CHAPITRE II

FORMULE FONDAMENTALE AU MOYEN DE LAQUELLE ON EXPRIME UN PRODUIT ÉLÉMENTAIRE PAR DES FONCTIONS F.

Nous nous proposons de trouver la forme de <p F ; de la formule (a) on tire

Ht* {x)ï = ; !JfL

n,(^.n,(îy.n,(*y...

On a fie même, par conséquent, en posant - =/, \\ft( Y )s= -

n.(' a y.n,(^.n,(.iy...

ce qui peut s'écrire

n,(iy.n,(jy-n,(iy...

car les parties entières de |. |i J»--- sont les mêmes que celles de .) , ^ ji •• •■ Remplaçant

par sa valeur dans la formule (a), il vient

(3) im{x) =

On voit que dans le dénominateur de l'équation (3), les produits élémen-

taires ont disparu de Jeux en deux ; si nous remplaçons

par sa valeur, ils disparaîtront de trois en trois... , et ainsi de suite; le dénominateur sera diatomisé, si l'on peut s'exprimer ainsi. Mais les termes amenés par

resteront, et les produits élémentaires ne seront pas tous réduits par les ternies du dénominateur; la formule (3) prendra donc la forme

V oyons comment G est composé. Nous allons démontrer qu'on a

Nous désignons, en général, par

un produit de la forme suivante :

a,, u 3 , u 3 , . . . n'étant autres que les différents termes d'une suite dont les premières différences sont les termes de la 9' im * suite diatomique augmentés ehacun d'une unité; il est clair d'ailleurs que u, est égal non pas au

premier, mais au second terme de la suite diatomique, augmenté d'une unité.

Prenons, par exemple,

et remplaçons-le par sa valeur; tous les produits élémentaires de rang multiple de 3 et impairs seront réduits par ceux du dénominateur, mais il montera au numérateur un produit de la forme

ce qui peut s'écrire ou bien encore

Voyons maintenant quels sont les termes amenés par

Tous les produits élémentaires de rang multiple de 5 et non divisible par 3 ou par a seront réduits par ceux du dénominateur, mais tous les produits élémentaires dans le rang desquels se trouve le facteur a ou le facteur 3 resteront au numérateur; on aura donc dans G le nouveau facteur suivant :

i^'y- ■) (-« »« (ors) ••)•

Dans la première parenthèse n'entrent que des produits élémentaires dont les rangs sont multiples de 2 ; dans la seconde parenthèse n'entrent que des produits élémentaires de rang multiple de 3. Le nouveau facteur pourra donc s'écrire, d'après nos notations,

pour

il serait aisé de voir qu'on introduirait le facteur

Le raisonnement étant exactement le même que ci-dessus, nous ne le répéterons pas; en général, le produit élémentaire

étant remplacé par sa valeur, introduira au numérateur le facteur

G se trouvera donc bien être de la forme annoncée. On pourrait écrire, pour abréger,

,: ="W""(p-rp..ft) '»»*(™y

On voit déjà comment des suites diatomiques se trouvent au fond de toute «ette théorie et permettent de donner de la généralité à des choses qui, au premier abord, pouvaient n'en pas paraître susceptibles.

Ce n'est pas que nous veuillons dire qu'on ne puisse arriver autrement a toutes ces conclusions ; seulement, la voie que nous suivons paraît être la plus logique, si ce n'est la plus simple.

Klle ne laisse jamais perdre de vue les principes qui, selon nous, doivent guider dans ces recherches.

Si nous remplaçons dans (i les ternies de la forme

11 ^ (fttv) s

par leurs valeurs au moyen de l'expression (a), tous les produits élémentaires disparaîtront au numérateur, et nous obtiendrons la seconde formule dérivée

: F(x).nF( * )

nF (S)- G '

et nous aurons

"("("Kro/).-.) x llK (pnov)'

dans laquelle 9, * et reçoivent toutes les valeurs entières et positives jusqu'à une certaine limite, avec cette condition qu'on ait

On pourrait mettre G sous une forme analogue en groupant autrement les facteurs ; on pourra donc écrire

«"«("("«(kt.)*).-.) * nF (p^r>

Quant à la démonstration de ces deux formes, elle se fera exactement par les mêmes considérations que celles qui nous ont mené à la première forme sous laquelle nous avons mis G en faisant dans la formule (4) le produit des facteurs par bandes verticales.

Toutefois, pour qu'il ne reste aucun doute dans l'esprit du lecteur, nous donnons ci-dessous la valeur développée de G' dont il pourra aisément vérifier l'exactitude ,

o'=(»H^) ; W'"fe)W»^) ; ). ■

en généralisant, on a

en désignant par ^(P*),^, le produit des nombres première // -h >■ à h+2, et 0 étant le rang du plus petit nombre premier qui figure clans chacun des produits partiels. On voit donc, par la forme même de fi'"', qu'en prenant n assez grand, on finira nécessairement par arriver à

A ce moment toutes les fonctions /u. auront disparu dans le second membre, et I on aura

nF U) xnF (pT^ïv) x - •

ce qu'on peut écrire, en abrégé, de la manière suivante ;

Telle est notre première formule fondamentale; on voit que su démonstration, quoique longue, est fort simple.

On peut se demander de tirer la formule (a) de la formule fondamentale: cela peut se faire, et l'on aura ainsi une vérification de la formule fondamentale: nous nous occuperons de cette question dans le chapitre suivant.