HAUTEUR MOYENNE
ou PLAB D'BAU
NUMÉROS DBS 8BBIES.
NUMEROS OBt BXPBBIBRCES.
OB L'ORDB
aux deux premiers points d'observation.
mesorôe
«ux denx premiers points >
d'observetion
quelques secondes
après ràTrivée de l'onde.
mit.
met.
o,io5
o,ai5
o.ia5
En faisant abstraction de quelques anomalies inévitables dans des expériences de cette nature, on voit que la hauteur de Tonde est supérieure d'environ moitié à celle de la tranche d'eau qui la suit.
31. 2® En avant de la première onde, c'est-à-dire dans la partie du canal où le mouvement de propagation n'est pas en^ core parvenu, on n'aperçoit dans la masse fluide aucun mouvement, aucun signe précurseur qui annonce l'arrivée de Tonde. En arrière, Teau est animée d'une certaine vitesse dans le sens du mouvement de propagation. L'existence de ce courant est facile à concevoir. Il résulte en effet des observations de J. Russell, que, pendant le passage d'une onde, chaque molécule
d'eau s'avance dans le canal d'une longueur égale à -, V étant le
volume de la masse d'eau qui constitue Tonde, et cù Taire de la section transversale du* canal. Si Ton suppose que les ondes se succèdent sans interruption, il doit donc s'établir dans toute la masse un mouvement général de translation. Le niveau de Teau en arrière de la première onde ne peut dès lors pas être complètement horizontal; on voit en effet, en examinant les observations des hauteurs successives en chaque point, qu'il présente une lé-^ gère inclinaison dans le sens du mouvement. Cette inclinaison est d'autant plus prononcée que la profondeur de Teau est plus faible et le débit plus considérable.
32. 3^ La figure de la première onde varie beaucoup suivant la profondeur et suivant le débit.
Lorsque la profondeur est considérable, elle présente une forme arrondie, allongée et parfaitement régulière (pi. III, fig. a); dans des profondeurs un peu moindres elle devient plus courte et plus aiguë au sommet; un léger bouillonnement se manifeste vers la crête, qui parait s'incliner en avant; enfin dans de faibles profondeurs cette tendance au déferlement se prononce de plus en plus, et Tonde finit par déferler avec bruit en présentant Taspect d'une barre d'écume (pi. III, fig. 3). Ces apparences successives se produisent avec un même débit lorsque Ton fait décroître
graduellement la hauteur de Teau dans le canal; elles se produisent également lorsque, la profondeur restant constante, on augmente graduellement le débit. Il existe donc pour chaque profondeur un débit déterminé, au delà duquel la propagation de Tonde n'est plus possible sans déferlement. Nous allons chercher à déterminer cette limite. Calculons d'abord le temps employé par Tonde à parcourir chacun des trois intervalles de 60 mètres compris entre les points d'observation à Taide de la formule
V=\/j(H + A), dans laquelle A est la hauteur réelle de la première ,onde résultant des observations. La comparaison de ces temps calculés avec les résultats de Texpérience fait voir qu'ils concordent à peu de chose près tant qu'il n'y a pas déferlement; au contraire, dès que le déferlement se produit, le calcul fournit pour le temps des valeurs trop considérables et par suite des vitesses trop petites, et Técart augmente à mesure que le déferlement se prononce davantage. Ces chiffres sont groupés dans le tableau suivant » qui indique les différences entre les temps calculés et les temps observés; ces derniers sont toujours plus courts.
S eu
T«aps
Tcmp olitervct.
DifféniMe.
5* INTERVAUiB.
Tampê calcaMt.
Tcapa observa.
Diffdnae*.
Temps calcal^.
Temps oliienr^s.
DifftrvBM.
OBSERVATIONS
2ffi
ir O ,0
Tfndence a« déferlement daas le 3* inlenralle.
MferiemeDt dans le a* et If 3^ intenralle.
0 i Teodance au d^feriement ' ** I daaa le 3« intervalle.
{ Tendance andtferlemeat 3 ,2 : dans Ici* întenrallei d^fer- ( lement dan» le 3*.
I»« ( Déferlement dans le a* ^ ^^ \ et U3« intervalle.
Tendance an dtferiement dans le 3*intenraDe.
Tendance an déferlement dans le a* intervalle ; d^fer- ( lement dana le 3*.
Déferlement dana le a* et le 3* înlervalle.
Idtm,
La vitesse de la première onde est donc toujours un peu plus grande que si elle cheminait seule; toutefois la différence est assez légère tant qu'il n'y a pas déferlement, puisqu'elle ne s'élève qu'à quelques dixièmes de seconde sur 20 à 3o secondes ; mais lorsqu'il y a déferlement l'écart va en augmentant d'une manière rapide.
33. Si la hauteur de la première onde n'était pas plus grande que celle de la tranche d'eau qui la suit, et si la surface de cette dernière était horizontale, on aurait évidemment, en désignant par h sa hauteur au-dessus du niveau primitif de l'eau dans le canal, V la vitesse de propagation, L la largeur dn canal et Q le débit par seconde
VLA = 0 ou h = ^
q représentant le débit ^ par mètre de largeur du canal, le seul qu'il soit nécessaire de considérer; mais il n'en est pas ainsi, et la hauteur de Tonde doit être égale à ^ multiplié par un rapport K plus grand que l'unité. Calculons la valeur de ce rapport pour chacune des expériences précédentes.
l« INTERVALLE.
HAOTEini
eolenl^a.
mit.
HAVTKCM
mit.
■APPOmT .
■AUTBVa
mit.
BAIITKDB
rMIa.
mit.
RAPPORT
■AVTBVH
calcula.
mit.
■AVTKVB
r^ella.
BAPPOBT .
OBSERVATIONS
TendanM an d^farlament dana le 3* intarvalla.
Ditferlamcnt dana la 1* et le 3* intervalle.
o,aoo 0,21 5
/> I Tendance an déferlement 0,90 j ^a, I, 3« {.(«rraUe.
[ Tendance an dtfericmeni 0,69 / dana le a* intervalle { dé- ( ferlement dana le 3*.
A ■;« ( Difcrlement dana le a* "'^* ( et le 3« intervalle.
Tendance an déferlement '«^^ dana le 3« inUrvalle.
! Tendance an déferlement dana le o'inlerralle ; déferlement dana le 3*.
M i;A ( Déferlement dans le a* ®»^'' I et le 3« intnrvaUe.
5/1 RÊCHEIRGHES EXPÉRIMENTALES n
Od voit que ce rapport varie d'une manière fort irréguiière; mais dès cju'il y a déferlement il devient plus petit que Funilé, et décroît à mesure que q augmente : en même temps on peut voir, en se reportant aux tableaux d'expériences, que le niveau de l'eau en arrière de l'onde s'élève assez rapidement.
3Û. En rapprochant toutes les remarques précédentes, on peut donc se représenter ainsi qu'il suit le fait du déferlement. Lorsque la profondeur du canal est considérable et que le débit qui afflue par l'une de ses extrémités est, relativement faible, la hauteur de l'onde n'est qu'une petite fraction de la profondeur; elle se propage librement dans le canal avec une vitesse à peine supérieure à celle que lui assigne la formule de J. Russell; le plan d'eau qui s'établit derrière elle reste sensiblement horizontal; la hauteur de ce plan d'eau au-dessus du niveau primitif de l'eau
dans le canal est égale à ^; mais celle de la première onde est notablement supérieure ; elle est égale , en effet , à K y , K étant un coefficient plus grand que l'unité et qui paraît pouvoir s'élever jusqu'à 2.
Supposons maintenant que la profondeur du canal vienne à diminuer gradliellement , le débit q restant constant , lavitesse de propagation diminue également et la hauteur de la première onde augmente. Mais on sait qu'une onde de cette nature ne peut subsister ^'autant que sa hauteur est inférieure à la profondeur de l'eau sur laquelle elle se propage. Avant même d'atteindre cette limite, sa forme se jnodifîe, devient instable, et elle manifeste une grande tendance à se briser. Par conséquent, si nous réduisons graduellement la profondeur du canal, il arrivera un moment où la première onde se brisera et ne pourra se mouvoir assez rapidement pour que le volume d'eau affluent trouve place derrière elle; la tranche d'eau qui la suit augmentera de hauteur et le coefficient K deviendra inférieur à l'unité. C'est dans ce cas que se produit le déferlement, comme si les tranches d'eau qui s'accumulent derrière la première onde déversaient constamment par-dessus en la poussant devant elles. Le phénomène qui, dans les grandes profondeurs, avait
SUR L^A PROPAGATIOiN DES ONDES. 55
presque complètement le caractère d'une ondulation, change donc * peu à peu de nature, et lorsque- la profondeur est devenue trèspetite par rapport au débit, on n'a plus, au lieu d'une onde , qu'une masse d*eau qui s'avance dans un lit presque vide. La transition entre les deux ordres de faits ne s'opère pas, du reste, d'une manière brusque, et l'on peut observer sur la première onde toutes les nuances intermédiaires entre la figure régulièrement arrondie qu'elle conserve dans les grandes profondeurs et une barre d'écume dans laquelle il n'est plus possible de distinguer aucune forme stable.
35. Quelle est maintenant la limite de profondeur au-dessous Condition de laquelle il doit y avoir déferlement pour un débit donné? Soit dëferiement. H, cette profondeur inconnue; la plus grande hauteur que puisse avoir l'onde est également H , sa vitesse de propagation sera donc \/2jfH. D'un autre côté, lorsque le déferlement est sur le point de commencer, la hauteur de cette première onde est sensiblement
égale à ^ ou "7=^; on a donc, lorsque le déferlement a lieu :
Si l'on désigne maintenant par U la vitesse qui s'établirait dans le canal s'il débitait le volume q , la profondeur restant égale à H , on a :
et l'inégalité précédente peut s'écrire :
Telle est la limite à partir de laquelle il y a nécessairement déferlement; mais en réalité ce phénomène se produit beaucoup plus tôt, parce que l'onde ne peut jamais atteindre sa limite extrême
de hauteur H; dès qu'elle surpasse les » de H, elle devient instable
et tend à se briser.
En se reportant aux résultats immédiats des expériences, on voit que le déferlement est imminent dès que U dépasse la moitié de y/a^H. Ce phénomène est beaucoup moins net du reste que dans le cas d'une onde isolée. Dans ce dernier cas, la désagrégation
Calcul de U vitesse
de propagation.
subite de la masse d'eau qui constitue Toode est accompagnée d'un bruit sai generis, et le changement d'aspect est tellement tranché que la distinction est très-facile à faire. Mais dans le cas qui nous occupe il n'en est pas tout à fait de même : on voit l'onde se déformer et le déferlement s'annoncer peu à peu sans qu'il soit possible d'établir une distinction précise.
Dans les séries n°" i o et 1 1 , où l'écoulement s'opérait en ouvrant deux ou trois clapets, le déferlement a souvent été intermittent; cette intermittence est probablement due à l'arrivée successive d'ondes secondaires provenant d'un défaut de simultanéité complète dans l'ouverture des clapets.
36. Il nous reste encore à déterminer la formule qui doit donner la vitesse de propagation V en fonction de q et de H. Si l'on désigne toujours par h la hauteur de la première onde, cette vitesse est à très-peu près, V =i/^(H + A). D'un autre côté, on a
La valeur du coefficient K est assez variable et ne parait pas susceptible d'être déterminée bien exactement; tant que l'onde ne déferle pas, on obtient une approximation suffisante en donnant à K la va-
leur Irès-simple -. On a donc, en substituant pour h sa valeur ~,
d'où, en faisant disparaître le radical
(i) V»-sHV = ^-f
Si Ion fait V =zy \/jH , il vient ,
Cette équation du troisième degré peut facilement être résolue par tâtonnement en se servant des tables de cubes qu'on trouve dans la plupart des aide-mémoire.
Mais, lorsque ttT^ ^^ dépasse pas 0,70, on peut lui substituer la Formule très-simple
qui fournit des valeurs suffisamment approchées, ainsi qu on peut en juger par les chiffres suivants :
VALEURS
VALEURS 1
Dl
D'APHiS L'éoVATIOl
' dn 3* degi^ (s).
D*APIli$ LA rOBMVLB (3).
By/gÛ
o,io
i,3oi
Pour des valeurs plus considérables, les deux formules divergent rapidement. Dans le cas où la formule (3) peut être adoptée, on a :
La quantité ^ n'est autre chose que la vitesse U qui s'établirait dans le canal, s'il débitait le volume q; on a donc :
cette expression si simple est suffisante tant qu'il n'y a pas déferlement; mais lorsque le déferlement a lieu elle donnerait des vitesses trop grandes, et l'on doit alors recourir directement à l'équation du 3^ degré : il faut seulement remarquer que , dans ce cas, l'onde initiale n étant pas plus élevée que le plan d'eau qui la suit, on ne
doit plus attribuer au coefficient K la valeur-; on doit faire tout
au plusK=: 1 et l'équation (a) devient :
^ ^ Hv/ffH
37. Appliquons maintenant ces formules aux expériences : les résultats du calcul sont groupés dans le tableau suivant :
l" INTERVALLE.
Temps ealcaUs.
T«mps observes .
Diflitrenec.
Temps calculas.
Temps observa.
DiffércDM.
s* INTERVALLE.
Tempe calcaUs.
Temps obeervée.
Dîfféreac*.
OBSERVATIONS
Tendance an déferlement dans le 3* inlenralle.
Déferlenent dans le a* et le 3* inlervalie.
Tendance an déferlement dana le 3* interralle.
aô^v
„ TendeDce au dtf«rimeal H
— 0,4 daos le a* intervalle ; dé- 1
ferlemenl dana U 3*. |
Déferlement dana le 3* 1 et le 3* intervalle. 1
SÉl
niE N* 11.
Tendance an défnrleaent dana le 3* intenralin.
^ ( Tendance au diferlemeat 0 ,6 J dans le a* intarvan«( dé- ( ferlement dana le 3*.
<r f Déferlement dana le a* ^ >^ et le 3« intervalle.
Les valeurs inscrites dans le tableau précédent ont été calculées à Taide de la formule approchée (4) partout où il n'y avait pas déferlement. Pour les expériences où le déferlement s'est produit d'une manière un peu prononcée, les valeurs ont été calculées à l'aide de l'équation (5). Elles sont indiquées dans le tableau précédent par le signe *. On voit que les résultats du calcul s'accordent bien avec ceux de l'expérience.
60 RECHERCHES EXPERIMENTALES
