GR .F"= — X.Q

-GR'.F , — — X.Q < 0- t-^~r i

fS c [J

GR".F = — X. i

t) 3 ou :

RECHERCHES HISTORIQUES ETC

' = ‘-5P- + -p +rtc ’

... /?»'<* s.ro’t*

* ="'*— gp-H — rrî--** e ‘ c - ;

”= ( m - . ) t - fe llg .H s - 1 ) 1( /» ^ 1 )

-t- etc.

Il suit de là que, en posant

et négligeant les termes multipliés par — dans le troisième facteur

nous avons

y (?,i e.K"’sl .

44Tr s

4 Vr' |

La quantité s , ayant tacitement l'excentricité pour facteur , le troisième facteur de ces formules pourrait être réduit à l’unité , à l’égard d’une planète ; mais , pour les comètes d’une grande excentricité , celte réduction n’est permise que dans une première approximation.

Maintenant, si l’on développe les rapports —rr , -p , py en retenant les termes multipliés pnr t’, l’on aura

ïp,=s(m— i)|t— [(m— t)*— , ]^j + [(to — — i]|p| ;

Actuellement il faut observer que, en plaçant l’origine du temps à

l'instant de la première observation, le rapport -y est celui des deux

distances géoccntriques extrêmes. Alors m devient égal à i , si l’intervalle' entre la première et la seconde observation est égal à l'intervalle entre la seconde et la troisième; et le rayon vecteur r est celui qui répond à la première observation. Dans ce cas le terme multiplié par

J— devient nul à cause de (m — i )* — i = o ; ce oui donne or

y" st 5

R"Q,\ , st'jl tK " sj

R — | ' “'“ar 5 P 1 4df.r 5 | '

Mais en plaçant l'origine du temps à l’instant de la seconde observation, il faut prendre t négativement, ainsi (pie le coefficient m, afin que l’intervalle t' — ni t soit positif. Dans ce cas, suivant les dénominations établies, le rapport des distances géoccntriques extrêmes est exprimé par R "

-jj T > en observant que les lettres R, r devant répondre à l’instant où

t — o sont la distance géoccntrique, et la distance héliocentriqnc intermédiaire.

Si les deux intervalles entre la première cl la seconde, et entre la seconde et la troisième observation sont égaux , il faudra prendre ni = — i ; ce qui donne

y st»

Ainsi, dans l’un et l’autre cas, le terme multiplié par < s demeure dans l'expression du rapport des deux distances géocenlriques extrêmes.

C’est de quoi j’ai voulu donner une démonstration puisée dans l’cxprcs-

yn yt yn

sion analytique des rapports —y , p , -y , déterminés par les séries de Lagrange, sans employer la signification géométrique, que les trois fonctions du temps Vf V, V" ont, à l’aide des secteurs triangulaires inscrits dans les secteurs elliptiques.

t As ’

'Tx~? ,

54 RECHERCHES HISTORIQUES ETC

Pour mettre en évidence cette signification, remarquons que les formules du N.° 28 du second Volume de la Mécanique Analytique donnent,

en désignant par x, , y , , z,, 1 -J 7 » > 1** valeurs de x,j, z,

dx dr dz , ,

dï ’ dt ’ d~t corres P oni * imles “ 1 — 0 >

/-r.f+tfir ;

y" y X* fOj t/> ■

où en posant

l’on a, par le changement de t en t' ,

Cela posé, il est facile de voir que, en faisant

F”z= TV’—VV ,

l’on a

dt 1

dt)

Mais les formules du N.° i3 du second Volume de In Mécanique Analytique donnent;

x = a X -h fi F ; j- =z a, X -h (3, F ;

x r =»r +py ; y =sa,x' +p,y ' ;

x"= aX"-bpV" ; /’= a, X" -4- P, V" ;

où X, V ; X', y'; X" , y" sont les coordonnées correspondantes dans le plan même de l’orbite. Donc l'on a ;

jrJ-xf =(«ft — p«,)(r X'-X r 1 ) ; fjc»-x/' = (*p.-p a ,)(V X"-X Y") ; y* - **j" = (« P.‘ -P «. ) ( J"*" - X' Y") ;

où le facteur commun a /3, — 13 «, = cos. t ; i étant l’inclinaison de l’orbite au plan jixe de jr y. En outre l’on a

b étant le paramètre de l’orbite, et g l’intensitc de la force attractive du Soleil à l’unité de distance. Ainsi, en posant g—i, la comparaison de ces doubles expressions donne immédiatement;

r"^^X'Y"-Y’X") = ~ sin.(e"o') ;

et par conséquent

— — XY'—YX' ’

V XY " — YX"

y — XY'—ŸX 1

/ ’ ~ XY"— YX" ’ y»—y'+.y ’

r, r', r'' étant les trois rayons vecteurs, et v, v', v" les trois anomalies vraies correspondantes.

De sorte que le rapport -jr est le même que celui des deux secteurs

triangulaires extrêmes si l’origine du temps est placée à l’instant de In première observation : et si cette origine est placée à l’instant île la se-

conde, le rapport -j-, prendra la place des deux secteurs triangulaires

extrêmes. Queb que soient les avantages attachés à celte maniera de voir ces rapports (préférée par Gauss), il me paraît que l’introduction des deux fonctions T et y, faite par Laorahce dans scs formules du N.” 28 , offre seule les moyens propres à estimer la différence entre les rapports

RECHERCHES HISTORIQUES ETC

îles secteurs elliptiques et ceux des secteurs triangulaires par un développement suivant les puissances du temps.

En effet, cette analyse démontre que l'on a les équations;

y x/ —yx' X V — YX'

yï.COS.Ï

yfl

XI YX"

y~l .cos.i

m xY—yx" x'v—rx"

yfl.

t‘ s t 3 (, ds r s* i || .

6r , *”4 ri 4 0 -*l d t ,J r‘ 3r]j ’

| roV

i Tt~

■V+Srjj

, „ .1 (m—iYt‘ s (ra — i i ) <’ )

. (ro— i) s <' , | (i-*-| w -*-” t *) /a rfg .c s '\ ■ 1 I

4o r s | (m — i )* \ dt r‘ / 3rj

En conservant les termes multipliés par /* et <’ on voit mieux que si I on a

y=Q(t) , y = $(mt) ,

on ne peut pas dire que l’on a ({m — i)/) au-delà des termes

multipliés par Y. De sorte que la fonction I " est différente de la fonction f r .

Les deux quantités inconnues s et — , que ces séries renferment ,

affectent des puissances du temps supérieures à la troisième. En outre, il n’est pas inutile de remarquer, que, d’après leur signification, elles doivent avoir des valeurs peu considérables à l’égard des planètes , et de tout astre ayant une petite excentricité, puisque l’on a;

Le paramètre b peut être exprimé par les trois fonctions V, V, / à l’aide de la formule que j’ai donné plus haut.

Peut-être la postérité reconnaîtra que cette théorie de Lagrange publiée en 1778 et 1783 ne méritait pas d’être passée sous silence |>ar Gal’ss, et qu’elle suffisait pour tempérer (en 180g) la phrase Nihilominus salis mirwn videtur , problème generale

usqne ad initium hujus sacctdi penitus propemodum neglectum esse, vel saltem a nemine serio ac digne tractation ( Theoria motus corpornin coelestium etc. ; Praefatio , p. vu et vm ) (*).

Cette Note m’offre l’occasion de faire observer que les valeurs ap-

prochées des rapports — , — peuvent être exactes, quoique déduites

d’expressions absolument fautives des trois distances geoeentriques R , R', R". C’est ce qui arrive en prenant pour R, R', R" les formules données par Bougl'ER dans son Mémoire publié dans le Volume île

(*) Les trois équations [i], [a], (3], que G* uss établit à la page 138 de son ouvrage, en disant, avec toute raison, que ces trois équations ad conclusiones plurimas gravissimas viam sternum , sont , dans le fond , les équations mêmes que Lagrange avait données h la page 305 du Volume de l'Académie de Berlin pour l'année 1783. El l'expression des trois distances geoeentriques qu'il y donne à la page 130 par les équations [9], [10], [11] sont les mêmes que celles données par Lagrange à la page 306 du Volume qoe je viens de citer. La propriété géométrique des 19 symboles, énoncée par Gauss à la page 139, singulas hat exprtmemes aeguales fieri r cjumini sextupla pyramidis rujus vertes est in Soit etc. n'a pas échappé et ne pouvait pas échapper à Lagrange [auteur du beau Mémoire .Sur les pyramides triangulaires, publié dans le Volume de l'Académie de Berlin pour l'année 1773]. Car, i la page 309 de son Mémoire, on y lit cette proposition: • Au reste, il est facile de prouver que cette quantité (qui est l'équivalent de celle de •* Gauss) n’est autre chose, que la solidité prise six fois de la pyramide triangulaire qui a le » sommet au centre du Soleil , etc. » Je ne puis m'empêcher d’ajouter, que les séries f t g , /, fonctions du temps (qui répondent k celles désignées par /', /' V tf au N.° 41 de la Mécanique Analytique), ont été données aux pages 300 et 314 de ce Mémoire de Lagrange. Elles • tirent (combinées avec les formules qu’il avait données dans son Mémoire de 1778) une («dation directe du problème traité par Gauss aux numéros 81, 85 et 86 de son ouvrage, en intégrant par les formules des quadratures l’élément du secteur elliptique.

Le Mémoire de Lagrange Sur une manière particulière tT exprimer le temps dans les section.* roniquet etc. publié dans le Volume de l’Académie de Berlin pour l'année 1778 (page 18!) est un chef d’œuvre d'analyse qui poavait obtenir, de la part de Gauss, une mention spéciale au N" 106 de son ouvrage. Car, la phrase: Quamquam A oc anjumtnium a pluribut geametrix jam tractatum lit , fait un contraste frappant avec celle de Lagrange qui a parlé du théorème de Lambert en disant (page 119 du Volume de l'Académie de Berlin pour 1778): « qu'il doit être » regardé par sa simplicité et sa généralité comme une des plus ingénieuses découvertes qui aient m clé fait»-* dans la théorie du système du Monde ».

58 RECHERCHES HISTORIQUES ETC

l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1733 . En effet, les formules données par Lagrange au N.° 44 de la Mécanique Analytique sont susceptibles de cette double forme ; savoir

ü(m — 1 )Gp' \ \ l ) (m — i)G\ r */ ’

R ’-mp( l ~ P p) = i( l ~p ) ;

où l’on a

P=(m — i)pr — mp’r'+p"r" ;

et P,, P , ce que devient cette expression de P par le changement de T, T', T", en r,, r/, r,"; r,, r,', I\", respectivement

Or, en supprimant le facteur commun 1 — , />n aura | es formules

fautives

de BoucuEn, qui donnent cependant «les valeurs exactes pour ^ R .

Le defaut de ces dernières formules disparait en quelcpie sorte Iors«|uc la distance liéliocentrique r de la Comète surpasse considérablement la distance p de la Terre au Soleil.

Lac.range , aux pages 1 38-4 1 du Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1778 , trouvait — t — au lieu du véritable facteur

— -ij . Mais ce résultat inexact a été bientôt rectifié par lui-même,

en remplaçant le raisonnement qu’il faisait dans les pages «pie je viens de citer par un autre , tout-à-fait conforme à la Théorie du mouvement elliptique de la Terre. Ce raisonnement est celui qu’il a exposé aux pages 317-19 du Volume de l’Académie de Berlin pour l’année i"83, et reproduit au N.” 44 du second Volume de la Mécanique Analytique. Pour plus de clarté il avait composé une Note sur ce point «pii a été trouvée, après sa mort, parmi ses papiers: c’est celle qu’on lit aux pages 355 et 356 de cet ouvrage. Sur ccttc même iliseordancc entre les

«leux facteurs — — A > A , LaplACE a publié une Note curieuse

dans la page 3a du Volume de l'Académie des Sriences de Paris pour l’année 1780. Au reste, Lagrange remarque , arec raison, en finissant le N.° 44 que je viens de citer, que l’abaissement de l'équation finale du huitième au septième degré n'aurait pas lieu, si les positions du Soleil étaient calculées eu ayant égard aux perturbations du mouvement elliptique (*).