PAR J. PUISA

H étant la fraction o, 00039089 qui exprime la longueur de l’arc d’une minute, on aura, en faisant D=.pp , et négligeant le carré des variations fijr, pf, etc. ;

r -, 1 lz".sin. (a — a') z'.sin.(a — a ") z.sin .(a' — a")l

[19]... 1 dr.r=I Vît; Vn ^rr—

1 p j cos. a cos. a' cos .a (

, \ (j~y ) lang. d" cos . (a —a') — (jr —j" ) tang. d’ cos . (a —a")

P f-t- (/' — y") tang.dcos. (a' — a")

A l’aide de cette formule, et de la connaissance des limites entre lesquelles sont comprises les erreurs probables , on pourra assigner à la quantité D(i^x) une valeur convenable pour faire cesser toute impossibilité, et rentrer dans le cas physique qui admet toujours une solution pnr une section conique. Cela suffit pour faire estimer la petitesse des erreurs capables de produire des altérations considérables sur les positions liéliocentriques , et des cliangcmcns énormes dans les élémens de l’orbite que l’on cherche. Et cela suffit aussi pour démontrer la nécessité d’exclure l’emploi du diviseur G, à moins que l’on ne soit certain d’une grande précision à l’égard des données de l’observation, ce qui est admissible, en général, pour des observations faites sur des planètes. En supposant que l’orbite est parabolique , la seule connaissance du R" .

rapport -j- des distances géocentriques extrêmes devient indispensable.

Et ce rapport est déterminé avec assez d’exaetitude par les formules mêmes de Lagrange, qui donnent

R" , , H" cos .d

ff"= sin. (or' — a)tang.rf' — sin.(a' — a') tang. d ;

// = sin. (a'— a') tang.d'' — sin. (a'— a'')lang.rf' ;

en négligeant des quantités de l’ordre des secondes différences, lorsque l’observation intermédiaire est à-peu-près également éloignée des deux extrêmes. La lettre m représente le rapport entre l’intervalle de temps écoulé depuis la 1 et la 3 .*"' observation , et l’intervalle compris entre la i.*** et la a. 4 ”* Par la combinaison de la formule [ao] avec le théorème de

64 RECHERCHES HISTORIQUES ETC

Lambert on évite la nécessité de faire concourir la connaissance du rap-

port -jj à la détermination de l’orbite parabolique. Et par là on évite l'influence, que les erreurs des observations exercent davantage sur la valeur de — que sur celle de : car l’on a

j R' (m — t) H ' cos.d

) R m H cos. d 1 ’

) //'=sin .(«' — a)lang,rf'' — sin.(«' — a'')tang.rf ,

et par conséquent

tandis que

sin. (et 1 — <i") J tang. r/ 1 — tang.rf j ■+■ * sin. (a 1 — a) — sin.( a' — a' ) j tang. d" ;

— sin. (a' — a')'tang.rf -t-tang.f/”J i i

! sin. (a' — «)-+-sin. ( a' —a") ! tang.rf'

C’est à la double exclusion des deux quantités G, , et sur-tout à

la circonstance que le théorème de Lambert exige la solution d’une équation de la forme F (R) — A , dans laquelle la quantité A est toujours connue avec une grande précision qu’est due, en pratique, la préférence de la méthode d’Oi-BERS sur celle exjiosée par Laurakc-e au N.* 46 de la Mécanique Analytique où l’influence des petites erreurs inhérentes aux observations , quoique atténuée , peut encore affecter sensiblement les élémens définitifs de l’orbite.

Au reste, après avoir déterminé les deux rayons vecteurs extrêmes r, r", la corde u qui les joint, et le paramètre b de la parabole; si l’on nomme T' l’intervalle des deux premières observations ( exprimé en arc de jours solaires moyens), l’on aura, sans connaître l’anomalie, le rayon vecteur intermédiaire r' par la série ;

••'"ssr’st/a— T'.yn^Tb + 1 ; \ 3r’ / r ia. r 5

où l’on prendra le terme ambigu positivement ou négativement, suivant que l’instant de la seconde observation aura eu lieu après ou avant le passage de la Comète par le périhélie. La valeur de r' étant connue,

on calculera celle de W à l’aide de l’équation

r '* = /?'* — a p' /T cos. (fl' — a')cos .d'-t-p' ;

c*e qui fournira , en général, un résultat préférable celui donné par l’équation

m H cos .il

ou, autrement, par I équation entre les trois distances géocentriques R, R', R" et les quantités observées que l’on obtient par l'élimination de t-'y y, V " des trois équations linéaires établies par Lagrange au N." 4 i de la Mécanique Analytique.

Les données de l'observation étant souvent illusoires pour en déduire la valeur de la quantité J) , on pourrait (en renversant la question) faire servir l’existence de l'équation

6/»\R'cos.rf'V 1 r 71

au calcul de cette même quantité, sur laquelle la petite erreur dr' tpii peut affecter r' et l’erreur correspondante

tH' = r ' 9r '

H ' — ap'cos. (a* — a') cos TïP ’

ne peuvent pas exercer une grande influence. Après cela , en reprenant la solution de l’équation du septième degré, on pourra détcmiiner une autre valeur de la première distance géocentriquc H, et essayer de. trouver une orbite elliptique qui soit plus conforme à l’ensemble des observations, si toutefois l’hypothèse d’une grande excentricité est admissible.

Et pour faciliter la solution de l’équation [3] , remarquons que , en

faisant r=t* a A£ S -) , l’on a sin. 9

R‘ — ipRcos.(CS) + p' = l> Sln ~ { CS) ;

r \ r r sin.

d’où Ton tire

R=-J— sin. <f

sin. f. cos. (CS) -t-cos. f . sin. (CS) j .

Mais l’équation [3] revient à dire, que (en négligeant le terme multiplie par ‘ ^ l‘ dans le second membre)

RECHERCHES HISTORIQUES ETC

(S J sin.*(<75) jfl — ^-p| = üTsin. , (p .

Donc , en substituant pour fl la valeur precedente , l’on aura sin.'p =^sin. 5 (C’5)|^eos.(C5) — pj sin. p-4-cos.p. sin.(CN)

Ainsi, en posant

■ sin. 1 (CS) | ros. ( CS) — * | = H cos. 0 ;

sin.* (CS) sin. ( CS) =//sin. 9 ;

ce qui donne

//= S ! n ^ r - V j . Ÿ p‘-^K ? 'cos.(CS)^-K' ,

l'on aura, au lieu de l’équation [3);

[ 23 ] sin.*p = /fsin. (p-t-5) ;

qui est la transformation analogue à celle de Gauss dont nous avons parlé en finissant la première Note sur le N." 44'

En retenant le terme multiplié par - — g — -/*, l’on aurait l'équation p 1 sin. 1 ( CS) j fl sin. p — p sin. p j = sin.* p j A'— -"‘ -- g - - ^ -t 1 R | ,

qui donne sm ou bien [23] ....

en faisant

d’où l’on tire

.’ p J sin. p — ^ "‘ 6 k ^ ** P ■ sin - ( ? ■+■ cs )

= /fsin.(p 4 -ô) ;

sin. 1 p . sin. ( p — 9') = ^sin. (p-+- 6) ,

, — &^jjlt‘p.cos.(CS)=H'cos.6' ; { -^j^t‘p.sm.(CS)z=II' sin.e' ;

H =\ ' oTT 2 -* f.€»(C5)+- 3 g 5 pL#V ,

en se rappelant que

cos, (CS) = cos. (a — a) cos .d .

Dans le cas particulier de CS= 180”, cette transformation ne pourrait pas avoir lieu ; mais alors il suffit de résoudre l’cquation du quatrième degré ;

par les formules ordinaires.

Lorsque les positions du Soleil sont calculées d’après les Tables , le

rapport -, qui entre dans l’expression de R , donnée au N.” 43 ,

cesse d’étre égal à l’unité; et il faut remplacer l’équation [1] , établie au commencement de cette Note, par l'équation

fl = 1 1

6Pp l

oit K' =z-Qp - . Alors l'élimination de r donne l'équation

[3]'... \R'-2 P Rcos.(CS)+ P '\ 3 (fl- ££)- j fl j = o

du huitième, et non du septième degré. On peut la réduire à la forme trigonométrique en y introduisant l’inconnue p, comme précédemment; ne qui donnera

yy

sin. ! p.sin.(p — 6') = ^-,sin.(p-+-û) ;

sans produire aucun changement à l’égard de la valeur de H' et de l’angle S’ ; seulement il faudra remplacer K par K K', sous le radical, dans la valeur de H, et remarquer que la valeur de II cos. $ doit être écrite ainsi ;

^ sin.’{ CS) | cos. ( CS) — ~ | = cos. 6 .

68 RECHERCHES HISTORIQUES ETC

En faisant CS = <f> , l’on a l'équation

Â^sin.'^j 1 6 K

où en écrivant sin.t/«. cos.{f -*-<}) — cos.i^.sin. (ç-t-ÿ) au lien tic sin.ç dans le second membre , et posant ensuite

Tac

cos. —

sin. <ji tang. ).

on obtient, sans l'introduction des ((nantîtes radicales H et H', la transformée

sin.’ç.sin.X l

AVin.*^ )

p.»in.(ç-Hj.) =sin.( ? -t-f — ).) ;

qui est un peu (dus simple.

Au reste, la solution numérique de l’équation [ 3 ]', quoique du huitième degré ne saurait présenter aucune difficulté par elle-même. Mais les observations sur les Comètes ne donnent jamais les deux quantités A' et K’ avec assez de précision pour pouvoir considérer la distance géocentrique R ainsi trouvée comme suffisamment approchée.

Au contraire , l’équation du 34.*”' degré

4=(yr>-h \tp' -t- j/t* 1 )*— (ÿp+ÿp'— ÿp* y

fournie par le théorème de Lambert ; où P, P', P' 1 sont des trinômes de la foitne

ollée toujours une orbite parabolique beaucoup plus approchante de la véritable; pareeque le coefficient A est toujours connu avec une grande exactitude; et que les eoefficiens H, fl', H" etc. peuvent être calculés avec les données de l’observation , sans que les petites eireurs qui les aliènent puissent, en général, produire des ehangemens inadmissibles sur les résultats définitifs.

NOTE

Sur r évaluation numérique des quantités

Q Qi 2. Q. O.

nécessaires à la dclermitialion de V orbite des Comètes par les formules de L auras or., adaptées au cas où Von prend r Écliptique pour le plan fixe de projection ( Voyez les N. 0 ' 44. 46. 5» et 5i du second Volume de la Mécanique Analytique'.

Conformément au choix de l’écliptique pour le plan fixe de projection ; les latitudes 3 , S', 3" relatives au Soleil sont nullcs. Les lettres a , ol , a" ; p, p’, p" représentent les trois longitudes du Soleil , et ses distanres au centre de la Terre.

Les lettres a, il-, a', r/' ; a", d", représentent, respectivement, la longitude et la latitude de la Comète aux instans correspondons ; à la première; à la seconde, et à la troisième observation, censées disposées suivant l’ordre progressif de leur succession.

Cela posé , si l’on fait

[ i ] ... Z? = sin.(« — a') taug. il" — sin. (a — a") tang.d'-f- sin. (a ' — a" ) lang. d ; [a] ... F (m)=(m — i)’psin.(a — a' )—m' p' sin.(o! — <i')-t-|a''sin, (a " — a') ;

[3] ... F' (m)=s(m — i ) s /ssin.(a — a") — m’p'sin. (a' — a") p" sin. («" — a ") ;

[4] — F"(m) = (m — t)*psin.(a — a) — ra’p'sin^tr ' — a )-A-p" sin. (a" — a ) ;

[5] H =F (ra)tang.rf" — F' '(ro)tang.</';

[6] /F — F" (m)taag.d" — F 1 (m)lang.if ;

[ 7 ] U"=F" (m)tang.rf' — F (m)tang . d ;

l’on aura

^ ‘ ni — i G m — 1 Dcos.d

RECnERCHES

fol .

iyj

~m Vcos.d 1

U cos. d"

//' cos. d ~ H cos. d 1

H" cos. d

( H cos .d"

Ces formules

sont écrites en

supposant T

l’instant de la première observation: alors, la valeur de m, donnée par l’équaüon t'=m t sera positive, ainsi que la valeur de t ; intervalle de temps écoule entre la première et la seconde observation.

Les trois distances correspondantes R, R', R" de la Comète an centre de la Terre, seront données par les formules;

[ta]

Ht *

’ 6 (m — i)Dcos.dj i (m — O***

fi' =

6 m . D cos. d'

"ÏÏP" ]