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Sur le A.* il (paye. .>.) ) du second Volume de la Mécanique Analytique de I .ai; rance.

En retenant le tenue multiplié par /' dans le dénominateur des valeurs de ft , II’, R", le résultat de l'élimination de R serait

. (m ~°‘ t*lco S .(C5)

/C* (r ) — 2ÂV (r 1 — p') |

et en divisant pu r — p, l’on aura l'équation du 7.*”' degré:

K’( r — p)(r’-brp-i-p‘) — aÀ"p'(r‘-t-rf-+-p‘)lr' — --- t *|eos. (CS)

Dans les cas particuliers oit la distance héliocenlriquc r serait fort petite,

il conviendrait d’avoir égard à la différence r* p — - t' .

En ordonnant celte équation par rapport à r l’on aura ;

0C1 l’on a fait;

-T cos. (CS) ;

K‘ iK „„ (m — 1 )* ,

P. = — cos. (CS) -t- 1 y-Lt ;

p, = ^-t-3Kcos.(CS)-4r ^ n 3 pt‘ ;

Pk-

R ( nt t ) , A ,

: -T-l Ô — ^ -t -,cos.(C,S) ;

de cette liquation du 7.*“' degrc , offrira souvent plus de facilité pour calculer la valeur de r.

Eu désignant par p,, />, les deux plus grands coefficients négatifs parmi les six coefficients — p, , — p t , — p s , p s , p % , p t , on aura pour les deux limites entre lesquelles sont comprises toutes les valeurs positives de r;

où le coefficient p 6 est en général une quantité positive.

Et pour avoir îles limites plus resserrées, on pourra, conformément à la méthode connue de Newton, remplacer r par r-t-Z, et déterminer la quantité Z de manière que tous les coefficients de la transformée soient positifs. En outre, on doit avoir r ou r suivant que la quantité K sera négative ou positive.

Si pour la solution d’un tel problème il suffisait d’indiquer des possibilités, j’ajouterai que, en posant

on pourrait déterminer, par la solution d’une équation du 3 .*"* degré,

les cinq coefficients A^ A M de manière à faire dépendre le

calcul de la racine r d’une autre équation du 7.*“' degré, privée du second, du troisième, et du quatrième terme; c’est-à-dire d’une équation de la forme

Xi+B^X 3 +B M X'+B w X-t-B M = o ;

où les quatre coefficients B ^ , , Z? (3) , B^ sont des fonctions entières et homogènes des cinq coefficients A ^ , A^ , , A^ . Mais

il RECHERCHES HISTORIQUES ETC.

l'application de ce théorème, dû à M. r Jerrarp, Géomètre Anglais, ne me parait pas présenter un avantage réel, quoique l’on puisse avoir r iiar cette fonction rationnelle de A; savoir

dB w

7 a‘+3 x‘+iU m A-t-yy,,,

Au reste, il y a une autre transformation beaucoup plus utile. En elfet, d’apres les formules connues

2 JT I — JT *

si n. c = 1 ; cos. 0= -, ,

il est clair, que toute équation de la forme

sin.' p = A sin. p -+- /? cos. p

est réductible à une autre (en x) du 8.*"' degré. Gauss, en appliquant cette transformation à l'équation de Lagrange;

K‘(p-p)'->eK(p-p)™ (CS)+p'- r ‘=o ,

par le moyen de l’équation

pùn.(CS)

sm.9

l'a réduite à une autre de la forme

sin.*p = 3/sin.(p— <//) ;

où M et <p sont des quantités connues; et l’inconnue p est l’angle à la Comète formé par ses distances A et r à la Terre et au Soleil (Voyez page 1 5 y de l'ouvrage Theoria motus corporum coelestium, etc.).

NOTE

Sur le /V.“ 46 du second Volume de la Mécanique Analytique de Lagrange , relatif à la détermination de l'orbite parabolique des Comètes.

En effectuant l’élimination, entre les deux équations en R, et faisant pour plus de simplicité ;

2V' =,ocos. (CS) ; M' = mp '‘ — p"‘ — Mp' ;

M"=i\'(mp , ‘-p"‘) — Np‘ ; M"'—N'M-N ;

Il =m(m — i ) t‘ ;

on obtient cette équation du sixième degré; savoir

[(i— m)r , H-d/'r-f-^]‘-+-4M"'j(i— m)jV T 'r'+M''r*-t-iV'ffr'=:o ;

qui se réduit au cinquième en négligeant H‘\ et conservant la première puissance de II. Mais en y faisant 11= o, l’équation devient divisible par r* et s’abaisse au second degré, par rapport à r*.

En ordonnant l’équation du cinquième degré, et faisant

La petitesse des deux termes multipliés par t' est telle, que, eu général, on pourra les négliger dans un premier calcul. Alors l’équation

0= r . j ^:. r - vlîl ,

3 j RECHERCHES HISTORIQUES KTC.

lionne immédiatement

en posant

Il y a une autre solution, pour le cas île l’orbite parabolique, qui mérite d’être rapprochée de la précédente, afin de mieux caractériser leur différence. Voici en quoi elle consiste. Soit

N"=p”cos.{CS") ; A m =p"cos.(CS") ;

N”=pcos.(C"S) ; N’ =pp"cos.(SS") ; N"=cos.(CC) .

En appliquant aux deux rayons vecteurs extrêmes r, r” la formule donnée à la page /\~i (N.° 38) pour exprimer le carré de la distance u qui joint leurs extrémités, l’on a;

u % = r'+r"' — 2N n RR"—aN" , R — 2N n R” — 2N r ;

r’=fl*— zN’R + p' .

Donc , en remplaçant R" par sa valeur

on aura les deux équations

m* =afl*— aa'R-t-û'' ;

r"‘=) R‘— aX'R-t-p"‘ ;

où les cinq coefficients £2, Q', Q", X, V sont censés connus par les données de l’observation , sans l’intervention de la quantité G dont la

PAR J. PI.AKA 35

|>etitesse est du 3.*”" ordre. Cela posé, si l’on substitue ces valeurs dans l’équation

où tnt exprime l’intervalle entre la première et la troisième observation, on aura une équation en R qui peut être assez facilement résolue par des essais. C’est à cela que se réduit la méthode publiée par Olbers en 1 797 . En débarassant cette équation des quantités radicales on aurait en R une équation du a4. 4 ”' degré.

Pour obtenir cette équation promptement, remarquons que, en faisant

A=s:G ml ; p = r-t- r"-h« ; (] = r-t- r” — u ,

l’équation précédente ,