CHAPITRE III

VORMILE FONDAMENTALE Al MOYEN DE LAQUELLE ON EXPRIME l M. FONCTION U PAR DES PONCTIONS î-

Nous avons vu dans le chapitre précédent qu'on avait

H u ur\ f = 2 -— •

Donnons le second membre par ru u nous aurons

• m dexeloppant.

d oit I on tire

; ij-i

uix, = -

' hi a donc exprime une fonction u au moyen de r et de (onctions u d'ordn inférieur: eu appliquant sueressivement cette formule i

<«n tùura par n'avoir dans le second membre que des fonction* z.

IVuir faire ces substitutions, nous remarquerons que la formule h est de mente fornte que la formule i a \ et qu'on peut passer île l ime à lautre en remplaçant r par F. les produits élémentaires par des fonction» u. et changeant les multiplicateurs de jt en exposants. Dons la formule -» . le ru ru des termes du dénominateur était indique par les diviseurs de t : dur--» la formule > t»i. ce raivs sera marque par les dénominateurs de l'exposai:? . • < e> nombres sont les mêmes de part et d autre

On aura donc les mêmes réductions, et l'on arrivera a

Fi

ee qui, d'après nos notations abrégées, peut s'écrire

,„ ' MJ , = "UC^))

nUW'''' 1 '""))

Le problème qu'on se proposait est donc complètement résolu ; u est exprimé au moyen des fonctions F seulement.

Nous allons déduire la formule (5) de la formule (7) ; prenons les logarithmes des deux membres de cette dernière et développons, il vient

j t log/u(ar) = log <p (.tr) — 2 log <p(x) V > -h 2 log <p {xf 1 ' r . . . ;

nous aurons de même

111 • log^(.r) = \o%<p(x) — 2log?(x) ' 1 -hl\o%<f>{x) *' *' —

logu(a-) = log<p(.t) — 2log?(.r) *H-2log*(.r)"

log w = log , (*)»- 2log<p ( J -) l7P *-h 2 log <p (.r)'' H * ' V - . . . .

En ajoutant ces inégalités, nous aurons dans le premier membre

2 log u (xf = log n fx (xf ; il faudra donc que le second membre se réduise à

log ?>(.*),

ce qui exige que tous les autres termes se détruisent.

Pour cela, il suffit de démontrer qu'un terme quelconque entre dans le second membre autant de fois avec le signe -f- qu'avec le signe — .

Prenons, par exemple, le terme

log 9 (.i )

(le terme se trouve dans la première égalité avec le signe — , puisqu'il est de rang pair; dans la troisième, la cinquième et la onzième égalité, avec le signe -+-, parce qu'ici ces rangs sont impairs; dans la (3.5)'"", (3.1 1 )''"", (">. i i )"""", avec le signe — , puisque ces rangs sont pairs; enfui, dans la (3.*>.i i)""** avec le signe -t-, puisque son rang est impair. On voit donc que le coefficient de ce terme est

Kn général, un terme quelconque du groupe

I log <p

aura pour coefficient

Tous les termes de second membre de la première égalité disparaîtront donc, excepté log ip(.r).

f /es seconds membres des autres égalités contiendront encore des termes de la forme

logp(.r) *,

ou de la forme

j»^ yff* |> |> j>

log<p(.r) *' •' •"' '",

où différents nombres peuvent entrer dans l'exposant à «les puissances supérieures à l'unité. Par un raisonnement analogue à celui qu'on vient de faire, on s'assurera que ces termes disparaissent aussi. On retrouve doncbien

log 11 u ( r) = log t (.v\ ou fi u (.r) fc = <f> (.r).

De la formule (5) on peut de même passer à lu formule (a). En cflirl, écrivons

log n a (4= log F (x)-l log F ( J) -h 2 log F (p^-) - . . . ,

log „„(£)'= log F log F (^) , „„ gl ,(.^ 7 ) ...

log .!„ (î)' = log F (f), log F (£) + Xlog F ( 3T ;-p-)

log n.u (I)' = log F (ï) - x log F (^) + , log F )-...,

Kn ajoutant ces égalités membre à membre, on obtient

Nous allons maintenant dire deux mots sur la nature intime du second membre de l'expression (7 ).

Si dans cette fonction on fait varier x en lui donnant des valeurs entières consécutives, la fonction ne changera que lorsque x sera égal à un nombre premier; en effet, il est évident que le premier membre ne change que dans ce cas.

Dans la formule (7), rien ne suppose que x soit entier; nous pouvons donc faire varier .r par degrés continus, et la formule (7) ne cessera point d'être vraie.

Désignons le second membre de la formule (7) par 4 U ) > 4 i x ) sera uno fonction discontinue de la variable continue x, et ne changera de valeur que lorsque x prendra des valeurs entières et premières.

Quant à la fonction p(.i'), elle ne changera de valeur que lorsque x sera premier ou puissance exacte d'un nombre premier.

Il n'est pas difficile de vérifier directement l'exactitude des deux expressions (5) et (7). Ne considérons que la première et distinguons trois cas :

i°. x est premier; alors, en passant de x — 1 à r, aucun des termes du second membre ne change, excepté

qui devient

F (x) = xF (x — 1).

Mais le premier membre est aussi multiplié par x; donc, si l'égalité avait lieu pour x — 1 , elle subsiste pour x.

x est une puissance d'un nombre premier; alors, en passant de x — 1 ii r, on multiplie le premier membre par la racine de x. Il faut démontrer (ju'il en sera de même pour le second. Or, au numérateur, rien ne change, si ce n'est

F(tf-i),

qui devient

F(x) = xF(x — 1); au dénominateur, le seul terme qui soit altéré est

Kn désignant par / le nombre premier racine de .r, on a donc par suite,

T. x est un nombre quelconque; nous nous bornerons au cas où les nombres premiers facteurs de x n'entrent qu'à la première puissance : le lecteur pourra aisément compléter cette vérification.

Supposons que r soit le produit de 4 nombres premiers; par exemple,

Nous allons voir qu'en passant de x — i à v, nous introduirons chacun des nombres premiers de x autant de fois au numérateur qu'au dénominateur. Prenons le nombre premier 3 au numérateur ; nous aurons

Les autres termes ne changeront pas par rapport à 3 : le numérateur sera donc multiplié par 3'^', et, de même, par 2'"', S'"*,

Quant au dénominateur,

Les autres termes ne changeront pas par rapport à 3 ; donc le dénominateur sera multiplié par 3^\ et, de même, par a ,+ ', 5'*', 7'*'.

Si .r était un produit de n facteurs premiers, un de ces facteurs \\ s introduirait au numérateur avec l'exposant

et au dénominateur avec l'exposant égal

Par conséquent, chacun des facteurs de a entrant un même nombre de

Ibis au numérateur et au dénominateur, rien ne changera, et l'on aura

l/d formule (7) se vérifierait d'une manière tout analogue.

( )n voit que nos formules fondamentales peuvent se démontrer tres-simplement à posteriori.

Néanmoins, le long raisonnement par lequel nous sommes arrivé à le* établir directement, ne doit pas pour cela perdre de son importance. Outre sa valeur comme méthode d'investigation, il nous montre que la formule

est sans doute la plus simple qu'on puisse trouver pour exprimer u en Ibnction de Y.

>-»BI«- — IMPP.IMEEIE C«F. BACHELIER.

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