, en supposant que les lettres S , T, T' représentent, respectivement, les masses de la Terre, de la Lune et du Soleil; et les lettres a, a' les distances moyennes de la Lune et du Soleil au centre de la Terre, l’on aura
le rapport — étant celui des moyens mouvements de la Terre autour
du Soleil, et de la Lune autour de la Terre. D’après cela, la formule (L") donne
en faisant ” = m = o, 07480 1 • La grandeur du coefficient
(en prenant pour unité de temps l’année Julienne) rend cette valeur de t fort sensible, après quelques siècles, quoique l’on ait en développant la valeur séculaire de e'*, produite sur l’excentricité e' de l’orbite elliptique de la Terre par l’action des autres planètes,
Je r ‘dt = —(j^') .0,000072963 .
La formule ( L'" ) est précisément celle qui a été annoncée par Laplàce dans une Note publiée à la tête du Volume de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1785, et présentée le 19 novembre de l’année 1787 à la même Académie pour être publiée en 1788 dans le
1 3 RECHERCHES HISTORIQUES ETC
Volume appartenant à l’année 1786. Le Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1783, où il y a la formule générale (L), a été publié en 1 785 , comme je l’ai déjà dit.
On voit maintenant comment cette découverte a pu échapper à Lac range , quoique elle soit une conséquence fort simple d'un résultat très-remarquable qu’il avait obtenu le premier en considérant d’une manière abstraite les variations séculaires des mouvements moyens des planètes. C'est un de ces cas singuliers où la difficulté d'imaginer la cause surpasse la difficulté d'en calculer l’efTcl , dès que son existence a été reconnue. La théorie du son en olfre un exemple: l'effet de la chaleur développée pendant les vibrations de l’air n'était pas difficile à calculer ; mais il était fort difficile d’imaginer le mode de son action , et de sentir qu'il pouvait modifier sensiblement la vitesse de la prapagulinn.
Tout ce que je viens d’exposer n'empêche pas de considérer Lari.a< e comme le premier Géomètre qui a donné l’explication théorique de l’équation séculaire de la Lune, surtout si l’on considère qu’il l’a exposée en faisant voir, conformément aux observations, que la même cause qui accélère le moyen mouvement de la Lune, rallentit les moyens mouvements du périgée et du nœud: connexion qui est loin d'être évidente de prime abord. Et Lagrange a consacré lui-même les droits de Laplace à cette invention en finissant son Mémoire Sur ta théorie des variations des éléments des Planètes, lu à l’Institut le 33 août de l’année 1808 par cet aveu mémorable: « Celle variation séculaire, dit-il (celle de » l’époque), est insensible dans Jupiter et dans Saturne , comme je l ai « fait voir dans le Mémoire sur les variations sécidaires des moueemens » moyens des Planètes (Mém. de Berlin de 1783); mais elle devient >1 sensible dans la Lune , et donne l'explication de l’équation séculaire » de cette planète, comme M/ Laplace l’a reconnu le premier. » Néanmoins on pourrait élever des doutes sur l’étendue de la signification de cet aven, en réfléchissant que Lagrange ajoute immédiatement après: •< Voyez les Mémoires de l’Académie des Scicnrcs de 1 786 , et ceux de a l'Académie de Berlin pour 1793 et 1793 où j'ai donné l’application » de mes formules à la Lune. » Or, en lisant la préface de ce dernier Mémoire Sur f équation séctdairc de la Lune, il est impossible de ne pas avouer à soi-même qu elle n'est pas tout-à-fait en harmonie avec la déclaration de 1808. En effet, voici comment Lagrange s’exprimait alors: « Dans la Théorie des variations séculaires des élémens des planètes
» qui est imprimée dans les Volumes des années 1781 et 178a je n’avais » point considéré les variations des mouvemens moyens, pareeque j'avais » cru pouvoir les regarder comme invariables à cause de l’invariabilité » des grands axes que j’avais démontrée d’une manière directe et générale. » Ayant ensuite examiné plus scrupuleusement ce point important de la n théorie des planètes, j’ai reconnu que les mouvemens moyens pou- » raient être sujets à des variations séculaires dépendantes des carrés » des excentricités et des inclinaisons, et j’ai donné le premier dans un » Mémoire imprimé dans le Volume de 1783, la théorie et les formules » de ces variations. J’en fis alors l’application à Jupiter et Saturne ; » mais n’ayant trouvé pour les variations de leurs mouvemens moyens 11 que des quantités presque insensibles, je pensai qu’il était inutilr » d’étendre cette recherche aux autres planètes. D’autres objets m’ayant » ensuite fait perdre celui-ci de vue (probablement ces objets sont ceux » relatifs aux Mémoires publiés dans les Volumes pour les années 1784, » 1785 et 1786), je négligeai d’appliquer aussi mes formules à la Lime; » ce qui ne demandait que des substitutions numériques très-faciles et* » même plus simples que pour les planètes principales. Vers la fin île » 1787 (*) Laplace annonça à l’Académie des Sciences de Paris qu’il n avait trouvé moyen d’expliquer l’équation séculaire de la Lune par la » variation de l’excentricité du Soleil ; et par le Mémoire qu’il a donné » ensuite sur ce sujet, et qui est imprimé dans le Volume de 1786, h on voit que cette équation est produite par les mêmes termes qui » composent ma formule des variations du mouvement moyen. Comme n ce résultat est un des plus intéressants de la théorie générale des va- 11 riations séculaires , j’ai cru devoir le développer dans ce Mémoire pour 11 compléter mon travail sur une partie si importante de l’astronomie » physique. 11
Certes, cette préface n’est pas très-favorable pour établir la priorité de Laplace dans un sens absolu. Et si l’on remarque, que la déclaration de Lagrange , publiée à la page 7a du Tome 9 des Mémoires de l’Institut, n’a pas été reproduite à la page 164 du second Volume de la Mécanique Analytique , où il est naturel de la chercher, on sera peut-être
(*) ï.agiurge , qui avait quille Berlin pour te fixer à Paris en 1787, était probablement prêtent à celle séance de l’Académie.
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porté à penser que, peu avant sa mort (arrivée le 10 avril de i 8 i 3 ), Lagrange était devenu moins facile pour sa concession à Lapi.acf.. Et quoique le second Volume de la Mécanique Analyticpie ait été publié en
■ 8 i 5 , la préface, qui le précède, nous donne l’assurance que, jusqu'à la page 164 , le manuscrit de Lagrange a été trouvé fort en ordre , rédigé par lui-même.
Mais Lapi.ace a , pour ainsi dire , détruit tout argument qui serait contraire, ou seulement peu favorable, à la priorité de sa découverte en publiant en i 8 a 5 qu’il l’avait faite d’une toute autre manière que celle dont nous avons parlé. En effet , à la page 36 o du 5 .*”' Volume de la Mécanique Céleste (Livre XV) on y lit ce morceau remarquable: « En m’occupant de la Théorie des satellites de Jupiter, je reconnus » que la variation séculaire de l’excentricité de l’orbite de Jupiter devait » produire des équations séculaires dans leurs mouvements moyens. Je » m’empressai de transporter ce résultat à la Lune, et je trouvai que la n variation séculaire de l’excentricité de I orbite terrestre produit, dans le •a moyen mouvement de la Lune, l’équation séculaire déterminée par les » Astronomes. Je trouvai de plus que la même cause produit dans les mou- » vemcnls du nœud et du périgée de l’orbite de la Lune des équations » séculaires. » Cependant une telle origine de celte découverte n’a pas été indiquée dans la Note par laquelle elle était annoncée, la première fois, par Laplace au monde savant. Cette Note publiée en 1787 à la tête du Volume de l’Académie de Paris, [mur l’année 1785, est ainsi
conçue : « il restait cependant un phénomène Céleste , l’accélé-
» ration du moyen mouvement de la Lune , que l’on n’avait pu jusqu’ici » ramener aux lois de la pesanteur: les Géomètres qui s’en étaient oc- » cupés avaient conclu de leurs recherches qu’il ne peut être produit » par la gravitation universelle, et pour l’expliquer on avait eu recours » à différentes hypothèses, telles que la résistance de l’éther, la transn mission successive de la gravité , l’action des comètes etc. Mais après « diverses tentatives je suis enfin parvenu à découvrir la véritable cause » de ce phénomène. J’ai trouvé que l’équation séculaire de la Lune ré- » suite de l’action du Soleil sur ce satellite combinée avec la variation » de l’excentricité de l’orbite terrestre. Elle est périodique, et dépend » des mêmes arguments que le carré de cette excentricité. » Les satellites de Jupiter ne sont pas nommés dans celte Note: et ils ne sont pas nommés dans la préface mémorable et fort élaborée de Laplace du
PAU 3. PI.ANA
Mémoire publié en 1788, et présenté par lui à l’Académie des Sciences le 19 novembre de l’année 1787. Eu 180a, celte même préface a été reproduite, avec quelques additions, comme une introduction à la Théorie de la Lune publiée dans le troisième Volume de la Mécanique Céleste ; mais les satellites de Jupiter n’y sont pas cités comme ayant occasionné la découverte de l’équation séculaire du moyen mouvement de la Lune: ils sont cités à la page 178 au sujet de l’inégalité du mouvement lunaire en latitude due à l'aplatissement de la Terre.
Pour mieux éclaircir l’assertion de la page 36 o que j’ai rapportée, remarquons que la formule (L w ) étant appliquée au quatrième satellite de Jupiter, donne (en nommant t'" la valeur de f qui s’y rapporte);
(isP-W” •
c’est-à-dire une équation séculaire a 2 fois plus petite environ que celle de la Lune.
Pour les trois autres satellites, l’équation séculaire donnée par la formule (L'") est encore plus petite; car, en nommant e'", t", t', t les valeurs de t qui se rapportent aux quatre satellites; cl ri"’, n", n', « leurs moyens mouvements autour du centre de Jupiter, l’on a, d’après les valeurs numériques données aux pages 83 et 97 du 4 - tl ”* Volume de la Mécanique Céleste;
; — - (o, oo 385 t 9 )'
: — - (0, ooi 65 i 36 ) ;
t' = (o, ooo8ig66) :
: — - (o, ooo4o832)'
\n w je" Jt ;
1 ‘.n"Je'‘dt ;
n' je n d t ; \n je'* dt .
Donc nous avons
recherches historié es etc:.
l’onr calculer la valeur de e"\ j'ai pris, conformément aux observations, n'"= s 836 j 1 5 o", o
pour le nombre de secondes sexagésimales parcourues en 365 ' 5 par le quatrième satellite autour du centre de Jupiter par son mouvement moyen sydéral. Relativement à l'orbite de Jupiter, j’ai pris
e' = o, 0481631 -+• - . (o, ooooo3o5457) ; ce qui donne j>our l'intégral e J'c' , dl la quantité
o, 048 1 6 1 . — . ( o, ooooo3o5457 ) . t‘ ; et par conséquent
On sait que ces variations séculaires sont modifiées par la variation séculaire de l’équateur de Jupiter. Mais cette modification est fort petite même pour le quatrième satellite pour lequel elle est la plus grande. En effet, la formule posée au fond de la page 103 du 4.*”' Volume de la Mécanique Céleste donne pour cette partie de t m (en secondes centésimales) ,
’Lb.e }a(i -V")*. 97 4 ", .9 - 3 . X' r '\ 3946", 95 )='£***. .398 ", 9 35 ;
où X'"=o, 134613 ; 'Z = 34444" > 6 = 0", 070350 .
En réduisant les secondes 34444 "» 1398", g 35 en parties du rayon, l’on aura
Log. | 34444 • ^ • sin. 1 " ( se*. ) | = 8, - 33 a 335 ;
L°S- 1 • 398) 9 35 -^ sin - i"(sfx.)| = 7, 3097076 ;
Donc en remplaçant b par sa valeur o”, o^o 35 o . pr— =0", 033793 j en secondes sexagésimales, l’on obtiendra
-H ( . o”, 020163 \ioo/
pour la (piantité qui doit être ajoutée à la valeur précédente de 1 ;
ce qui donne par la réunion des deux variations séculaires ;
La troisième variation séculaire , celle née de l’action réciproque des satellites, est encore plus petite. Sur cela 011 jtcut consulter les formules données à la page 73 du 4 -’ 1 "” Volume de la Mécanique Céleste.
D’après la parvité de ces équations séculaires des satellites de Jupiter , et d’après le fait que leur existence ne pouvait pas être déclarée par les observations faites depuis leur découverte (en 1610), comparativement récente, on ne peut s’empêcher de reconnaître que l’assertion de la page 36 o citée plus haut aurait besoin d’autres explications pour être admise sans laisser des nuages dans l’esprit. Et cela , avec d’autant plus de raison , que , de cette manière , la découverte de la liaison entre l’équation séculaire du moyen mouvement , et les équations séculaires du périgée et du nœud n’aurait pas été faite par Lapi.acf. avec la facilité qu elle découle de son analyse.
Quoiqu’il en soit, le rapprochement nouveau de ces remarques historiques me parait propre à démontrer, que la découverte du premier terme de l’équation séculaire de la Lune est duc aux efforts re'wiis de Lagrange et de Laplace. Probablement, la postérité ne voudra pas l’attribuer exclusivement à Lapi.ace, sans ajouter que, en 1783, Lagrange pouvait être plus heureux dans l’interprétation de sa fonnule, mais non plus habile analyste pour la tirer des équations primordiales du uiouvrinent libre d’un système de corps qui circulent autour du Soleil.
RECHERCHES HISTORlylKS ETC.
Je ne trouve nulle part, cite par Lam.ace, ce Volume de l'Academie de Berlin pour l'année i ' 83 . Et cependant l’occasion de la citation était fort naturelle aux pages J 1 j -3 1 7 du S.*”' Volume de la Mécanique Céleste. C’est là qu’il fallait signaler, après l’état d’enfance des méthodes précédentes , celle publiée par Lagrahce dans ce même Volume pour faire disparaître les arcs de cercle îles intégrales du mouvement des planètes obtenues par la méthode des approximations successives. C’est là qu’on croit devoir trouver, cl qu’on cherche en vain , une courte notice sur ce passage remarquable de la préface de Lagrange « M.' de Lapi.ac.e s’est >> occupé de cet objet et il a donné dans les Mémoires de Paris une » méthode ingénieuse pour faire disparaître, par la variation des cons- « tantes , les arcs de cercle qui paraissent dans les intégrales approchées » des équations différentielles. Mais celle méthode est fondée sur une » métaphysique qui ne me paraît pas porter dans l’esprit toute la sa- » tisfaction qu’on pourrait désirer; et elle se trouve d’ailleurs en défaut » lorsque dans l’intégrale une des constantes arbitraires multiplie l’arc » sous les signes de sinus , de cosinus ou d’exponentielles; ce qui est le » cas des équations du mouvement des planètes , considérées dans toute » leur généralité. «
Lapi.ace a rectifié sa méthode publiée en 1777, et à la page 346 du 1." Volume de la Mécanique Céleste il a tenu compte des termes dus aux constantes arbitraires qui multiplient l’arc dans les fonctions périodiques. Alors les équations différentielles pour déterminer les constantes arbitraires, devenues variables, ne présentent plus le défaut mis en évidence par Lagrance à la page a 3 i du Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1783.
Ce même Volume est celui où Lagrange a publié son Troisième Mémoire « Sur la détermination des orbites des comètes. « En reproduisant celle méthode dans le second Volume de sa Mécanique Analytique, plusieurs fautes d'impression s’y sont glissées , et il devient nécessaire de corriger les formules avant de les appliquer à des cas particuliers. Je >aisis cette occasion pour publier ici toutes les corrections que j’ai faites dans mon exemplaire, avec plusieurs Notes relatives à cette méthode originale de Lagrange.
