PAU 1. PL A MA

est celui de p J en p' l \ et celui de r* en r ,J ; r' étant la distance hélioccntrique de la Comète à l’instant de la seconde observation.

Pour démontrer clairement qu’on ne doit faire aucun changement dans le premier facteur des expressions précédentes de R, R', R"-, remarquons que, dans ce cas, la valeur de t est zéro à l’instant de la seconde observation, et négative à l’instant de la première: en outre, que, en faisant t' — m t , il faudra prendre négativement la valeur de t ainsi que celle de m, afin que la valeur de t' soit positive. Mais la valeur absolue de m sera m — i dans le second cas ; puisque , en désignant par /j,) l’intervalle de temps compris entre la seconde et la troisième observation, l’on a <' = <-+-/(,> dans le premier cas, et t' = < (l) dans le second. Donc les quantités

deviendront

Or, en retenant les mêmes lettres a, d, R, r; a 1 , d', R', r' ; a", d", R", r"; a, p\ a', p' ; a", p" pour représenter les trois positions successives de la Comète et du Soleil, il faudra remplacer a, d-, te, p par a', <F; a', p' ; et réciproquement; ce qui donne

F(— ra-t- i) = F"(ro) ; F'(— m •+■ i) = F'(/«) ;

F"(-m-+-i)=F(ro) ;

et pour D la même valeur avec un signe contraire.

D’après cela, on conçoit que, en désignant par

ce que deviennent les quantités primitives

l’on aura

-J 2 RECHERCHES HISTORIQUES ETC

De sorte que, la meme théorie donnera pour les distances ft' f H y H" de la Comète à la Terre aux instants zéro ; — /; et t r les trois expressions suivantes ;

ri fit

ire 1 £ 7 ^ i .

Dcos.d' i m‘t‘ ( ’

Ht'

’(>(m — i) l > ros </ j (m — i)‘t

où lu valeur de m doit être déterminée, comme si l’origine du temps était placée à l'instant de lu première observation: c’est-à-dire en posant l'équation t-4-t’—mt, et prenant positivement la valeur de /.

On voit par là , que la même distance R est exprimée par les équations [ta] et [16], de manière qu’il n’y a aucun changement à l'égard du premier facteur fourni par les données de l’observation ; tandis qu’il y a un changement relativement au second facteur, qui doit en être une conséquence. La contradiction apparente cesse , en observant qu’il s’agit ici d’une méthode d'approximation ; et que les termes suivants ont des valeurs différentes dans le second membre des équations [ta] et [16]; de sorte que le reste, qui leur appartient, doit avoir une valeur différente et convenable pour faire disparaître toute inégalité entre deux distances qui, par leur nature, sont égales.

Il suit de là, que la combinaison de l'équation [ta], avec l'équation

[iN] /{‘ — a R. p cos. (C«S’)-+- j»‘ = r’ ;

pourra donner des valeurs inadmissibles pour R et r; tandis que l’on pourra obtenir les véritables valeurs de R 1 et r’ par la combinaison de l’équation [i 5 ] avec l'équation

ft.j] R 1 ' — a R' p'.vos.(CS')- 4 -p'‘ — r'‘ .

Dans ce ras on déterminera les rapports — ^ , Qj pour les équations

(I <?.] H cos.rf' .

U Q\-H' ‘ COS.J ’ ) f <M*" cos rf '

I f CM#" cos.rf'

En fonuant l’équation [3] , posée au commencement île la seconde Note sur le N." 44 > d faudra faire

6(m—i)Dcos.,i ’

si l’origine du temps est placée à l’instant de la première observation.

Et, après avoir remplacé fl, {CS), p' par fl', (CS 1 ), -s' , on v fa ira

fini D cos. il’ ’

si l'origine du temps est placée à l'instant de la seconde observation.

Le diviseur 6 disparait lorsqu’on prend pour H , //' les valeurs approchées données ci-après par les équations [ai].

En appliquant la méthode du N.” 44 c * ecUc du N.” 4*’ du second \ olurae de la Mécanique Analytique de Lagrange, avec les distinctions que je viens d’établir, il suffira de se prémunir contre l'influence des petites cireurs, commises en observant les positions de la Comète.

Les expressions de F(m), F'(m), F’(m), par lesquelles un forme les valeurs de H, H', //", conformément aux formules [5], [6], [-] , ont une propriété remarquable , éminemment propre pour établir une comparaison entre les formules de Lagrange , et celles données par Oi.BF.ua , Legendre, et Ivory pour la solution de ce même problème. Voici en quoi elle consiste.

L’équation [a] peut être écrite ainsi ;

F{m) = — tip'sin.(a'— a')

-4-psin.(a — «') — Ujs'sin. («'— ■ n')-4-p"sin.(a" — a')

-t-fj (m — i )’— • ] sin. (a' — «) — 8)sin. (a' — «' ) .

Or, avec une légère réflevion, on reconnaît que le trinôme de la seconde

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ligne constitue la différence seconde de la fonction du temps p sin. (a — a'), en y regardant la longitude intermédiaire a' de la Comète comme quantité constante. Mais cette •variabilité étant uniquement relative à l’orbite du Soleil , pour laquelle , dans l'intervalle qui comprend les trois observations, les différences secondes sont fort petites, il arrivera que ce trinôme aura une valeur beaucoup moins grande que celle du premier terme — 6 p' sin. (a' — a'). Si à cette circonstance on ajoute celle, que le binôme qui constitue la troisième ligne est rigoureusement nul |>our le cas de m = i ; c’est-à-dire des observations équidistantes ; on en conclura qu’il peut être négligé, lorsque les deux intervalles entre les observations extrêmes et l’observation intermédiaire approchent de l’égalité , ainsi que cela a souvent lieu. D’après cela on peut, dans une première approximation , prendre

F(ni)=z — 6(j'sin.(*' — a') .

Par la même raison, les valeurs approchées de F'(m), F" (m) seront: F'(m)=: — 6p'sin.(«' — n") ; F"(m) = — G(5’sin.(«' — n) ;

ce qui donne pour les valeurs approchées de H , H', II" \

i // = — Gp’ jsin. (a — a 1 ) tang.< 7 ” — sin. (a 1 — a")tang.d'j ; • [ai]... < H' — — 6(5'jsin .(«' — a jtang.d" — sin. (a 1 — a")lang.rf j ;

! //"= — 6 /J r Jsin. (a ' — a ) Lang. rf’ — sin. (a* — a' ) tang . d [ .

En introduisant ces expressions de II, II', II" dans le second membre des équations [i 5 ], [16], [17], et réduisant à l’unité les trois dénominateurs ,

mV (m — i)V

on obtient pour les rapports

fl"