II

cos. d cos.d"

fl' / m — i\ IF cos ,d

R \ m ) H cos. d 1

Comme m = — - — , la première de ces deux équations , en y substituant pour H", Il les valeurs précédentes, devient celle donnée par Oi.bers à la page 45 de son Mémoire, sur ce sujet, publié en 1797.

I Aquation [> 5 ], on y faisant m=. a et réduisant à l'unité le déno- » ■>

ininateur t — — M , devient la première des deux équations [29] données par Legexdre à la page i 3 de son premier Mémoire, publié en 1806, Sur la détermination des orbites des Comètes.

Celte même équation de Lec.f.ndbe est celle publiée en 181 4 par M. Ivory à la page 1 4 1 de la 1.*" Partie des Philosophical Transactions de la Société Royale de Londres). Toutefois, pour en saisir l’identité, il faut observer qu’en posant

tang. </ = tang. S. sin. (a — 4 ) ; tang.rf” = Lang. 6 . sin.(n" — tp) ;

I on a ;

//'= — 6 p'. tang. 0 . sin. (a 1 — *}), sin. (a — a") ;

IJ = tang. S.sin. { a — a”) sin. (a 1 — ÿ ) — sin. (a — a") tang.rf' .

Aux formules précédentes, il faut ajouter celle qui donne le carré u‘ de la corde qui réunit les extrémités des deux rayons vecteurs r et r" ; c’est-à-dire la formule

[ 23 ] ... u‘=N— 3 RR"cos.(CC") — N'R—JV"R"-hR'-i-R"' , où l’on a

I cos. (SS") = cos. (« — a") ;

| cos. (CS") = eos. (a — a")cos.rf ; l cos. ( C" S) = cos. (a" — a )cos .d" ;

] cos. ( C S ) = cos. (a — a )cos.d ;

[24) ... / cos. (C"S")= cos. (a" — a” ) cos. d" ;

I cos. (CC") — cos. (a — a") cos. d. cos. d"-t- sin. d. sin. d’’ ;

I N = p'+p"‘— 3 pp"co$.(SS") ;

N' = -xp cos. ( C S ) — 2p"cos.(CS") ;

A T "=2p"cos.(C"S") — 2p cos. (C"S) .

En outre il faut, en exécutant ces calculs, se rappeler que le second membre de l’équation [t 5 ] devant être positif, comme le premier, la

-G RECHERCHES HISTORIQUES ETC

seule inspection du signe «pii airecte I» valeur de — — rj suflii'a

r oT m IJ. cos. d

pour décider si l’on a v'>p' ou r’</J , > suivant qu’il sera positif

ou négatif.

Les ra|>|>roeliciucns que je viens de faire soûl utiles jtour simplifiée autant que possible la solution de ce problème, et faire voir, que Lagrange, vers l’année 1813, pouvait avec assez de raison considérer la sienne comme la plan directe et la plus générale ( Voyez page 4 3 <bi second Volume de la Mécanique Analytique).

Je vais faire voir dans la Note suivante, que la cause du jugement défavorable exprimé par Pingre est loin d’avoir été puisée dans le fond mémo de cette théorie de Lagrange. S’il avait pris pour inconnue la distance géocenlrique , et non la distance héliocenlrique , conformément à l’équation générale donnée par Lagrange à la page i.jo du Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1778, il aurait évité la racine négative r''= — i, 5 ao 8 qu’il obtient à la page 3 o(j du second Volume de sa Cométographie, et il aurait trouvé la racine positive r' = 1 , 5 i ag j ; ce qui ne présente rien de singulier , ni iVinsolite.