Recherches nouvelles sur les nombres premiers

Avant de commencer cet ouvrage, il parait convenable d'indiquer en peu de mots ce qui a pu être fait antérieurement sur le même sujet ; de cette façon, on verra bien ce qui appartient à chacun.

Ératosthène est le premier qui se soit occupé spécialement des nombres premiers^ il imagina pour les trouver une méthode ingénieuse qui s'est transmise jusqu'à nous sous le nom de crible d' Ératostliène. C'est cette méthode qui a donné la première idée des recherches qu'on va lire. Il paraissait, en effet, naturel d'étudier les nombres premiers d'après leur mode de formation. On verra cependant que les suites diatomiques diffèrent essentiellement du procédé d'Eratosthène en ce que celui-ci, ne conservant que les nombres premiers, perdait toute trace des places occupées par leurs multiples.

Nicomaque, Boèce, et plus tard un Anglais, Peel, reprirent les recherches d'Eratosthène, mais sans arriver à aucun résultat important.

Legendre, dans un tout autre ordre d'idées, adonné quelque chose qui revient, au fond, aux suites diatomiques; le passage auquel il est fait allusion se trouve dans le chapitre de sa seconde édition de la Théorie tles ]\ ombres où il cherche à prouver que, dans toute progression arithmétique, il y a une infinité de nombres premiers. Seulement, l'illustre auteur ne

reconnaît pas la périodicité des suites qu'il emploie, ni les grandeurs relatives de leurs termes, ce qui le conduit à des conclusions inexactes.

M. Lcjeune-Dirichlet avoue qu'ayant essayé de suivre la marche ouverte par Legendre et qu'il regarde comme fort ingénieuse, il n'a pu aboutir. Ayant pris alors une autre voie, le grand géomètre s'est dédommagé par le nouvel et bel usage qu'il a fait des séries infinies dans la théorie des nombres.

Citons encore Burckardt qui, dans la préface de sa Table des Nombres oremiers, donne un théorème dû à Hindcnburg et qui n'est autre qu'une des propriétés fondamentales des suites diatomiques. L'auteur, toutefois, n'a cherché qu'à faciliter la recherche des nombres premiers sans voir la valeur théorique de sa proposition.

Enfin, M. Tchebychew a dernièrement publié d'intéressants Mémoires sur les nombres premiers. On verra dans le livre II de cet ouvrage des parties qui ont beaucoup de rapports avec les recherches de M. Tchebychew.

Le théorème II du livre II a été démontré par lui , c'est son point de départ.

Il est même juste de remarquer que, dans l'ordre des dates, la priorité lui appartient ; car, bien que l'auteur des présentes recherches connût ce théorème, il ne se trouve pas explicitement énoncé dans le compte rendu très-succinct qu'il a eu l'honneur de lire à l'Académie dans la séance du i5 octobre 1849.

Toutefois, son mode nie démonstration difière absolument de celui du savant russe qui, d'ailleurs, ne connaissant pas les suites diatomiques, ne pouvait passer du théorème II aux théorèmes fondamentaux.

La première partie du présent ouvrage ne contiendra que les principes ; la seconde partie sera consacrée au développement de ces mêmes principes et à leur application à la théorie des nombres.