DES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES ET ÉLÉMENTAIRES DES SUITES UIATOMIQUES

Définition des suites diatomiques .

Considérons la suite naturelle des nombres

>) 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, io, ii, i2, i3, t4, i5, 16,... .

Si nous rayons tous les nombres de deux en deux à partir de zéro, nous obtiendrons ainsi le tableau («,) :

Nous aurons toujours un nombre rayé compris entre deux nombres conservés; donc, après cette première opération, les séquences de ternies rayés se succéderont comme les termes de la suite

(jue nous appellerons suite diatonique de x ou première suite dùiiomùjue [*].

Dans le tableau (a, ), rayons encore les nombres de trois en trois à partir de zéro, nous aurons le nouveau tableau:

(" ; i , «, 4, 5, «, 7, 9, 9 , i», ii, i.. i3, i4, • «7, • • • >

(*'] iix Tiuvu.

que nous nommerons suite diatomique de 3 ou deuxième suite diatomique, et dans laquelle les séquences de termes rayés se succèdent comme les termes de la suite périodique

Après l'unité, le premier nombre non rayé dans le tableau (o,) est le nombre 5 ; rayons les nombres de ce tableau de cinq en cinq à partir de zéro, nous obtiendrons le tableau (a,) :

i, i, 4, i, e, 7, «, 9 , i«, it, .♦, i3, 14, «e, 17, •8, 19, •♦, ♦*, 33, *s, *é, f, »8, » 9 , 3i, JJ, J<, îs,

et les séquences de termes rayés se suivront comme les termes de la suite périodique

qui sera la suite diatomique de 5 ou troisième suite diatomique. La suite diatomique de 7 ou quatrième suite diatomique serait

il, 9, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 5, 3, «, 3, 5, 5, i, 5, 3, 1, 5, 3, 5, 7, 3, 1, 3, 1, 3, 7, 5, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 5, 5, 3, 1, 3, 5, 1, 5, 3, 1, 3, 1, 9; >» 9» 1 > 3» ' » 3, 5, 1 , 5, 3, . . . .

Pour généraliser ce qui précède, remarquons d'abord que les seconds nombres non rayés dans les tableaux successifs (a), (a,), (a,), (a,), etc., sont précisément les nombres premiers rangés dans leur ordre naturel, et désignons par P„ le n itme nombre premier; alors, en rayant les nombres du tableau (a) de deux en deux, puis de trois en trois, de cinq en cinq,..., et enfin de P„ en P„, nous formerons un tableau (a„) dans lequel les séquences de termes rayés auront respectivement pour valeurs les termes d'une certaine suite que nous appellerons suite diatomique de P„ ou n ,imt suite diatomique.

Propriétés fondamentales des suites diatomiques.

Théorème I. — Toute suite diatomique est périod'upie, et la période commence avec la suite.

Admettons que le théorème soit vrai pour la (« — i)""" suite; si celle-ci est périodique, en effaçant dans le tableau («„.,) les nombres de P„ en P„ pour former le tableau (a„), on finira nécessairement par trouver deux multiples de P„ déjà effacés et occupant la même place dans le tableau («„,). Nous appelons place d'un nombre dans le tableau (a„,) sa distance au nombre qui commence la période dans laquelle se trouve le nombre considéré; ainsi, par exemple, 5, 1 1 , 1 7,.. . t 5 6/» occupent la sixième place par rapport au tableau (a,).

Soient kP H et À*'P„ les nombres trouvés qui occupent la même place dans le tableau (a„,); alors les séquences ou termes du tableau (a n ), trouvés en allant de AP„ vers A'P,,, se répéteront après k'V„ indéfiniment et dans le même ordre par raison de symétrie, et, réciproquement, on trouvera ces mêmes termes dans le même ordre en allant de A'P„ vers Â-P,, ou de X P„ vers zéro. Maintenant, on peut supposer que la distance entre A'P„ et kV n est plus grande qu'entre AP„ et zéro; donc, puisque tous les termes, en allant de kP a vers zéro, se suivent dans le même ordre qu'en allant de A'P„ vers AP„, on trouvera entre AP„ et A'P„ un certain multiple de P„, uP„ qui occupera, par rapport à la période du tableau («„,), la même place que zéro. Donc, les termes trouvés en allant de zéro vers fnV„ se répéteront indéfiniment et dans le même ordre après /uP„; or la succession de ces termes forme ce que nous appelons la n* tm * suite diatomique; si donc le théorème existe pour la suite (n — 1), il existe aussi pour la suite (n). Or le théorème est vrai pour n = 1 ; par suite, il est général.

Théorème II. — Le premier nombre du tableau (a„), après lequel les séquences de termes rayés se reproduisent périodiquement, nombre que

nous désignons par («P„), est te produit de tous les nombres premiers jusqu'à P, inclusivement

En partant du nombre (i"P„) et effaçant les nombres de deux en deux, puis de trois en trois, de cinq en cinq,..., et enfin de P„ en P„, on effacerait juste les mêmes nombres qu'en partant de zéro et en faisant les mêmes opérations. Donc [u P„) est égal à 2 . 3 . 5 ... P„ ou à un sous-multiple de i e produit ; or ce sous-multiple contenant au moins un nombre premier de moins, on ne serait pas dans les mêmes conditions que si l'on partait de zéro; donc

(uP„) = 2 .3.5... P„.

Théorème III. — Dans toute suite diatomique la période a pour premier terme l'unité, et, dans la série de tous les autres, tes termes également distants des extrêmes sont égaux.

D'abord le premier terme sera l'unité; car (p.V„) — 1 et (uP„) -h- 1 ne sont divisibles par aucun des nombres premiers non supérieurs à P„; donc, après la n'* mr opération, (yuPJ — 1 et ( wP n ) -h 1 ne seront rayés, ni l'un ni l'autre, et {juV„) sera seul rayé entre eux.

Considérons maintenant, dans le tableau («„), deux multiples consécutifs de (/tiP n ), par exemple /uT* n et 2/*P„; il est évident que les termes de la période de la suite (n), qui seront à égale distance de j*P„ et de 2,uP„, seront égaux. Le nombre des termes étant impair, il y a toujours un ternie milieu.

Théorème IV. — Les multiples aie P„ occupent toutes les places par rapport à la période du tableau (a„, ) et ne les occupent qu'une seule fois dans chaque période du tableau (a„).

l*e nombre de places dans la période de la ( n — 1 )''"" suite est ^rr^ » il faut

prouver que les n places occupées par les multiples de P„, depuis P„ jusqu'à (juP„), sont toutes différentes par rapport à la période du tableau ( a N i)- Or rela a lieu, sans quoi (,«P B ) ne serait pas le premier à partir duquel la période de la n" mc suite recommencerait comme à partir de zéro.

Théorème V. — Si nous désignons par <p ( uP„) le nombre des termes H< la période de la n time suite diaiomique, nous aurons

Désignons par K le nombre des termes de la (n — i)' ime suite, et supposons que le théorème soit vrai pour cette suite, il sera vrai pour la n''"" ; en effet, le tableau (a„) contient (P„) fois le tableau («„ .)> en sorte que si aucune séquence n'avait été réunie à la précédente en rayant le terme qui les sépare, le nombre des termes du tableau {a„) serait KP„; mais, d'après le théorème précédent, les multiples de P„ occupent et n'occupent qu'une seule fois toutes les places de la période de (a„,) dans la première période de (a„) ; donc, entre autres, les places non rayées seront occupées. Or t es places sont au nombre de K ; donc il faudra, pour avoir le nombre des termes de («„), retrancher K de K P„ ; on arrive ainsi à K ( P„ — 1 ).

On vérifie le théorème pour n = i ; il est général.

Ce théorème est un cas particulier d'un théorème très-connu; en eflet, <p (a*P„) est le nombre des nombres premiers et inférieurs à ( «P„).

On voit que le nombre des termes augmente très- rapidement : Pour n=i, <p(aiP„) devient i, Pour n = i, <p(/u.P„) devient a, Pour n=S t <p(/kP„) devient 8, Pour n = 4» devient 48,

Pour h = 5, p(/*P„) devient 4^o.

Théorème VI. — Si l'on désigne par S„ la somme des termes de la période de la n' ,me suite, ou, ce qui revient au même, le nombre des entiers inférieurs à fcP„ et divisibles par un ou plusieurs facteurs non supérieurs à P„, on aura évidemment, d'après les théorèmes précédents,